2022上海中考数学考前30天冲刺复习专题2-3 相似三角形中的六种模型（含详解）

2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）

专题2.3相似三角形中的六种模型

题型一：（双）A字模型相似

1.（2021•上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△被冲，点/在边4?上，点反点尸

AFAF

在边〃±,宣DE〃BC,—.

FEEC

（1）求证：DF//BE-,

（2）如且4A'=2,EF=4,AB=60求证必.

72.（2020•上海市徐汇中学九年级期中）已知：矩形ABCD

BC

中，AB=9,4>=6,点解对角线/吐，且满足4?=2比'，点碓线段切上，作直线咫交线

段4好点机交直线比于点足

（1）当（T=2时，求线段班的长；

（2）若设△及成的面积为外求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）试判断监能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值.

（2021•上海嘉定•二模）已知点/为线段4吐的一点，将线段

加绕点4逆时针旋转60。，得到线段4C；再将线段绕点6逆时针旋转120。，得到线段点材

是力珊中点，联结囱/、

(1)如图1,如果点P在线段CM上，求证：PMUBD；

(2)如图1,如果点的线段CM上，求证：PC=2PM；

(3)如果点坏在线段CM上(如图12),当点月生线段上运动时，N8CM的正切值是否发

生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出“CM的正切值.

4.(2021•上海•九年级专题练习)如图，在RfAABC中，ZACB=90°,㈤C=6O。，

AC=6,平分4MC,交边BC于点D,过点。作C4的平行线，交边A8于点

(1)求线段OE的长；

(2)取线段A。的中点M,联结BM,交线段OE于点尸，延长线段BM交边AC于点G,

求"77二的值.

DF

题型二：(双)8型相似

1.(2021•上海•九年级专题练习)如图，在矩形4?徵中，/比3,小4,将矩形/故城点

，旋转，点4B、〃的对应点分别为/'、3、〃，当4'落在边切的延长线上时，边4'

〃与边4的延长线交于点尸，联结行、，那么线段。的长度为

2.(2021•上海市奉贤区古华中学九年级期中)已知：如图，四边形力比隰平行四边形,

在边/庞勺延长线上截取应点陷/耶延长线上，笈和加交于点材，止和外交于点A；联

结BD.

(1)求证：△•—△制%

(2)如果4/'=9•/「，求证：CM'AB=D.^CN.

D-._______.C

AxA

/\/3.(2021

•上海•九年级期末)如图，在平行四边形ABCD

.45Zr

中，BC=8,点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD,AE的延长线交BC于点G,GF的延长线

交AD于点H.

(1)求HD的长；

(2)设ABEG的面积为a,求四边形AEFH的面积.(用含a的代数式表示)

AHD

BGC

4.(2020•上海奉贤•二模)已知：如图，在梯形48Q冲，CD//AB,/物8=90°,对角线

AC.应相交于点反ACLBC,垂足为点G且BG=CE・CA.

(1)求证：AD=DE-,

(2)过点加乍的垂线，交然于点凡求证：CP=AE*AF.

A-----------'题型三：母子型相似

1.(2022徐汇一模25题)如图，在AABC中,ZC=90°,cot4=及，点〃为边4ah的一个动

点，以点〃为顶点作ZBZ)E=NA，射线施交边4行点、E,过点身乍射线的垂线，垂足为点

K

CDAC4

备用图

(1)当点〃是边］。卜点时，求tanNA3£＞的值;

(2)求证：ADBF=BCDE；

(3)当DE:所=3:1时，求AEfB.

2.(2022虹口一模25题)已知：如图，在△/比中，ZJCB=90°,18=10,tan6=3,点

4

。是边比延长线上的点，在射线/吐取一点使得N4於过点力作/KL应于点

F.

(1)当点座线段4?上时，求证：空=12

ACBD

(2)在(1)题的条件下，设W=x,DE=y,求y关于x的函数关系式，并写出如勺取值范

围；

记外交射线/行点G,当〜△/67■时，求切的长.

OC=OE,射线OE交射线BA于点D.

如图1,如果OC=2,求爱区的值；(2)联结A。，如果AAEO是以AE为腰的等

'△ODB

腰三角形，求线段OC的长；

(3)当点E在边AC上时，联结5区CD,NDBE=NCDO,求线段。。的长.

