九年级数学全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题 三角形四边形存在性问题

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欢迎下载20XX年国考学轴分解汇专4三形边存性题（2012黑江东区10分如图，在平面直角坐标系中，直角形的边OCOA分别x轴y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°∠BCO=45°BC=12，点的标为（18，求点B的标；若直线DE交梯对角线于点，交于点E，且OE=4OD=2BD，求直线的析式；若点P是2）中直线DE上一动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、、、为点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的标；若不存在，请说明理由。【案解）过点B作BF⊥x轴F，在Rt△BCF中∵∠BCO=45°，BC=12，∴CF=BF=12。∵C的坐为（－，∴AB=OF=6∴点B的标为（－6，12（）点D作DG⊥y轴于点，∵OD=2BD，∴OD=

OB。∵AB∥DG，∴△ODGeq\o\ac(△,∽)OBA。∵

DG，AB=6，OA=12，∴DG=4OG=8。（48（，ABOB3设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0∴，得。直线DE解析式为y=x+4（）论：存在。学习好资料

欢迎下载点Q的坐标为，2

，

2【点一次函数综合题，等直角三角形判定和性质，似三角形判定和性质，待定系数法，线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。【析1构造等腰直角三角形BCF，出BF、CF的长，即可求出B坐标。已知E点标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标．构造△ODGeq\o\ac(△,∽)OBA，线段比例关系求出D点坐，从而可以求出直线的解式。如图所示，符合题意的点Q有4个：设直线y=－分与x轴y轴于点E、点F则E（，（，OE=OF=4，EF=4。①菱形OEPQ，时OE为形边。则有PE=PQ=OE=4，F=EF－PE=42－。易知eq\o\ac(△,1)NF为腰角三角形，∴PN=NF=

PF=4－2。设PQ交x轴点N，NQ=PQ－N=4（－2）=2。又ON=OF－NF=22，（，2菱形OEPQ，时OE为形一边。此时Q与Q关原点对称，（－22，菱形OEQP，时OE为形一边。此时P与F重，菱形为正形，∴Q（，④菱形OPEQ，时OE为形角线。由菱形性质可知PQ为OE的垂平分线，由，P纵标为2，代入线解析式y=得横坐标为2，则P（2，由菱形性质可知P、关于OE或轴对称，（－，综上所述，存在点Q，使以O、、、Q为点的四边形是菱形，点Q的标为：Q（22，－22（－22，2（，（－2，（黑龙江绥10）图，四边形ABCD为形C点在x轴上A点y轴上坐标是，0点坐标是34形ABCD沿直线EF叠，点落在BC边上的G处EF分在、，且F点的坐标是2，2222学习好资料

欢迎下载求G点标；求直线EF解析；点N在x轴上直线EF上否在点M使以、、、为顶的四边形是平行四边形？若存，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．【案解）由已知得，FG=AF=2FB=1∵四边形ABCD为矩，∴∠B=90°。∴BG23。∴G点坐标为3，4－3（）直线EF的解式是y=kx+b

在Rt△BFG中，cos

FB，∴∠BFG=60°。∴∠AFE=∠EFG=60°FG∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=2。∴E点坐标为，4－2又F点的坐标是（，∴，解。3∴直线EF的解析式为3。（）在M点坐标为（

1，33

3

3

【点一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和质。【析根据折叠性质可知FG=AF=2而FG=AB－AF=1则在Rt△BFG中利用勾股定理求出BG的，从而得到CG的，从而得到G点标。（）题意，可知△AEF为含30度角直角三角形，从而可求出E点坐标；又F点坐已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解式。（）FG为平四边形边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四学习好资料

欢迎下载边形的形状：若以M、N、、为点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：①FG为平四边形的一边，且N点正半轴上，如图1示。过M点MH轴于点H，易△MHN≌△GBF∴MH=GB=3，y=3。由直线EF解析式y3x3，出x3∴M（，

M1

。②FG为平四边形的一边，且N点负半轴上，如图2示。仿照与①相同的办法，可求得M

3

3③FG为平四边形的对角线，如图3所示过M作FB延线的垂线，垂足．易证△Meq\o\ac(△,3)C，则有M，以的坐标为－3。代入直线EF解析式，得到M的坐标为

1+43

。∴M（

1+4

（

综上所述，存在点，使以M、、F、G为顶点的四边形是平行四边形，点M的标：1+4，3（833

（2012黑江河齐哈、兴安、西10）图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边08分别y轴轴上并且OAOB长分别是方程x—7x+12=0的两(OA<0B)，点P从A开在线段AO上以秒个单长度的速度向点O运；同时，动点Q从点B开在段BA上以每秒2个单长度的速度向点A运动，设点、运的时间为t秒求A、两点的坐标。求当t为值时，△APQ与AOB似，并直接写出此时点Q的坐．当t=2时，在坐标平面内，是否在点M，使以APM顶点的四边形是平行四边形?若存在请直接写出M点的标；若不存在，请说明理由．学习好资料

