专题08 基本不等式综合必刷100题(解析版)

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D．5【答案】C【分析】结合复合函数求导求出函数的导函数，进而求出切线的斜率，然后根据两直线平行斜率相等得到，进而结合均值不等式即可求出结果.【详解】因为，则，因为切点为，则切线的斜率为，又因为切线与直线平行，所以，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值是，故选：C.6．已知直线与圆相切，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直线与圆相切可得，然后利用均值不等式可得，从而可求的最大值.【详解】解：因为直线与圆相切，所以，即，因为，所以，所以，所以的最大值为，故选：D.7．若，且，则下列结论中正确的是（）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最小值是 D．的最小值是【答案】A【分析】根据已知条件，结合基本不等式逐个分析判断即可【详解】对于A，因为，且，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以A正确，对于B，，且，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以B错误，对于C，因为，且，所以，所以，由选项B的解答可知，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是，所以C错误，对于D，因为，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，所以D错误，故选：A8．已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】根据题意可得，由，展开利用基本不等式即可求解.【详解】由，可得，，当且仅当且，即时等号成立．故选：C．9．已知在中，动点C满足，其中，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得A，B，C三点共线，且C点在线段上，于是，且，然后利用均值不等式即可求解.【详解】解：由题意可得A，B，C三点共线，且C点在线段上，于是，且，所以，当且仅当，即，时取等号，故选：C.10．若实数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，令，利用不等式的性质即可求得的范围．【详解】解：，又，，令，则，，即，当且仅当时，取等号，的取值范围是，．故选：A．11．已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是（）A．1 B．3C．6 D．12【答案】B【分析】由x2+2xy-3=0，可得y=，则2x+y=2x+，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】解：∵x2+2xy-3=0，∴y=，∴2x+y=2x+2=3，当且仅当，即x=1时取等号.故选：B.12．已知，，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用基本不等式求的最小值.【详解】∵，∴，∴(当且仅当时等号成立)，∴(当且仅当时等号成立)，∴的最小值为3，故选：C.13．若，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】法一：由基本不等式即可求出结果；法二“1”的妙用结合均值不等式即可求出结果.【详解】解析：法一：由题意，得，，且，即，亦即，由基本不等式，得，解得（当且仅当时，取等号），所以的最小值为.法二：由，得.因此（当且仅当时，取等号），所以的最小值为.故选：C.14．若正数，满足，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.【详解】（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选：C.15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根据题意得到，结合基本不等式，求得，结合面积公式，即可求解.【详解】在中，满足，且，可得，当且仅当时取等号，所以，可得，所以．故选：A.16．设a，b为正数，若圆关于直线对称，则的最小值为（）A．9 B．8 C．6 D．10【答案】A【分析】求出圆的圆心坐标，得到的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．【详解】解：圆，即，所以圆心为，所以，即，因为、，则，当且仅当时，取等号．故选：．17．已知，且，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简，由，结合基本不等式，求得，进而求得的最大值.【详解】由，可得，又由，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即的最大值为.故选：D.18．已知，，且，若恒成立，则实数的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可得，结合基本不等式可求的最小值，然后由恒成立可知，解不等式可求的范围，从而得解．【详解】解：，，且，，当且仅当且时取等号，此时，若恒成立．，，解不等式可得，，故实数的最小值为，故选：．19．已知，则的最小值是（）A．1 B．4 C．7 D．【答案】C【分析】由目标式可得，结合已知条件，应用基本不等式即可求目标式的最小值，注意等号成立的条件.【详解】∵，∴当且仅当时等号成立.故选：C20．已知正数a，b满足，则的最小值等于（）A．4 B． C．8 D．9【答案】D【分析】整理得出，进而得，结合基本不等式即可.