4.12021松江二模】如图，己知在中，BOAB,即平分4附交边然于点〃，蹑比边上一

点，且BE=BA,过点川乍力G〃阳分别交Ma于点尺G,联结房

(1)求证：四边形力&；娓菱形；

(2)求证：A5BG+BC；

(3)若A8=4C,BG=CE,联结幽求^的值.

A

题型四：旋转型相似

1.（2021秋•静安区期末）如图1,四边形中，/胡谦）平分线4皎边优于点区已知4?=9,

应?=6,相=AB・AD,且DC//AE.

（1）求证：愧=AE・DC；

（2）如果应'=9,求四边形力及勿的面积;

（3）如图2,延长/〃、6（发于点凡设跖=x,EF=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义

域.

2.(2010秋

•虹口区期中）如图，在△力比和应中，NBAD=4CAE,NABg/ADE.

(1)求证：XABCsMADE：

（2）判断△?!勿与△"2是否相似？并证明.

（2008秋•闵行区期末）如图，已知在式中，NADE=NB,ZBAC=

ADAE

（1）求证:AD_AE.

AB"AC'

(2)当//C=90°时，求证：ECVBC.

（2018•上海民办浦东交中初级中学八年级阶段练习）如图，在

RDC

平面直角坐标系中，矩形04BC的两边。4、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,

Q4=8,OC=4.点户从点。出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到

达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转

90,得点。，点。随点户的运动而运动，连接OP、DA.

（D请用含t的代数式表示出点。的坐标.

（2）求f为何值时，皿%的面积最大，最大为多少？

（3）在点P从。向A运动的过程中，AD%能否成为直角三角形?若能，求r的值:若不能，请

说明理由.

（4）请直接写出整个运动过程中，点。所经过的长度.

1.（2021•上海市徐汇中学九年级阶段练习）已知：如图，四边形中,

0°<ZS/W>,90°,AD=DC,AB=BC,AC平分ZR4D.

（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边。C于点G,交线段AD的延长线于点

F（点F可与点。重合），ZAFB=ZACB,设AB长度是〃（4是常数，且。>0）,AC=x,

AF=y,求y关于X的函数关系式，并写出定义域；

（3）在第（2）小题的条件下，当ACGE是等腰三角形时，求AC的长（计算结果用含。的代

数式表示）

题型六：一线三等角构建相似模型

填空题（共1小题）

1.（2021秋•浦东新区期末）如图，a//b//c,直线a与直线6之间的距离为愿，直线c与直线6之

间的距离为2愿，等边式的三个顶点分别在直线a、直线6、直线c上，则等边三角形的边

长是

解答题（共4小题）

2.（2020秋•冠县期末）已知：如图，△功?提等边三角形，点2粉别在边8C、AC1.,ZADE=

60°.

(1)求证：XABDsXDCE；

（2）如果/8=3,a?=2,求比的长.

3

2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）

专题2.3相似三角形中的六种模型

题型一：（双）A字模型相似

1.（2021•上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△被冲，点/在边4?上，点反点尸

AFAF

在边〃±,宣DE〃BC,—.

FEEC

（1）求证：DF//BE-,

（2）如且4A'=2,EF=4,AB=6B求证必.

AnAPApAn

【分析】（1）由题意易得黑=芸，则有煞=黑，进

BDECFEBD

而问题可求证；

（2）由（1）及题意可知黑=空=:，然后可得AD=2百，进而可证四=处=走，最后

BDEF2ABAE3

问题可求证.

【详解】解：（1）'：DE//BC,

.ADAE

・访一旅‘

.AFAE

•~FE~~EC"

.AF_AD

—访’

\DF//BE^

(2)*：AF=2,EF=4,

由（1）可知，==/斤6,

BDEF2

AB=66,

AD=-AB=2y/3,

3

AE_6GAO26G.AEADy/3

，=~~~=，•>•=——,

AB~6y53AE63ABAE3

,•△ADESXAEB.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

2.(2020•上海市徐汇中学九年级期中)已知：矩形/，AB=9,49=6,点£在对角线

力吐，且满足/«=2£C,点降线段。止，作直线阳交线段4奸点M交直线比于点儿

(1)当32时，求线段班的长；

(2)若设gx,△氏法的面积为必求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围;

(3)试判断△向花能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值.