欢迎下载【案解）由x－x+12=0解x=3x=4。∵OA＜OB，∴OA=3,OB=4。3)B(4，0)(2)由OA=3OB=4，据勾股理，得AB=5由题意得，AP=t,AQ=5－2t。两种情况讨论：①当∠APQ=∠AOB时，图1，△APQ∽△AOB∴

t152018解t=（AB3511②当∠AQP=∠AOB时，如2，△APQ△ABO。∴

t530解得t=，AB513（）在M（，M（（5【点动问题，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性质，平行四边形的判定。【析1解出一元二次方程，结合OA＜即可求出A、B两的坐标（）∠APQ=∠AOB和AQP=∠AOB两种况讨论即可。（）t=2时，如图，OP=2，，∴P0，15若以A、、、为点的四边形是平行四边形，则①当为对线时，点M的坐标与点的横标相同，纵坐标为

22+2=。∴M55②当PQ为角线时，点M的横标与点Q的坐标相同，纵坐标为。∴M（55③当AP为角线时，点Q、关于AP的中点对称。由，，（，）AP的点坐标为，2学习好资料

欢迎下载44848由Q（）的坐标为2，纵坐标为。∴M（，555综上所述，若以A、、、为点的四边形是平行四边形，则点的标为4248（）（）或（5555（2012湖襄12分）图，在矩形中，AO=10，AB=8，沿直CD折叠形OABC的边BC，使点B落在OA边上的点E处以OC在的直线为x轴轴建立平面直角坐标系线y=ax+bx+c经过O，，三．求AD的长抛物线的解析式；一动点P从E出，沿以每2个位长的速度向点C动，同时动点Q从点C出，沿CO以每秒1个位的速度向点O运动当点动到点C，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，t为何值时，以P、、为顶点三角形与△ADE似？（）N在物线对称轴上，在物线上，是否存在这样的点M与N，使以M，，，顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点与点坐标（不写求解过程不在，请说明理由．【案解）∵四边形ABCO为形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AO=BC=10。由折叠的性质得，△BDCeq\o\ac(△,，)∴∠DEC=90°EC=BC=10，ED=BD。由勾股定理易得EO=6。∴AE=106=4设，BD=CD=8﹣，勾定理，得x+4=﹣），解得，x=3。∴AD=3。∵抛物线y=ax+bx+c过点D（3，8，∴

9a+3b=1064a+8b=0

，解得

163

216。∴抛物线的解析式为：yx。3（），∠OCE+∠OEC=90°∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，。而CQ=t，EP=2t∴PC=102t。学习好资料当∠PQC=∠DAE=90°eq\o\ac(△,∽)ADEeq\o\ac(△,，)QPC

欢迎下载∴

t1040，即，得t。ED4513当∠QPC=∠DAE=90°eq\o\ac(△,∽)ADEeq\o\ac(△,，)PQC∴

PCCQ10t25，，得tED

。25∴当或时，以PQC为点的三角形eq\o\ac(△,与)相似。（）在符合条件的M、点，们的坐标为：①M﹣，﹣32（，38②M（12，﹣32（，﹣（，

14（，﹣【点二次函数综合题，折叠和点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。【析根据折叠图形的轴对称性eq\o\ac(△,，)≌△CBD在eq\o\ac(△,Rt)CEO中出OE长从而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB﹣、，用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点标，利待定系数法即可求出抛物线的解析式。（由∠DEC=90°首先能确的是∠AED=∠OCE以QC为顶的三角形eq\o\ac(△,与)相，那么∠QPC=90°或PQC=90°，后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求对应的的值。（）设存在符合条件的M、点，分两种情况讨论：①EC为平四边形的对角线于物线的对称轴经过EC中点四边形MENC是平四边形，那么M点必抛物线顶点。16232由yxx得物线顶点，则M（，33∵平行四边形的对角线互相平分，∴线段MN必被EC中点，3）平分，则N（，﹣

②EC为平四边形的边，则ECMN，设N（，M（﹣，m+6）（，﹣将M（﹣，m+6）代入抛物线的析式中，得m=38此时N（，﹣38（4，﹣32将M（12，﹣）入抛物线的析式中，得m=26此时N（，﹣26（，﹣32综上所述，存在符合条件的M、，它们的坐标为：（﹣，32（，38学习好资料

