2022-2023学年山西省大同市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022-2023学年山西省大同市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为()

A.-1B.-2C.-3D.-4

2.（）。A.e-2

B.e-2/3

C.e2/3

D.e2

3.A.3B.2C.1D.1/2

4.A.A.1B.2C.3D.4

5.（）。A.2πB.πC.π/2D.π/4

6.（）。A.0

B.1

C.2

D.＋∞

7.A.dx+dyB.1/3·(dx+dy)C.2/3·(dx+dy)D.2(dx+dy)

8.

9.

10.

11.图示为研磨细砂石所用球磨机的简化示意图，圆筒绕0轴匀速转动时，带动筒内的许多钢球一起运动，当钢球转动到一定角度α=50。40时，它和筒壁脱离沿抛物线下落，借以打击矿石，圆筒的内径d=32m。则获得最大打击时圆筒的转速为()。

A.8．99r／minB.10．67r／minC.17．97r／minD.21．35r／min

12.下列命题正确的是()A.A.

B.

C.

D.

13.

14.设区域，将二重积分在极坐标系下化为二次积分为()A.A.

B.

C.

D.

15.下列关系式中正确的有()。A.

B.

C.

D.

16.

17.A.0B.1C.∞D.不存在但不是∞

18.

19.

20.当x→0时,与x等价的无穷小量是

A.A.

B.ln(1+x)

C.C.

D.x2(x+1)

二、填空题(20题)21.

22.设y=-lnx/x，则dy=_________。

23.

24.

25.微分方程y"-y'-2y=0的通解为______．

26.通解为C1e-x＋C2e-2x的二阶常系数线性齐次微分方程是____.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.设y＝f(x)在点x＝0处可导，且x＝0为f(x)的极值点，则f(0)＝．

35.

36.设z=sin(x2y)，则=________。

37.过点M0(1，-2，0)且与直线垂直的平面方程为______．

38.幂级数的收敛半径为______．

39.

40.

三、计算题(20题)41.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

42.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

43.

44.

45.

46.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

47.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

48.

49.

50.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

51.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

52.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

53.证明：

54.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

55.

56.求微分方程的通解．

57.

58.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

59.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

60.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

四、解答题(10题)61.设y=xsinx，求y'。

62.求，其中区域D是由曲线y=1+x2与y=0，x=0，x=1所围成．

63.

64.

65.

66.设且f(x)在点x=0处连续b．

67.求直线y=2x+1与直线x=0，x=1和y=0所围平面图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

68.设

69.求由曲线y=3-x2与y=2x，y轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积．

70.

五、高等数学(0题)71.

有()个间断点。

A.1B.2C.3D.4

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.C由导数的几何意义知，若y=f(x)可导，则曲线在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且该切线的斜率为f"(x0)。由于y=x-3，y"=-3x-4，y"|x=1=-3，可知曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为-3，故选C。

2.B

3.B，可知应选B。

4.D

5.B

6.B

7.C本题考查了二元函数的全微分的知识点，

8.A

9.B

10.A

11.C

12.D

13.C解析：

14.A本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的二次积分．

由于在极坐标系下积分区域D可以表示为

0≤θ≤π，0≤r≤a．

因此

故知应选A．

15.B本题考查的知识点为定积分的性质．

由于x，x2都为连续函数，因此与都存在。又由于0＜x＜1时，x＞x2，因此

可知应选B。

16.B

17.D本题考查了函数的极限的知识点。

18.B

19.C解析：

20.B本题考查了等价无穷小量的知识点

21.

22.

23.(-∞．2)

24.3

25.y=C1e-x+C2e2x本题考查的知识点为二阶线性常系数微分方程的求解．

特征方程为r2-r-2=0，

特征根为r1=-1，r2=2，

微分方程的通解为y=C1e-x+C2ex．

26.

27.0

28.

29.

30.1/x

31.

本题考查的知识点为隐函数的微分．

解法1将所给表达式两端关于x求导，可得

从而

解法2将所给表达式两端微分，

32.±1．

本题考查的知识点为判定函数的间断点．

33.5．

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

解法1

解法2

34.0．

本题考查的知识点为极值的必要条件．

由于y＝f(x)在点x＝0可导，且x＝0为f(x)的极值点，由极值的必要条件可知有f(0)＝0．

35.11解析：

36.设u=x2y，则z=sinu，因此=cosu.x2=x2cos(x2y)。

37.3(x-1)-(y+2)+z=0(或3x-y+z=5)本题考查的知识点为平面与直线的方程．

由题设条件可知应该利用点法式方程来确定所求平面方程．

所给直线l的方向向量s=(3，-1，1)．若所求平面π垂直于直线l，则平面π的法向量n∥s，不妨取n=s=(3，-1，1)．则由平面的点法式方程可知

3(x-1)-[y-(-2)]+(z-0)=0，

即3(x-1)-(y+2)+z=0

为所求平面方程．

或写为3x-y+z-5=0．

上述两个结果都正确，前者3(x-1)-(y+2)z=0称为平面的点法式方程，而后者3x-y+z-5=0称为平面的一般式方程．

38.

；

39.

40.2/52/5解析：

41.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

42.

43.

44.由一阶线性微分方程通解公式有

45.

46.由等价无穷小量的定义可知

47.

列表：

说明

48.

49.

则

50.由二重积分物理意义知

51.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

52.

53.

54.函数的定义域为

注意

55.

56.

57.

58.

59.

60.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

61.因为y=xsinx则y'=x'sinx+x(sinx)'=sinx+xcosx。因为y=xsinx，则y'=x'sinx+x(sinx)'=sinx+xcosx。

62.积分区域D如图1-4所示。D可以表示为0≤x≤1，0≤y≤1+x2本题考查的知识点为计算二重积分，选择积分次序。如果将二重积分化为先对x后对y的积分，将变得复杂，因此考生应该学会选择合适的积分次序。

63.

64.

65.(11/3)(1,1/3)解析：

66.

67.解：设所围图形面积为A，则

68.

69.所给曲线围成的平面图形如图1-3所示．