【详解】因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等式成立，故选：D．21．下列函数中最小值为4的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．22．若直线（，）被圆截得弦长为，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线被圆截得的弦长为4，以及圆的半径为2，可知直线过圆心，即，，根据此特点，可选择基本不等式求出最小值.【详解】直线被圆截得的弦长为4，圆的半径为,圆心为直线过圆心，故，即，，当且仅当，即时等号成立，最小值为9.故选：A【点睛】理解题意，直线与圆相交后弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，以及由，求的最小值联想用基本不等式求最值.23．设为正数，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，即可得解.【详解】可得，当且仅当时成立，故选：A24．已知正实数满足，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.【详解】，因为，所以，因为，所以，因此，因为是正实数，所以，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），故选：A25．在等比数列中，，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等比数列性质可求得及，利用基本不等式可求得的最大值，即为所求结果.【详解】由等比数列性质知：，（当且仅当时取等号），，，即的最大值为.故选：B.26．已知实数a，b，c成等差数列，则点到直线的最大距离是（）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】由等差数列性质得，求出点到直线的距离，代入消元后应用基本不等式可得最大值．【详解】由已知，点P到直线的距离，由均值不等式知，当且仅当时取等，故，最大值为．故选：C．27．实数a，b满足，，，则的最小值是（）A．4 B．6 C． D．【答案】D【分析】令，，化简得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】令，，则，，且，，，所以，当且仅当时取等号.故选：D.28．已知，，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可得，根据展开利用基本不等式可求.【详解】，，，，当且仅当时等号成立，故的最小值为9.故选：B.29．设(其中0<x<y)，则M，N，P的大小顺序是（）A．P<N<M B．N<P<MC．P<M<N D．M<N<P【答案】A【分析】利用基本不等式证明可得.【详解】又，∴.故选：A30．若函数的图象经过点，则（）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值【答案】B【分析】将点代入函数，可得，进而结合基本不等式，可得，即可求出的最小值.【详解】因为函数的图象经过点，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：B31．已知，且，则的最小值为（）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】利用基本不等式有，再利用一元二次不等式的解法，由求解.【详解】由，得，又因为，所以，即，解得或，又，所以，当且仅当，即时取等号．故选：B．32．设，且，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】借助于，将不等式转化为，然后按照基本不等式的性质即可求出最小值.【详解】解：，且，则有，即当且仅当即时“等号”成立.故选：D.33．设均为正实数，且，则的最小值为（）A．8 B．16 C．9 D．6【答案】A【分析】根据题中条件，将所求式子化为，展开后，再利用基本不等式，即可得出结果.【详解】因为均为正实数，所以，当且仅当，即时取等号.因此的最小值为.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.34．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题中条件，利用基本不等式，求出的最小值；得到，求解，即可得出结果.【详解】因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立；又不等式恒成立，所以只需，即，解得.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.35．已知实数，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将所求代数式变形，结合基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，则，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：A.36．设，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】变形为，利用基本不等式求解.【详解】,,当且仅当和，即时取等号，故选：D.37．若x，y∈R＋，3x＋y—xy=0，则2x＋y的最小值为（）A．2＋5 B．4 C．12 D．6【答案】A【分析】将3x＋y—xy=0，变形为，再利用“1”的代换，将，再利用基本不等式求解.【详解】因为3x＋y—xy=0，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以2x＋y的最小值为2＋5，故选：A38．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，得到y＝然后由x＋2y＝x＋＝，利用基本不等式求解.