欢迎下载②M（12，﹣32（，﹣（，

14（，﹣28.2012湖永10分）图所示，已知二次函数+bx﹣（a）的图象过点（，）和（，3为点0，2）且与x轴行的直线（n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥lH为垂足．求二次函数y=ax+bx﹣（a）的解析式；请直接写出使y＜的对应的x的取范围；对应当m=0，和m=4时，分别计|PO|和PH|的．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；试问是否存在实数m可△POH为正三角形？若存在，求出m的值若不存在，请说明理由．【案解）∵二次函数y=ax+bx1（a≠0的图象过点A（，）B（4，14a+2b∴，得。∴二次函数的解式为x﹣。1=0-当﹣2＜＜时y＜0。当m=0时，=1，|PH|=1；当m=2时P点的坐标为（2，=4，|PH|=4当m=4时P点的坐标为4，=25|PH|=25由此发现|PO|=|PH|。设P点坐标为（m，nn=

m﹣|OP|=m+n，|PH|=（n+2）=n+4n+4=n+m。∴对于任意实数m，|PO|=|PH|。（）在。由（3）知OP=PH，要OH=OP成，△POH正三角形。学习好资料

欢迎下载设P点坐标为（m，n|OP|=m+n，|OH|=4+，由得m+n=4+m，=4，解得n=±2当n=﹣2时n=

m﹣不合条件，当n=2时由2=

m﹣解m=±23。∴故当m=±2时可使△POH为正三角形．【点二次函数综合题，曲线上的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，等边三角形的判定。【析1根据二次函数y=ax+bx（a≠0）的图象过点A（2，）B4，3定数法求出a和b的，抛物线的解析式即可求出。（）y=

x﹣1=0，解得x=﹣或x=2，图象可知当＜x＜＜。（）别求出当m=0，m=2和m=4时，分别计|PO||PH|

的值．然后观察其规律，再进行证明。（）（）OP=OH，只要OH=OP成立eq\o\ac(△,OH)P为正三角形，求出OP|、|OH|含m和n的达式，令两式相等，求出m和n的。29.（湖南娄10分）知二次函数y=x（﹣x﹣2m的象x轴交于点x和点x，110＜，y轴于点C，满足．xx2求这个二次函数的解析式探究：在直线y=x+3上是存在一点P，四边形为平行四边形？如果有，求出点P的标如果没有，请说明理由．学习好资料

欢迎下载【案解）∵二次函数y=x﹣m﹣）﹣2m的象与x交于点A（，0）和点B（，0＜，∴令，x﹣m﹣）﹣2m=0①，则有x+x=m﹣，xx=﹣。x+x1∴+=1=，化简得到：m+m﹣2=0，得m=﹣2，=1xxxx221当m=﹣2时方程①为：x﹣2x+4=0，其判别式eq\o\ac(△,=b)eq\o\ac(△,)﹣4ac=﹣12＜，时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；当m=1时方程①为：x+x﹣2=0，其判别eq\o\ac(△,式)﹣4ac=9＞，此时抛物线与x轴两个不同的交点，符合题意。∴m=1∴抛物线的解析式为y=x+x﹣。（）在。理由如下：假设在直线y=x+3上否存在一点P使四边形PACB为行四边形。如图所示，连接PA．PB．．，过点作PD⊥x轴于点。∵抛物线y=x+x﹣2与x轴于．点，与y轴交于点，∴A（﹣，（，（，2∴OB=1，OC=2。∵PACB为平行四边形，∴PA∥BCPA=BC。∴∠PAD=∠CBO∴∠APD=∠OCB。在Rt△PAD与eq\o\ac(△,Rt)CBO中∵∠PAD=∠CBO，PA=BC，∠APD=∠OCB，∴Rt△PAD△CBOAAS∴PD=OC=2，即y=2。∵直线解析式为y=x+3，=﹣。∴P﹣，∴在直线y=x+3上在一点P，使四边形PACB为平行四边形，点标为（﹣1，【点二次函数综合题，二次函数与x点题，曲线图上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。【析1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的．根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值从问题得到解决。注意：解答中求得两个的值需要进行检验，把不符合题意的m值舍。（）用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，从而得到P点的2222222222学习好资料

欢迎下载横坐标，从而求得P点标。（2012湖南阳10分）图B点的坐标分别是8，0P由发沿BA方向向点A作匀直线运动，速度为每秒单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个位长度，连接PQ若设运动时间为t（＜＜

）秒．解答如下问题：当t为值时，PQ∥BO？设△AQP的积为S，求S与t之间函数关系式，并出S的大值；若我们规定：点P、Q的标分别为xyy新标x﹣，﹣y）为“向量PQ的坐标．当S取最值时，求“向量PQ”的坐标．【案解）、两点的坐标别是8，OB=6，OA=8。∴ABOB。如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，，AP=10﹣3t。∵PQ∥BO，∴

102t20，，得t=。AB511∴当t=

秒时，PQ∥BO。（）（）：OA=8，OB=6，AB=10①如图②所示，过点P作轴于点D则PD∥BO∴△APD∽△ABO。∴

PDPD，，得PD=6﹣t。AB619∴St=tt+5255

。∴S与t之的函数关系式为S=

5t+5

10（＜＜3∴当t=

53

秒时，取得大值，最大值为（平方单位学习好资料②如图②所示，当S取大值时t=，∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO。