【答案】(1)创三10；(2)y=6x-7,o〈xV3；>=27-了

x-3x-3

3、29

3VxV4.5;(3)X=2或彳或yy

【分析】(1)由43〃CO得阳丛NCFs丛NBM,进而求得；

(2)分为0＜工＜3和3〈*＜4.5两种情形，作仇人优于G,根据三角形相似求出£6和8M

(3)分为现=BE,EM=BE,研一区归种，可根据81A=9-2馋得.

【详解】

在矩形4%方中，BC=AD=6,AB//CD,

：.△CFE^/XAME,XNCFs△ASJA

.CFEC1CFNC

"AM-AE-2'BM-A®*'

：.4i/=2CF=4,

：.BM=AB-4l/=5,

.2BN—6

••一=------,

5BN

・•・8，・10；

(2)当加寸，MF//BC,此时△比A不存在,

:・CF=9-2CF,

:・CF=3,

当点劭和6点重合时，

AB=2CF,

・・・江、=4.5,

-,•分为0VxV3和3VxV4.5,

当0VxV3时、

作吸L8mG,

由(1)知，

比=3,AM=2CF=2x,

:・BM=9-2x,

,CFNC_xBN-6

由——=——得，=一=-----

BMNB9-2xBN

，BN=^^,

3-x

：.y=-BNEG

2

118-4x

=------------x3o

23-x

6x-27

x—3

如图3,

x-3

・12(9-2x)

.・y=-------------x3

-2x-3

_27-6x

x-3'

(3)如图4,

图4

.CGEG1

••赤一前-3'

:.CG=*B=2,

：.GB=CB-CG=4,

:.BE=5,

当8仁应'=5时,

9-2x=5,

.\x=2,

如图5,

作欧L4?于〃，

:・BM=2BH=2EG=6,

3

A9-2A—6,,

2

如图6,

5

cos/MBH36

5

25

.9-2X=—

69

,29

.-¥=—，

综上所述：x=2或13或2泉9

【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形

的性质，正确引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键.

3.（2021•上海嘉定•二模）已知点P为线段46上的一点，将线段加绕点［逆时针旋转

60°,得到线段力再将线段绕点碘时针旋转120。，得到线段9点/曝力渊中点，联结

BM、CM.

pBB(1)如图

图1图2

1,如果点/在线段CM上，求证：PMHBD-,

(2)如图1,如果点/在线段CM上，求证：PC=2PM；(3)如果点，不在线段CM上(如图

12),当点杼E线段/此运动时，4CM的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理

由；如果不发生变化，请求出的正切值.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)也

3

【分析】(1)由旋转可得，是等边三角形，N阳庐120°,则N8月附/必/180°,所

以ZW〃却.

(2)利用三角形的中位线定理解决问题即可.

(3)延长用理点G,使得」快如，连接/G,BC,GC,PC,可证△绻提等边三角形且点，牌比

的中点，可得结论.

【详解】

解:(1)如图1中,

图1

...△加匕是等边三角形，

060°,

:"BPM=6Q°,

又阳/120°,

/句册/阳户180°,

:.PM〃BD；

(2)如图1中，,:A恭MD,PM〃BD,

J.AP-PB,

:.P吟BD,

•：PA=PC=PB=BD,

：.P(=2PM-,

(3)结论：tan/员M=也.理由如下:

3

如图2,延长8座点&使得，哈圾连接4G,BC,GC,PC,GD,

'CAM-MD,G^BM,

•••四边形是平行四边形,

：.AG-BD,AG//BD,

胡6M80°-NAB庐60°,

：.ZCAG=120°,

,.•△zioc是等边三角形，

：.AOCP,NCPB=12Q°,

■：PB=D^AG,

：./\CAG^/\CPB(.SAS'),

：.CG^CB,AACG^APCB,

：.ZGCB=600,

...△以%是等边三角形，

GM=BM,

：.Zi5CM=^-ZZ?C6^30°,

/.tanZiCM--.

3

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等二角形的判定和

性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造

全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

4.(2021•上海•九年级专题练习)如图，在RfAABC中，ZACB=90°,NBAC=60。，

AC=6,AO平分NBAC,交边BC于点D,过点。作C4的平行线，交边AB于点E.

B

(1)求线段OE的长;

(2)取线段AO的中点用，联结8M,交线段QE于点F,延长线段加交边AC于点G,

求为的值.

DF

【答案】⑴4；(2):

【分析】(1)分别求出微BQBD,证明△以班桂山工，根据相似性质即可求解;

(2)先证明DF=AG,再证明AfiMs△BAG,根据相似三角形性质求解即可.