【详解】因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝.由即解得0<x<1，所以x＋2y＝x＋＝，当且仅当，即，时取等号．所以x＋2y的最小值为.故选：A39．若，，，则的最小值为（）A．8 B．10 C．4 D．6【答案】C【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】解：，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号.故选：C.40．已知实数m，n满足，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先通分化简，分子分母同除以，原式化为，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为，则，当且仅当时取等号，此时的最大值为.故选：D.【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.任务二:中立模式(中档)1-40题1．已知，且，，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式可比较A，B大小，作差判断正负可判断大小.【详解】，即，，，故.故选：B.2．已知实数，满足，则的最小值为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】将化为，再利用换元法结合基本不等式即可求解【详解】解：实数，满足化为：令，，则解得：，则：当且仅当，即时取等号所以的最小值为.故选：A.3．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】在，中利用余弦定理，并结合，利用诱导公式，消去角，求得，结合中使用余弦定理，得到，然后结合基本不等式求得的取值范围，进而得到中线长的取值范围.【详解】是边上的中线，在中，①，在中，②.又，，由①＋②得.由余弦定理得.，，，即，.故选C.4．已知实数满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分离出a2+b2，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值．【详解】若ab+c取最小值，则ab异号，c＜0，根据题意得：，又由，即有，，当，分别取时，等号成立，即的最小值为-5，故选：D5．如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】依题意可得，再根据平面向量共线定理得到，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：，则，，又P，M，N共线，∴.又，∴，当且仅当时取等号，故选：C.6．已知，满足则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，然后代入方程，进而根据“法”解得答案.【详解】由题意，设，代入方程得：，所以，即的最小值为：.故选：D.7．已知实数，，则的最小值为（）A．1 B．27 C．8 D．9【答案】B【分析】根据基本不等式得，，从而可求得最小值.【详解】因为所以，当且仅当时取等号，即，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：B.8．若，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】解：，当且仅当时，取等号，所以的最小值为.故选：C.9．若，且，则的最小值为（）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】利用给定条件确定，变形并借助均值不等式求解即得.【详解】因，且，则，即有，同理，由得：，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：D10．设，则的最小值为（）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】原式可变形为，然后根据基本不等式即可求解【详解】，，，当且仅当，即时取等号故选：A11．如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一动点，若，则的最大值为（）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】设BD、AE交于O，根据题意可得，所以，进而可得，根据O、F、B三点共线，可得x，y的关系，代入所求，即可基本不等式，即可得答案.【详解】设BD、AE交于O，因为，所以，所以,所以，则，所以，因为O、F、B三点共线，所以，即，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，此时，所以，故选：A12．若实数，，不等式恒成立，则正实数的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，则，由权方和不等式和基本不等式得，即可求解．【详解】由得因为，，则令则化为恒成立，由权方和不等式得当且仅当，得即时等号成立．所以故选：D13．的最大值为（）A． B．13 C． D．【答案】B【分析】先由基本不等式得到，进而可得结果.【详解】因为，（当且仅当时，取等号.）所以，，即当且仅当时，有最大值13.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由基本不等式得到.14．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且，即时取等号，则的最大值为．故选：A．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.15．已知，，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案.