欢迎下载又PD∥BO，∴此时PD为OAB的中位线，则OD=

OA=4。（，又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q，3依题意，“向量PQ”的坐标为﹣40﹣3（，﹣3∴当S取大值时，“向量PQ的坐标为（，【点动问题，平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理，三角形中位线定理。【析）如图①所示，当∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，线段比例式t的值。

，出AB（）求S关式要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作点P作PD⊥x轴于D，构造平行线PD∥BO，由△APD得

ABOB

求得PD，从而S可求出S与t间的函数关系式是一个关于t的二函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。②求出点P、的标：当S取大值时，可推出此时PD为△OAB的位线，从而可求出点P的横坐标，又易求点坐，从而得点PQ的标；求得PQ的标之后，代入“向量PQ”坐的定义（﹣，y﹣）即可求解。（2012湖南株10分）图，一次函数y=

x+2分交、轴于B点，抛物线y=﹣+bx+c过A、两点求这个抛物线的解析式；作垂直x轴直线x=t，在第一象限交直线AB于M交这个抛物线于N．求当t取值时，MN有大值？最大值是多少？在（）的情况下，以A、、、D为顶作平行四边形，求第四个顶点D的标．1222212222【案解）∵y=

学习好资料欢迎下载分交轴、x轴于A、两，∴A、点坐标为A（，（，将，代y=﹣+bx+c得；将，代y=﹣+bx+c得0=﹣16+4b+2解得b=

。∴抛物线解析式为：y=﹣+

x+2。（）图1，设MN交x轴于，则Et0﹣。21∵ABO，OB2∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣）×

=2﹣t。又∵N点在物线上，且x=t，∴y﹣+t+2∴MEtN∴当t=2时，MN有最值4。（）（）知，A（，（，1（2，如图2，以A、、、为顶作行四边形D的可能位置有三种情形。（）D在y轴时，设D的标为0，由AD=MN，得|a﹣2|=4，得=6a2，从而D为（0，）或（，2（iiD不轴时图知为DN与的交，由D（，（，）得N方程为y=x+6由D（，2（，）M的方为y=

x﹣2。由两方程联立解得D为（4，4综上所述，所求的D点标为（，）或，4【点二次函数综合题，待定系法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，平行四边形的判定和性质。【析1首先求得、B的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解式。求得线段MN的表达式，这个表式是关于t的次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值。明确D点可能位置有三种情形如图2示，不要遗漏．其中D、在y轴，利用线段2=222=22学习好资料

欢迎下载数量关系容易求得坐标；D点在一象限，是直线DNM的交，利用直线解析式求得交点坐。（2012湖北鄂12分）知：如图一，抛物线

yax

与x轴正轴交于A、两点，轴交于点C，直线

yx

经过A、两点，且AB=2.求抛物线的解析式；若直线DE平行x轴从C点始以每秒个单位的速度沿y轴方向平移，且分别交y轴线段BC于点E、，时动点P从出发沿BO方向以每秒2个单速度运动图2点P运动到原点O时直线DE与点P都止运动，连，若点P运动时间为t秒；t为何值时，s有小值，并求出最小值。

，当（）（）条件下，是否存t的值使以、、为顶点的三角形与△相；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。【案解）在x中由x=0得－，（，－2由得，（，∵AB=2，（，∴可设抛物线的解析式为y2）得a3∴抛物线的解析式为xxx。42（）题意：CE=t，PB=2t，OP=4－2tEDCEEDt∵ED∥BA，∴△CEDeq\o\ac(△,∽)COB。∴，。∴ED=2t。OBCO2

。∴s

EDOPED2t

1==+8t

。∴当t=1时1。∴当t=1时s

EDED

的值最小，最小值是1。22222222学习好资料

欢迎下载（）在。设BC所在直线的解式为，由（4，0（，－）得

b=

，解得

1k=2b=

1，∴C所在直线的解析式为y=2由题意可得D点纵坐标为t，则的横坐标为。∴BD

。又BCOB45。∵∠PBD=∠ABC，∴以P、、顶点的三角形与△ABC相有两种情况：当

时即AB2

，解得；当

BC2t210时即，得。BA综上所述，当t

10或t时，以、B、顶点的三角形eq\o\ac(△,与)相。【点二次函数综合题，待定系法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【析1求出C、的坐标，设抛物线的解析式为y=a（－－入点C的坐求出即可。（）由意：CE=t，PB=2t，，ED∥BA得出CEDeq\o\ac(△,∽)COB，而