【详解】解：(1)・.,4。平分4MC,ZE4C=60°,/.ZZMC=30°.

在MAACD中，ZACD=90°,ZZMC=30°,4c=6,:.CD=z6

在册AAC8中，ZAC8=90。，Z5AC=60°,AC=6,ABC=6y[3.

BD=BC-CD=A6.

■:DE//CA,

:・4BDEs^BCA

,DEBD2

**C4-BC-3,

・•・D£=4.

(2)・・,点M是线段AO的中点，=

■:DE//CA,

J/XDFM^^AGM

.DFDM

**AG-AM,

:.DF=AG.

■:DE//CA,

:.△BEFsdBAG

.EFBEBD2

tu~AG~~BA~~BC~3

B

【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据

题意确定相似三角形，并根据相似性质解题.

题型二：（双）8型相似

1.（2021•上海•九年级专题练习）如图，在矩形力中，49=3,6CM,将矩形能源点

C旋转，点4B、〃的对应点分别为4、以、〃，当落在边（7）的延长线上时，边力'

ff与边加的延长线交于点尸，联结行；那么线段行的长度为一.

【分析】由勾股定理可求A'C=5,可得A'D=A'C-CD=2,由△ECDsaA'CB',对应边成比例即

可求出DE的长，再由△A'DFs^CDE求出DF的长，最后在RtaDFC中由勾股定理即可求出DF.

【详解】解：由旋转前后对应边相等可知:A'B'=AB=3,B'C=BC=4

...由勾股定理可知：A'C=V32+42=5，

：.KD=A'C-CD=2,

又NADC=NB'=90°,且NECD=NA'CB',

.,.△ECD^AA'CB',

...丝=”.代入物据，』=华，

BCAB4

9

DE=~,

4

又A'F〃CE,ZCED=ZA'FD,且NEDC=NFDA',

.•.△A'DE^ACDE,

9

EDDC

在Rt^DFC中由勾股定理可知：

CF=^DF2+CD2=所¥

故答案为：士叵.

2

【点睛】本题借助矩形的性质考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质

和判定是解决此题的关键.

2.(2021•上海市奉贤区古华中学九年级期中)已知：如图，四边形北窗是平行四边形，

在边4比I勺延长线上截取班'=/6,点班4踊J延长线上，口和冰交于点机比和加交于点.M联

结划.

(1)求证：△员切断

(2)如果4/'=/104汽，求证：C*AB=D2CN.

证明四边形打。为平行四边形得到劭〃必；根据相似三角形的判定方法，由C”〃颇I判断

△BNMACNM；

(2)先利用4>'=/伊4阿证明△力"s/U曲则/1=/尸，再根据平行线的性质得/4/4,

Z2=Z3,所以N3=N4,加上N加eNC跖，于是可判断△柳忆s△加〃所以必,盼前

CD,然后利用CD=AB^\比例的性质即可得到结论.

【详解】证明：(1)•••四边形4山提平行四边形，

：.AB-CD,AB//CD,

而BE=4B,

：.BE=CD,

泵BE"CD,.•.四边形应■必平行四边形，

：.BD//CE,

'：CM//DB,

:.△BND^CNM；

(2)'：AB*AF,

:.AD：AB=AF：AD,

：.XADBs[\AFD'

；.N1=N汽，

'：CD//AF,BD//CE,

，“N4,Z2=Z3,

，N3=N4,

而NA吩NCM,

：./\MNC^/\MCD,

：.MC：MD-CN：CD,

:.MOCAMD>CN,

而缁46,

:.C*卜AB-DWCN.

【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质:在判定两个

二角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形

的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.在运用相似三角形的

性质时主要利用相似比计算线段的长.也考查了平行四边形的判定与性质.

3.（2021•上海•九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8,点E、F是对角线BD上

的两点，且BE=EF=FD,AE的延长线交BC于点G,GF的延长线交AD于点H.

（1）求HD的长；

（2）设ABEG的面积为a,求四边形AEFH的面积.（用含a的代数式表示）

【分析】（1）根据平行四边形的性质得AO//8C,根据相似三角形的判定得

BE1DF1

/\BEG^/\DEA,△BFSrXDFH,由BE二EF二FD可得出一=一，一=-,根据相似三角形

ED2BF2

的性质即可求解；

(2)由BE二EF可得力反；与△£FG的面积相等，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方

可得S&AED丐SQDFH的值，^^AED~SA。”“即可得四边形AEFH的面积.