【详解】因为，所以，因为，，所以，得，所以，记，所以，所以，且，所以，当且仅当即等号成立，此时，.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．若正实数，满足，则的最小值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【分析】由题得，再通过变形得到，再利用基本不等式求解.【详解】因为，所以，则，当且仅当时取等号，故选：A．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对式子进行合理的变形和拼凑，使之能使用基本不等式求最值.17．已知函数没有极值点，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，可知函数在上单调递增，即在上恒成立，得到不等式组，利用条件，对所求式子进行放缩，以为变量建立函数关系式，利用构造函数和基本不等式求出其最小值.【详解】，，因为函数没有极值点，所以函数在上单调递增，所以在上恒成立，则有，即，所以，令，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故选：D.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关利用导数研究三次函数的问题，正确解题的关键对函数无极值点这个条件的正确转化，以及会利用基本不等式求最值.18．若，，平面内一点满足，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由知为线段的靠近的一个三等分点，且，由推出为的平分线，根据角平分线定理得到，设，则，根据余弦定理以及基本不等式求出的最小值，从而可得的最大值.【详解】由知为线段的靠近的一个三等分点，且，因为，所以，所以，所以，所以为的平分线，根据角平分线定理可得，设，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值是.故选：B【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.19．设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简，然后由基本不等式得最值，及，这样可化为的二次函数，易得最大值．【详解】当且仅当时成立，因此所以时等号成立．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想．基本不等式的使用价值在于简化最值确定过程，而能否使用基本不等式的关键是中的是否为定值，本题通过得以实现．20．已知，且，则的最小值是（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】根据题意，化简,结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，且，所以,由，可得，所以，代入，得解得，又因为，所以．此时“等号”成立，故所求最小值为8．故选：A.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.第II卷（非选择题）二、填空题21．已知，，且，则的最小值为______．【答案】/【分析】由题可知，再利用基本不等式可得，然后分类讨论即得.【详解】∵，当时，，当时，；又，当且仅当，即，时等号成立，所以当，时，取得最小值，且最小值为．故答案为：22．若，，且，则的最小值为________.【答案】【分析】将目标式改写为，再应用基本不等式“1”的代换求最小值，注意等号成立的条件.【详解】，当且仅当时等号成立，∴的最小值为.故答案为：23．已知正实数x，y，z满足，则的最大值为________．【答案】2【分析】利用凑配法，结合基本不等式，化简求得的最大值.【详解】依题意，故，当且仅当时等号成立.故答案为：2.24．已知正实数，满足，则的最小值为___________.【答案】.【分析】将所求代数式整理为，再利用的代换即可得正确答案.【详解】因为，所以，所以，当且仅当即时等号成立，的最小值为，故答案为：.25．已知对任意正实数，，恒有，则实数的最小值是___________.【答案】2【分析】证明，由，即，结合基本不等式求出，即可得出答案.【详解】解：因为，则，则，即，又，因为，所以，所以，即，当且仅当时，取等号，所以，所以，即实数的最小值是2.故答案为：2.26．已知，则的最小值是__________．【答案】2【分析】根据已知条件将进行变形，进而结合均值不等式即可求出结果.【详解】因为，所以，而,当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值是2，故答案为：2.27．若实数x，y满足，则的最小值为___.【答案】2【分析】由题设可得，而，再利用基本不等式求最小值即可.【详解】∵，令，则，∴2，当且仅当时取等号，此时的最小值为2.故答案为：2.28．若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为______．【答案】2【分析】将给定恒成立的不等式分离参数，再利用均值不等式求的最大值即可.【详解】因，则，而，当且仅当时取“=”，则，所以实数的最小值为2.故答案为：229．已知，且满足，则的最小值为________．【答案】【分析】由已知条件可知，且，由展开利用基本不等式即可求解.【详解】因为，，所以，因为，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.30．已知a，b为正实数，且，则的最小值为___________.【答案】【分析】首先根据题意得到，从而得到，利用基本不等式得到，再开平方即可得到答案.【详解】因为，所以.又因为，所以.所以.所以，当且仅当时取等号.所以，即，即.故答案为：31．已知实数x＞0，y＞0，且满足x2y+xy2﹣11xy+8x+2y＝0，则x+y的取值范围是________．