EDCE，出OBCOED=2CE=2t，根据

EDOPED

，根据二次函数的最值求出即可。（）P、B、为顶的三角eq\o\ac(△,与)ABC似有两种情况：

BPBC和代求出即ABBA可。（2012福宁13分）如图矩OBCD的边OB分别在x正半轴和负半轴上且OD＝10，OB＝．矩形的边BC绕点B逆针旋转，使点C恰好x上的点A重合．(1)直接写出点A、B的坐：，、B()；1(2)若抛物线y＝－x＋c经点A、B，则这条抛物线的解式是；3(3)若点是直AB上方抛物线的一个动点，作MN轴于N．问是否存在点M，eq\o\ac(△,使)AMN与△ACD相似若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由；22m3222m32学习好资料

欢迎下载7(4)当≤7，在抛物线上存在P，△ABP面积最大，eq\o\ac(△,求)面的最大值．2【答案】解（）（6，），（，8）。10（）yx（）在。

。110设M+m，110则N（，）MN=+m，NA=6－。33又DA=4，CD=8，①若点M在N上，

MNNA，则△AMN∽△ACD。CDDA∴

m，即m，得m=6或m=10与点M是线AB上抛物线上的一个动点不符。∴此时不存在点M，使△AMN与相似。MNNA②若点M在N下，，△AMN∽△ACDCDDAm∴，m

2

4m12=0，得m=－或。与点M是线AB上抛物线上的一个动点不符。∴此时不存在点M，使△AMN与相似。m34m34学习好资料

欢迎下载③若点M在N上，

MNNA，则△AMN∽△ACD。DACD∴

m，即2m8

2

，程无解。∴此时不存在点M，使△AMN与相似。④若点M在N下，

MNNA，则△AMN∽△ACD。DACDm∴，当m=时符合条件。

2

5，解得m=或m=6。2∴此时存在点M（，△与△相似。4综上所述，存在点M（，△与△相似。410（）P（p，p+p10在yx+中令y=0，得x=4。77∴≤x≤7分≤x＜，4≤x＜6≤x≤7三个区间讨论：227①如图，当≤x＜时，点P作⊥x轴于点210则，－，PH=p。3∴OAB梯形O

APH1pp+827∴当≤x＜时，S随p的加而减。2ABP735∴当x=时S取最大值，最大值。2②如图，当4≤x＜6时过点P作PH⊥BC点H过点

作AG⊥BC于点G。则BH=p，HG=6－，+p+p，∴+S梯ABG2424学习好资料

欢迎下载11p+pp+232+6p=∴当4≤x＜6时S

ABP

随p的加而减小。∴当x=4时S

ABP

取得最大值，最大值为8。③如图，当6≤x≤7时过点作PH⊥x轴点。10则，HA=－，PH=p3

。∴梯

APH1010p2

∴当6≤x≤7时

ABP

随p的加而增加。∴当x=7时

ABP

取得最大值，最大值为7。735综上所述，当x=时S取最大值最大值为。2【点】次函数综合题，矩形的性质，旋转的性，勾股定理，线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定，二次函数的性质。【析）由OD＝10OB＝，矩形的边BC绕点B逆针旋转，使点C恰与上的点A重，可得OA=AB－=10－=36，∴OA=6∴A6，00，－1（）抛物线y＝－x＋＋经点、B，3∴

c=

，解得

。上方，

110∴这条抛物线的解析式是y。33NAMNNA（）①若点M在N上方，②若点M在点N下，CDDACDDANANA，若点M在点N下，四情况讨论即可。DACDDACD

，③若点M在N7（）据二次函数的性质，分≤x＜，4≤x＜6≤x≤7个区间分别求出最大值，比较即2可。学习好资料

欢迎下载（2012福建龙14分）平面直角坐标系xoy中，一含角的三板作如图摆放，斜边AB在x轴，直角顶点C在轴半轴上，已知点（－，0（）直接写出点B、的标（过A、B、三的抛物线解析式；（）有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°顶点E放线段AB上（点E是与A、B两点合的动点使ED所在直线经过点C．此，所在直线与（）中的抛物线交于第一象限的点M设AE=x，x为值时eq\o\ac(△,，)OCE∽OBC在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P△是等腰三角形，若存在，请求点P的标；若不存在，请说明理由．【案解）（，（，3∵A（—，）（，）∴可设过A、、三的抛物线为y=a又∵C（，）抛物线上，∴3=a。∴经过A、、三的抛物线解式y=（）当△OCEeq\o\ac(△,∽)时则。OBOC

2x即y=x33

x+。∵OC=，OE=AE—AO=x－1，OB=3，∴

3x。。3∴当时△OCEeq\o\ac(△,。)OBC②存在点P。由①可知x=2，。∴E（，此eq\o\ac(△,，)CAE为等边三角形。3322．．3322．．学习好资料∴∠AEC=∠A=60°。又∵∠CEM=60°∴∴点C与M关抛物线的对称轴x=∵C（，3（，3过M作MN⊥x轴于N（2，∴MN=3。。