【详解】解：(1)•・•平行四边形ABCD,BC=8,

AADIIBC,AD=BC-8,

：./\BEG^/\DEA,/XBFG^/XDFH,

.BEBGDFHD

・・访―茄，~BF~~BG9

VBE=EF=FD,

・BE-1DF-1

"ED-2JBF-2T

ABG=|AD=4,HD=|BG,

・・・HD=2；

(2)VBE=EF,

・・S&BEG=S△由G=a，

••S^BFG=2a,

BE1DF1

•；4BEGS/\DEA,LBFGs/XDFH,­=一，——二一，

ED2BF2

^^AED~4〃,S^DFH~,

四边形AEFH的面积=L加-.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判

定和性质是解题的关键.

4.(2020•上海奉贤•二模)己知：如图，在梯形徵中，CD//AB,/%6=90°,对角线

AC,应相交于点发ACLBC,垂足为点G且比四•窃.

(1)求证：AD=DE\

(2)过点历乍力徽垂线，交/行点£求证：CE=AE*AF.

【分析】(1)根据相似三角形的判定定理得到△比如△?1",根据

相似三角形的性质得到/龙£=/。氏根据等角的余角相等得到/根据等腰三

角形的判定定理证明；

⑵根据平行线分线段成比例定理得至借嘴，修喑，得至嘿=言，整理得到

Ce=AE'EF,根据等腰三角形的三线合一得到4尸=£汽，证明结论.

【详解】

证明：（1）•:BC=CE・CA,

.BCCA

又/ECB=NBCA,

'CE-BC

:.XBCEsXACB,

:.NCBE=/CAB,

,：ACLBC,/%8=90°,

:"BE*NCBE=9Q°,N%加/。6=90°,

/BEC=ADAE,

'：4BEC=NDEA,

：.NDAE=ADEA,

:"D=DE；

直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定

题型三：母子型相似

1.（2022徐汇一模25题）如图，在AABC中，ZC=90°,cotA=&，点烟边/吐的一个动

点，以点。为顶点、作NBDE=NA，射线比交边/好点反过点例乍射线询垂线，垂足为点尸.

「〕

<1>当点。尾边0冲点时，求

CDAcA

备用图

tanNABD的值；

(2)求证：ADBF=BCDE；

(3)当OE:EF=3:1时，求AE:EB.

【小问1详解】解：过历乍ZWJJ好〃，

AC

在AABC中，ZC=90°,cotA=0=GT；，设AC=yflx，BC=x，

oC

AB=VAC2+BC2=J(&x)2+x2==5/3%,

11

'JD'hAC中点，-AO—x，.".S=^ADBC=^ABDH,

22AADB

Rr

：.DH=^£=^=rx,

在RtZWZ冲，AH=ylAD2-。彳=W)，(玄犷=玄X，

旦x,

^-x-在RtZX6的，tanZABD==---=—

：.BH=AB-AH=y[ix--x^

33BH2j34

-----X

3

CD/1

DEDB

:•△DEBSXADB,：.——=—

ADA8

BFDBDEBF

VZ/^ZC=90°,ZBDB-ZA,••lA\DFBsXAACB,..----------，.・------=-----BnPn

ADBF=BCDE.

【小问3详解】解：由DE:EF=3:1”【设£>E=3左，EF=k,则以'=〃,

/RDF.=ZA>:.cot/BDE=cotNA=亚,=y/2,

BFBF

:•BF=2叵k，乂"90°，

22

EB=VBF+EF=J(2扬:了+公=3k，

BD=yjBF2+DF2=1(2&¥+(41=2跑，

AAEBBD,in3k2叔

VADEBsAADB,：.—=——即一=——

BDAB2向AB

.\A3=8k,:.AE=AB—EB=5k,：.AE：EB=5k：3A=5：3.

2.(2022虹口一模25题)已知：如图，在△/式中，/力龙=90°,AB=\Q,tan6=&，点

4

〃是边比延长线上的点，在射线力艮上取一点反使得N*E=N4BC.过点力作力心应于点

F.

(1)当点疏线段48上时，求证：竺=迈

ACBD

(2)在(1)题的条件下，设gx,DE=y,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范

围;

(3)记座交射线42于点G,当△力毋"时，求御］长.

