单元测验五答案

bhbh(x)+单元测验五一．判断题（12分）1若f(x)在a,b]上可导，且f

(x)有界，则f

(x)在a,b]上可积。2设f(x)>0a.e.于E，若f(x)dx=0,则mE=0。E3设f(x)是E上的可测函数且则a.e.于E。E4若f(x)在（+上非负可积，则f(x)0(x+。5

cosxx

[勒贝格可积函数。6f(x,y)在D={(x,y):a上可积,其g(x),h(x)是[a,b]上连续函数,则P)dP

fx,)。D二．选择题（18分）

a

g(x)1设f(x)可测集E上的非负可测函数，则f(x)（）A必可积；

B必几乎处处有限；C；必积分确定；

D不一定积分确定2设f(x)可测集E上可积，则在上（）Af(x)与f-(x)只有一个可积；Bf+(x)与-(x)皆可积；Cf

+

(x)与f(x)不一定可积；

Df

(x)与f-(x)少有一个不可积3设为狄利克雷函数，则D(x)dx=（）A0

；

B1；

C1/2

；

D不存在4设f(x)Cantor集的特征函数，则f(x)dx=（）A0

；

B1/3；

C2/3

；

D15设mE=0（E是E上的实函数，则下面叙述正确的是（）Af(x)在E上不一定可测；Cf(x)E上可积且积分值为0；/

Bf(x)在E上可测但不一定可积；Df(x)在E上不可积

EEEE6f(x)可测集EL可积的必要条件是，为（）AC

连续函数；单调函数；

BD

几乎处处连续函数；几乎处处有限的可测函数7列断言（）正确的Af(x)在[a,b]上可积在a,b]L积Bf(x)在[a,b]上R积在a,b]R可积Cf(x)在a,b]L积在[a,b]上R可积D在(a,+上义可积f(x)在a,+上积8设f(x)E

n

上有定义，则f(x)的不连续点全体构成一个（）A开集

B

闭集

CG型集

DF型集9设f(x)在E上可积，AI(mA0),则有)AAI>0;BI=0;CI<0D

不能确定三．证明题（42分）1设f(xE[0,1]上可积函数，lim[fn

]02

设(x

在E上可积，,E可，nn

且

limmEnn

,

证明：lim

f()

f(x)。

E3设是测集,{n

}

是E内的一列可测子集.f()n

(x)

EnEEn

n求证：{f()}在E上一致收敛于1的充分且必要条件是:,,Enn(2)

f

n

(x)

的充分且必要条件是:limm(EE)nn/

四．计算题（28分）1

x为[的有理数设定f)x2为[的

，f()。[02

设p算

10

xpln。单元测验五答案一．判断题1．正确2．正确3．错误4．错误5．错误6．正确二．选择题1．C2．B3．A4．A5．C6．D7．A8．D9．B三．证明题1．证明E[]，因()在E可积，故f(x在上也可积，且有

f()

E

f()

[0,1]

f()

E

f()

所以mE

E

f()，

故

mEf]。n证由积分

E且

f)dx

E对N(E)

f()dx

f(x)dx

f(x)dx

即lim

f(dx

f(x)dxE

E

E

E

E13．证明(1)nN,,(x)2n由于x(x)因此只能EEE

E

)即/

nnnn11111nnnn11111,N,n反,:N,.则N,f(x这必有{f()}在E上一致收敛nnn于1.(2)若),则n

1,,mE[f]2

.1但:[f]E,因此limmEE)0.2n反之E[fnnf(n四．计算题

因此,由lim(E)nn

可得1．解

f(x)[的有可测数([0,1]).且

f()

f()

f)

x

2

dx

x

2

dx,[0

[0[0

Q

x[连续([0,1])且

[0

x201xp12.解由n得lnxln且xnln在0,1)上非负可测，11xnnxp1由逐项积