欢迎下载23b2a2

=1对称。∴EMEN。若△为腰三角形，则：ⅰ)当EP=EM时∵EM=2，且点在直线x=1上∴P(12)（，2ⅱ）当EM=PM时，M在EP的直平分线上，∴P(123)。ⅲ）当PE=PM时点P是段EM的直平分线与直线x=1的点，∴P(1

)∴综上所述，存在P点坐为1，2）或（，）或1，）或（，

）时，△EPM为腰三角形。【点二次函数综合题，锐角三函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰角形的判定。【析1由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OAB的，从而求得点B、C的标。设定交点式，用定系数法，求得抛物线解析式。（）根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。②求得EM的，分EP=EM，EM=PM和PE=PM三情况求解即可。（2012福建漳12分）知抛物线

14

x+如图所示．填空：抛物线的顶点坐标(______，______)对称轴是____；已知轴上点A(0，2)，点P在物线上，过点P作PB⊥x轴，足为B．eq\o\ac(△,若)是边三角形，求点P的坐；在2)的条件下，点M在线AP上．平面内是否存在点，使四边形OAMN为形若在，．．．．．．．．学习好资料

欢迎下载直接写出所有满足条件的点N的标；若不存在，请说明理由．【案解）顶点坐标是（0，称是y轴（x=0（）△PAB是边角形，∴∠ABO=90°－60°=30°。∴AB=2OA=4。∴PB=4。把y=4代y=

x+1，x=±23。∴点P的标为（，）或（－，（）在。所有满足条件的点N的坐标为(3，1)(-3-1)(-3，，(3，。【点二函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，菱形的判定。【析1根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可。根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代函数的解析式后求得x的即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P的纵坐标。首先求得直线AP的解析式，然设出点M的标，利用勾股定理表示出有关的长可得到有关M点横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标：设存在点M使OAMN是菱形，∵∠OAP＞90，∴OA不能为菱的对角线，只能为菱形的边。若点P的标为（3，点A的标为，设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b，

3k

，解得：

33b

。∴AP所在线的解析式为：y=

x+2。2222学习好资料

欢迎下载∵点M在线AP上，∴设点M的坐标为如图，作MH⊥y轴于H，则MH=m，AN=OH－m+2－m。∵OA为菱的边，∴AM=AO=2。

m+2∴在Rt△AMH中，AH+MH=AM，：+

m）=2，解得：3。∴M3，）或（－，当M（，），（3，M（－3，）时N（－3，1若点P的标为（－3，理可得N的标为（－3）或（3，－综上所述，存在点N（3，，1，13，1得四边形是形。（福建明12分已直线y=2x与x轴和轴别交于点和点B物线y=的顶点M在直AB上，抛物线直线的另个交点为．（）图①，当点M与A重时，求：抛物线的解析式分点N的标和线段MN的分）（）物线y=在线AB上移，是否存在点，使得△与△AOB相？若存在，直接写出点M的标；若不存在，请说明理由）【案解）①∵直y=2xx轴分别交于点A和点B，∴A（

，B（0，－5当顶点M与A重时，∴M（

，222222学习好资料

欢迎下载∴抛线的解析式是：x，y=x+5x。②∵N是直线与抛物线y=x

的交点，∴

y=2xy=+5x

254

，解得

1x=2y=

或

5x=2

。∴N（

，－4如图，过N作NC轴垂足为C∵（，4∴C（，）∴NC=4．MC=OM－OC

。∴NCMC45。（）在。点M的标为（2，1或4，【点二次函数综合题，二次函的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。【析1）①由直线y=2x与轴和轴别于点和点B求出点B坐标，由顶点M与点A重合，根据二次函数的性质求出顶点解析式。②联立y=2x和线段MN的长

，求出点N的坐标，过N作NC⊥x，由勾股定理求出（）在两种情况eq\o\ac(△,，)与相似：情况1，，作MD轴，垂足为。设M（m，OD=m5。又OA=

，，则由△OMDeq\o\ac(△,∽)得∴M（2，－1

ODDMm52m，即，得m=2。OA52情况2，∠ONM=90，△与相似，则∠OMN=∠OBN。∴OM=OB=5。学习好资料

欢迎下载设M（m，m解得。∴M（4，综上所述，当点M的标为（，－）或（，）时，△AOB相。（2012福福13分）图①，在eq\o\ac(△,Rt)中，∠C＝90ºAC＝，＝，点点A开始沿边AC向点C以每秒个位长度速度运动，动点Q从C开始沿边CB向以每2个位长的速度运动，过点P作∥BC交AB于点，连接PQ点、分从点、同出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒(≥0)．直接用含t的数式分别表示：QB＝______PD______．是否存在t的值，使四边形为形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q的速(匀速运动)，四边形在某一时刻为菱形，求点的度；(3)如②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M经过的路径长．4【案解：(1)＝－2t，PD＝t。3(2)不在。理由如下：在Rt△ABC中，∠C＝90°AC6，BC，∴AB10。∵PD，∴eq\o\ac(△,∽)△ACB。