【答案】[2，9]【分析】根据已知条件可考虑等式两边同时除以，使得等式中有“”，进一步利用基本不等式求解即可．【详解】解：由，，得等式两边同时除以，有，即，令，则．由，当且仅当，，即、或、时，等号成立．所以，所以，所以，所以，即，解得，当、时，；当、时，，所以的取值范围为，．故答案为：，．32．已知且满足，则的最小值是___________.【答案】【分析】将因式分解，令，，即可求得，代入利用均值不等式即可求得最小值．【详解】解：，令，，则，，且，所以当且仅当时取等号，此时的最小值故答案为：．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．三、解答题33．已知a，b，，求证：．【答案】证明见解析【分析】根据给定条件利用配凑思想借助均值不等式及不等式性质即可得证.【详解】因为a，b，，则，，，于是得，当且仅当，即时等号成立，，当且仅当，即时等号成立，，当且仅当，即时等号成立，将上述三个不等式相加得：，当且仅当时等号成立，因此有，所以，当a，b，时，.34．设a0，b0，a+b＝2．（1）证明：≥4；（2）证明：a3+b3≥2．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）把展开化简，利用基本不等式即可得证；（2）结合已知条件，利用两数和的立方公式展开，再用基本不等式即可得证.【详解】（1）证明：因为，，..且（当且仅当时取等号），故.所以（2）证明：当且仅当时取等号，又，故.35．设函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若（1），，求的最小值．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．【分析】（1）化简，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.（2）结合基本不等式以及对分类讨论，由此求得的最小值.【详解】（1）由题意可得，即为，即，当时，，由，解得或；当时，，可得；当时，，由，解得；当时，，由，解得．综上可得，时，解集为或；时，解集为；时，解集为；时，解集为；（2）由，，可得，，可得，当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立；当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立．所以的最小值为．36．已知a，，且，求证：.【答案】证明见解析.【分析】根据条件及基本不等式可得，变形得，利用对勾函数的单调性可求得最小值.【详解】证明：，，且，，当且仅当时等号成立.又，设函数，，由对勾函数的性质可得在区间上单调递减.又，，，即.37．设x、y为实数，若，求的最大值.【答案】【分析】方程对应的曲线是旋转后的圆锥曲线，可选用极坐标方程再结合所表示的几何意义求解【详解】解法一：方程对应的曲线是旋转后的圆锥曲线.可以联想到极坐标方程达到减少参数的目的，再利用代数式所反映的几何意义求解最值问题，把代入：，.令，可看成是点与连线的斜率，点在圆上，如图1-109所示.借助圆的方程与直线相切、相交的位置关系，可以得，∴.所求的最大值为.解法二：设，则，，∴，∴.取，∴，∴.即取最大值.38．设a>0，b>0，且＋＝1，求证：a＋2b＋.【答案】证明见解析【分析】设2a＋b＝x，b＋1＝y，则x>0，y>1，＋＝1，则a＝，b＝y－1，所以a＋2b＝＋2y－2，利用基本式不等式化简计算即可证明结果.【详解】设2a＋b＝x，b＋1＝y，则x>0，y>1，＋＝1，则a＝，b＝y－1，所以a＋2b＝＋2y－2＝＋－＝－＝＋＋2＋＝＋，当且仅当＝，即a＝＋，b＝时等号成立.故a＋2b＋.39．已知函数的最小值为．(I)求的值；(II)当时，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】(1)利用绝对值不等式得，再加上可得，；(2)先用基本不等式得，再用基本不等式得，所以.【详解】(I)因为，当时，等号成立；又，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3，所以.(II)当时，由基本不等式得，，又，所以.原命题得证.40．已知是正实数.（1）证明：；（2）若，证明：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）利用三个同向不等式，，相加即可得证；（2）利用，将化为，再根据基本不等式即可得证.【详解】（1）因为，所以，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，所以，所以，当且仅当时，等号成立.（2），当且仅当时，等号成立.【点睛】关键点点睛：利用基本不等式和不等式的性质求解是解题关键.任务三:邪恶模式(困难)1-20题1．已知三次函数在上单调递增，则最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数单调性可知恒成立，结合二次函数图象与性质可确定，由此化简所求式子为；利用，配凑出符合对号函数的形式，利用对号函数求得最小值.【详解】在上单调递增，恒成立，，，，，，令，设，则，，，（当且仅当，即时取等号），，即的最小值为.故选：.【点睛】本题考查利用对号函数求解最值的问题，涉及到根据导数的单调性确定参数范围、分式型函数最值的求解问题；关键是能够通过二次函数的图象与性质确定的关系，进而构造出符合对号函数特点的函数.2．已知函数，若，其中，则的最小值为A． B． C． D．【答案】A【分析】通过函数解析式可推得，再利用倒序相加法求得，得到的值，然后对分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案.【详解】解：因为，所以，令则所以所以，所以，其中，则.当时当且仅当即时等号成立；当时，当且仅当即时等号成立；因为，所以的最小值为.