【解答】(1)证明：':NADE=NABC,NDAE=NBAD,

:.XADESXABD,：.DE=^,'JAFVDE,:"AFANAC49G,

BDAB

：./\ADF^/\ABC,.•.空❷，：.AFDE

•.------二------

ACABACBD

(2)解：；//龙=90。，tan5=3,：.tanB=^-=^-,

4BC4

设〃'=3a,BC=ia,'：Ad+BCi=AH,：.(3a)2+(4a)2=102,

22

.♦.a=2,：.AC^6,BC=8,：.AD=7AC-K：D=V36+?)

由⑴喷嗡，宇二爵

"=8+xV36+x2,

10

当x=0时，此时次LL/6,由亚=-1408，="1_g・口岳得，1。•然=6X8,

.,./?£=24,.•.x＞处;

55

当斑线段然上时,延长4咬BC于作掰154好,M

：

,:XAEF/XAGF,：.ZAEF=ZAGF,：.AF=AG,.XEAF=ZGAF=kZ_^,

,：ADAF=ZBAG：.ZDAC=ZGAF,'：ACLBD,：,ZAMC=ZACD,

：.AM=AD,：.CM=CD,•.F，％分/班C,:.MN=CM,

由$4树=丛幽z&OT/得.yX6X8弓X6-CM+yX10-MN'

.♦.16•。/=48,：.GI/=3,:.CD=3.

当G点在4用延长线上时，<XAEFSXAGF,:.NAEF=NAGF,

,.,/{0是/457的夕卜角，/.AAGF>AAEF,；.这种情形不存在，；.C力=3.

3（2022长宁一模25题）已知，在&ABC中，AB=AC=5,BC=8,点£是射线CA上

的动点，点。是边BC上的动点，且OC=OE,射线OE交射线BA于点D.

(1)

备用图

图1备用图

S—DE

如图1,如果OC=2,求的值;

S&ODB

(2)联结A。，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长;

(3)当点E在边AC上时，联结BE、CD,NDBE=/CDO,求线段OC的长.

【详解】解：(1)-：AB=AC,:"B=4C,'：OC=OE,：.£OEC=£C,

ACBC58

：.AB=^OEC,：./A\AB(^/\AOEC,：.——=—,.•.一=—,.•.应=3.2,."£=1.8；

OCCE2CE

,：4AED=NQEC=ZB,N〃=N〃，：ZBD^XAED,

A£_1.8

0.3,...£^=0,32=009

S&ODB

(2)V/XAEO是以AE为腰的等腰三角形,:.AE=OE,

,：()C=0E,，设AE=0E=OOx,

5_8

由(1)得，7s△阪；=—

OCCEx5-x

2525

解得,X=—,经检验，X=—是原方程的解；则OC的长是为

1313

(3)由(1)得，ZB=N0EC,,：ZOEC+ZOEA=l80a,班/困=180°,

；./、B、0、网点、共圆，；.NDEE=N40。，；NDBE=NCDO.：.NAOD=NCDO，

AOBOAOAEAE_BO

：.A0//DC,；.△A/酒△A"[A\ABO^XADBC'：.——=——，——=——

DCCBDCCE

„ACBC58

设L。ex,0件S-X,'：/A\ABC^/A\OEC,：.——=——

OCCExCE

5-16x8-x

解得，CE=1.6x,ME=5—1.6。，,=?—,

1.6x8

解得，%=8—J为，%)=8+739(舍去)，则0c的长是为8—闻.

D

4.【2021松江二模】如图，已知在△/此中，BOAB,B母分4ABC,

交边”T点。，碟瓶边上一点，且BE=BA,过点/作布〃场分别交比于点F、G,联结阳

(1)求证：四边形/限是菱形;

(2)求证：A^=BG'BQ

s

（3）若AB=AC,BG=CE,联结/反求不理的值.

【分析】（1）由题目条件可证得

△ABP^AEBFqSAS）及＞ABM/\EBD（SAS'）,进而可推出"'=房=9=〃4可得出四边形"H9

是菱形.（2）根据条件可证得△物，即可证明结论.

（3）由条件可得△为R/\/用由相似比可得沁=（芸］,由B£=EC・BC,得到点娓%的黄

金分割点，可得出丝=土造，即可得出结论.

BC2

【详解】（1）证明：：物平分N4%、，.../力跖=/硼；

•:BA=BE,BF=BF,:.dAB阳AEBF（SAS）,:.AF=EF,

同理可得△/应运△加（%S）,：.AD=ED,NADB=/EDB,

,:AG〃DE,:./AFg/EDF,：.Z.AFD^ZADF,：.AF^AD,

：.AF=FE=ED=DA,，四边形//曲菱形.