ADAPADt5＝，：＝，AD＝tABAC10635∴BD＝AB－AD＝10－t。3∵BQ，∴当BQ＝DP时，边形PDBQ平行四边形。412∴8－2t＝t，解得：t＝。35124121612当t＝时PD＝×＝，＝10×＝，∴DP≠BD535535∴PDBQ不能为菱形。学习好资料

欢迎下载45设点Q的度为每秒v个位长度，则BQ＝－vtPD＝tBD＝10－t。33要使四边形PDBQ为菱，则＝BD＝BQ4510当PD＝时，t＝10－t，解得t＝。333104101016当PD＝时，＝时即×＝－v，解得v。33331516∴要使四边形PDBQ在某一时刻菱形，点速度为单长度秒15(3)如，以C为原点，以AC所直线为x轴，立平面直角坐标系。依题意，可知0≤t≤4。当t＝时点M的标(，0)当t＝时点M的标(，4)设直线MM的解式为y＝kx＋，b＝－∴，得。k＋b＝b＝6∴直线MM的解式为y＝－＋。∵点，2t)，P(6－，，6－t∴在运动过程中，线段PQ中点坐标为(，。26－t6t把x＝，入y＝－2x＋，＝－2×＋＝。22∴点M在线MM上。线段PQ中点M经过的路径长即为线段MM。过点M作MN⊥x轴于点N，则M＝，N。∴M＝5。∴线段PQ中点M所经过的路径为25单长度。【点锐角三角函数定义相似三角形的判定和性质一函数综合题勾定理菱的判定和性质．【析(1)根题意得：CQ＝，＝，由eq\o\ac(△,Rt)ABC，∠C＝90°＝，＝，PD∥BC，即可PDBC4得tanA＝＝＝，可求得QB的值PAAC3(2)易△APDeq\o\ac(△,，)即求AD与BD的，由BQ∥DP，可得当BQ＝时四边形PDBQ是平四边形，即可求得此时与BD的长，由DP≠BD，可判定PDBQ不为菱形；然后设的速度为每秒v个单长度，由要使四边形PDBQ菱形，则PDBD＝，方程即可求得答案。(3)建直角坐标系，求出线段PQ中点末坐标和求出直线MM的解析式，并证明线段PQ任中点在直线MM上从得出线段M即线段PQ中点M所过的路径长，根据勾股定即可求学习好资料

欢迎下载出。38.2012辽丹东14分已知抛物线

2ax

与y轴于C点与x轴于AB两点点A的坐标是（－，是坐标原点且

OCOA

．求抛物线的函数表达式；直接写出直线BC的函数表达式如图1，D为y轴负半轴上的点，且OD=2，OD为边正方形ODEF.将方形ODEF以每秒1个位的速度沿轴正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与OBC重部分的面积为s，运动的时间为t秒0≤2.求：①s与t之的函数关系式；②在运动过程中s是否存在最值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（）图2，点P（，）直BC上，M上，点在抛线上，是否存在以A、、N、P为点的平行四边形？若在，请直接写出M点坐；若不存在，请说明理.【案解）∵A（1，0）

OCOA

，（，－3∵抛物线经过A（－，）（∴

，解得

ac

。∴抛物线的函数表达式y=x2x－。直线BC的数表达式为y=x－3当正方形ODEF的点运到线BC上，设D的坐标为m，－根据题意得：－2=m－，∴m=1222222学习好资料

欢迎下载①当0＜t≤1时S=2t；当1＜t时如图O（0－G（t，－（，2∴GD=t－1，=t－。形O

HG

2t

1=t。2∴与t之间的函数关系式为tS1t+3t<t2②在运动过程中，s是在最大：当t=2秒时S有大值，最大值为

72

。（）在M（－0）2，（，（36，【点二次函数综合题定系数法曲线上点的坐标与方程的关系正方形的性质二次函数的性质，平行四边形的判定。【析1求出点C坐标，即可根据A，的标用待定系数法求出抛物线的函数表达式。求出点B的坐（，可待定系数法求出直线BC的函表达式。①分0和1讨即。t②由于11t22

+

92

在0＜t≤2上随t的增大而增大从而在运动过程中，是在最大值：当=2秒S有最值，最大值为

72

。（）点P（，）直线BC上可得k=－。∴P1，－则过点P且行于x轴的线N和在轴方与的距离为2的线NNy=x－－的点N、、N、的标分别为2，2（，－N（12（1+，2若AP是，则M的坐标为－加点A的坐标：－；学习好资料