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．设，则取得最小值时，的值为（）A． B．2 C．4 D．【答案】A【分析】转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.【详解】，当且仅当，即，，时，等号成立.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．已知，则的最大值是（）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果.【详解】令，等号在时取到．故选：A【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，考查了三角换元法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.5．若a，b均为正实数，则的最大值为A． B． C． D．2【答案】B【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且a=1取等，即a=1,b=取等即则的最大值为，故选B．【点睛】本题考查基本不等式求最值，熟练变形是关键，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致，是难题.6．已知的内角的对边分别是且，若为最大边，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，化简得到的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.【详解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因为为三角形的最大角，所以，又由余弦定理，当且仅当时，等号成立，所以，即，又由，所以的取值范围是.故选：C.【点睛】本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.7．已知正数满足，则的最小值是()A． B． C． D．【答案】B【分析】利用不等式进行变型，转化为，所以原式变化成关于z的函数，然后求导进行求最值即可得到答案.【详解】(当且紧当时取等号)又因为已知正数满足，所以即故令此时函数递增；此时函数递减；故故选B【点睛】本题主要考查了不等式综合，利用基本不等式进行变型，然后还考查了导函数的应用，利用单调性求最值，属于较难题.8．（改编）已知正数满足，则的最小值为（）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】分析：由变形为，将乘以后再根据基本不等式求解即可得到所求．详解：∵，∴．∴，当且仅当且，即时等号成立．∴的最小值为．故选C．点睛：（1）使用基本不等式求最值时，注意使用的前提是“一正、二定、三相等”，且这三个条件缺一不可．（2）在运用基本不等式时，若条件不满足使用的条件，则要注意通过“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．9．若，，，则的最小值为A． B． C． D．【答案】A【详解】设,则,所以,因为,所以,故选A.点睛:本题考查基本不等式的应用,属于中档题目.解此类题目的两个技巧:(1)创设运用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式，其目的在于使等号能够成立．(2)既要记住基本不等式的原始形式，而且还要掌握它的变形形式及公式的逆用等，例如：，(a>0，b>0)．10．设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得，可令，判断可得，可得，化为，结合基本不等式和导数判断单调性，以及不等式恒成立思想，即可得到所求范围．【详解】，，令，，，，，，，y，z能组成一个三角形的三条边长，可得，即为，设，可得，可令，即有，即为，由，当且仅当上式取得等号，但，可得，则，即；又设，可得，由的导数为，由可得，即函数y为增函数，可得，即有，即有，可得，故选C．【点睛】本题考查导数和函数的单调性，基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题，关键是转化为关于的函数求最值.第II卷（非选择题）二、填空题11．已知实数，，满足，则的最大值是________．【答案】【分析】先消去，再将分子分母同除以，然后令，利用对勾函数的单调性即可求解.【详解】解：先消去，再将分子分母同除以，可得原式，设，可得原式，由对勾函数的单调性可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，所以或，所以原式，故答案为：.12．若，，则的最小值为___________.【答案】【分析】根据题中所给等式可化为，再通过平方关系将其与联系起来，运用基本不等式求解最小值即可.【详解】因为且，则两边同除以，得，又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.故答案为:13．已知，，若，则的最大值是________．【答案】【分析】以为主元，以为参数，将问题转化为对勾函数的最值问题，利用对勾函数的单调性求解即可.【详解】令，则，令，因为，等价于，所以题意可转化为函数在有最小值，因为对勾函数在上递减，在上递增，所以，即，所以，故的最大值是．故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由函数在有最小值结合对勾函数的单调性得到.14．已知a，b，，记，则T最大值为________.【答案】【分析】将分子分母同除以ac，利用基本不等式可得分母，再将，分子分母同除以b，利用基本不等式求解.【详解】，而，，当且仅当时，等号成立，所以，.当且仅当，即时取等号，所以T最大值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方15．已知，，