（2）证明：由（1）得：△/麻丝△£纱；:.NBAG=/BEF,

,四边形力的是菱形，:.AD〃FE,；.NBEF=NG:.NBAG=NC,

•：ZABG=ZCBA,：./\ABG^/\CBA,,即初=66宓

BCAB

（3）解：如图，

'：AB=AC,：.ZABG=ZC,

*：ZBAG=NC,:.NABG=/BAG,

,：ZAGC=ZABG+ZBAG,：.ZAGC=2ZBAG,'：BG=CE,：.BE=CG,

J.CG^CA,：.£CAG^Z.CGA,,:匕CAG=24DAE、:.NDAE=NABC,

；.NDEA=NAC8,：./^DAE^/XABC,：.=(—1,

Sg8c(BCJ

■:AE=BG*BC,AB=BE,:.BF=EGBC,:.点、E是BC黄金分割点，

.BE=>/5-lCE=3-2^J,:4EAC=ZC,:.CE=AE,

BC2BC2

.AE_3—A/5.S^DE_7-3>/^

BC2S1Mte2

【点睛】本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定及黄金分割点等知

识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用所学知识求解是解题的关

键.题型四：旋转型相似

1.(2021秋•静安区期末)如图1,四边形力敛冲，/胡冰J平分线/段边优于点反己知49=9,

AE=6,A^=AB・AD,且DC〃AE.

(1)求证：施=AE'DC\

(2)如果龙=9,求四边形/比颂面积；

(3)如图2,延长/1久比交于点区没BE=x,EF=y,求y关于描函数解析式，并写出定义

域.

图1图2【分析】

(1)先证明△/应以，可得NAEB=NADE,再由平行线性质可推出N/%'=/比五，进而

证得△/应㈠^及，根据相似三角形性质可证得结论；

(2)如图2,过点身乍曲，/后运用等腰三角形性质可得磔M魔)中点，进而可证得△加匡△

ECD(545),再求得5k阳=LX/£'X66=18&,根据△/应s/\力瓦沮相似比为3：2,可求得

2

S4检产S^cx=81\[2,由S四边般做》=SNA处S&吩S&cu^求得答案：

(3)由LABES^AED,可求得：DE=Zx,进而得出於=2¥,再利用△/应s△改力,可

327

42

得：CE=±x,再利用〃勿力反可得AAEFS4DCF,进而求得：CF^—EF,再结合题意得出

981

答案.

【解答】(1)证明：如图1,厘分

/./BAE=NDAE,

•：AE=AB'AD,

.AB=AE

"AEAD"

:.AABEsAAED,

，ZAEB=AADE,

'：DC//AE,

：.2AEB=NDCE，ZAED=ACDE,

:.ZADE=NDCE,

:.XADEs/\ECD,AE=DE,

DEDC

:.D/=AE・DC；

(2)解：如图2,过点例乍8cL

,:BE=9=AB,

...△4应是等腰三角形，

协力硼中点，

由(1)可得△血以△反刀也是等腰三角形,

'：A^=AB-AD,AB=BE=9,AE=&,

：.AD^\,DE=6,CE=4,47=3,

:.l\AD阳△ECD(SAS),

22

在Rt仲，BG=>/AB-AG=792-32=6^2)

，SA做=工XAEXBG=LX6X6&=18&,

22

•.•△4应及祖相似比为3：2,

:•SA丽&^/>=9：4,

*'•Sj\AEt)=Skcz»=8^2,

==z

Snaii&.incDS/^Ant+S^,if：i)^S^,ci)f18y12,+8y/^+8y[^=3

(3)解：如图3,由(1)知：XABEs/\AED,

.AB=AE

"BEDE"

'：BE=x,AB=9,AE=6,Al:=AB'AD,AD=4,

•.•9_--6»

XDE

:.DE=&x,

3

由(1)知：D^=AE'DC,

：.DC=-2-X,

27

'：/\ADE^/\ECD,

.AD=CE=2

"AEDE~3

CE=—x,

9

'：DC//AE,

.CFDC^

:.△AEFSXDCF、==

"W市81

2

：.CF=^-EF,

81

2

FF^—FH9

...CE-EF-CF-^81=81-x'

"WEF-EF81

y=EF=—^—CE=—