欢迎下载M的横标为加点A的坐：2M的横标为N的坐标加N的坐标：3；M的横标为N的坐标加N的横坐标：36。若AP是角线，符合条件的点M与述（－2，）M（2，）重合。综上所述，（20（2，0（3，（6，（2012辽宁阜12分）平面直角坐标系中，二次函数

yaxbx

的图象与x轴于A（－3，0（，）点，与y轴于点C求这个二次函数的关系解析式；点P是线AC上方的抛物线上动点，是否存在点P使△ACP的积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；考生注意：下面的（三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按答的首题评分，切记啊！在平面直角坐标系中，是否存在点Q使△BCQ以BC为的等腰直角三角形？若存在，直接写点Q的标；若不存在，说明理由；点Q是线AC上方的抛物线上动点，过点QQE直于x轴垂足为E．否存在点Q，使点B、Q、为点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的标；若不存在，说明理由；点M为物线上一动点，在x轴是否存在点，使以AC、M、为顶的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；不存在，说明理由．【案解）由抛物线

y

2

bx

过A（－，（，2222

09a0

学习好资料欢迎下载a，解得。4b4∴二次函数的关系解析式为yx3（）点P坐标（，

mm。连接PO，作PM⊥x轴于M，PN轴于N。PM=

，PN，AO=3。当x时，y

，所以OC=2。1AOAOPAO

[211m2∵0∴函数3m有最大值，当

时，有大值。此时

24m)33

。5∴存在点P(,2

，使△ACP的面积最大。（）在。点((Q(2,134

。（）在。点

21(Q(2

。（）Q(0),Q(27,0),7,0)。123【点二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰直角三角形的定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。【析1将点A、B坐标代入

yax

bx

即可求得a、，而得到二次数的关系解析式。（）点P坐标（，nmm

。连接PO，作PM⊥x轴M⊥y于，根据

PCO

求出S关的次函数，根据二次函数最值求法即可求解。分BQ为斜边和CQ为斜两种情讨论即可。分△BQE∽eq\o\ac(△,，)△EBQ∽△AOCeq\o\ac(△,，)QEB∽三种情况讨论即可。分AC是边和对角线两种情况讨即可。（2012辽宁铁14分）图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（，物线顶点为，22ADP2222ADP22学习好资料

欢迎下载它的对称轴与x轴交点D.直线y过抛物线上一点B－，）与轴交点C，抛物线的对称轴交于点求的及该抛物线对应的解析式；P(x,y)是物线上的一点，若S,求出所有符合条件的点P的标（）是面内任意一点，M从发，沿对称轴向上以每秒1个位长度的速度匀速运，设点M的运时间为t秒是否能使以Q、、E、四点为顶点的四边形是菱形.若，请直接写点的运动时间t的；若不能，请说明理.备用图【答案】解）∵点B（﹣2m）在直线y=﹣1，∴m=﹣2×（－2）﹣1=3。（23又∵抛物线经过原点O，∴设抛物线的解析式为yaxbx。∵点B（﹣，（，）抛物线上12b∴，得：16a4bb

1。∴设抛物线的解析式为yx。4（）（，）抛物线上的点，∴P(x,

。∵点C是线y=﹣2x﹣与y轴点，∴C，1。若S

∵ADC

1，，，OCy。2∴

1x，即4解得：xx2,x．14∴点P的标为P（，（22，（，－1学习好资料

欢迎下载（）论：存在。当t，=6，tt=

时，以Q、A、、四点为顶点四边形是菱形。【点动点问题，二次函数综合，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程，二次函数的性质，勾股定理，菱形的判定和性质。【析1由点B﹣，m）直线y=﹣﹣上将其代入即可求得m的值，从而得到点的坐标，由点O，，在物线上，用待定系数法即可求得抛物线对应的解析式。即

x

（设求得点的坐和二者是同底等高的三角形OCy，eq\o\ac(△,S)，之即可求得点P的标。（）抛物线的解析式为yx，∴顶点（，﹣称轴为x=2。∵点F是线﹣﹣与称x=2的交点，∴F2﹣。又∵A（，∴AE=如图所示，在点M的动过程中，依次出现四个菱形：①菱形AEMQ。∵此时DM=AE=，∴MF=DF﹣DE﹣=。∴t=。②菱形AEOM。∵此时DM=DE=1，F=DF+DM=6。∴t=6。③菱形AEMQ。∵此时EM=AE=，∴DM=EM﹣5﹣。∴MF=DM+DF=（﹣）4+5。∴t=。④菱形AMEQ。此时AE为形的对角线，设对角线AE与于点H，则AE⊥MQ。22学习好资料

欢迎下载5MEHM∵易知△AED∽eq\o\ac(△,，)M4EH∴4，即4，得ME=。AEDE313∴DM=ME﹣DE=﹣。∴MF=DM+DF=+5=。2∴t=

。综上所述，存在点M、点Q，使以QA、点为顶点的四边形是菱形；时间t的为：t=45t=6t4+，=

。（2012辽大12分）图，抛物线y=ax+bx+c经A（－，033，（，）点，线段BC与抛物线的对称轴l交于点。设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、，段AD与y轴交于点E。求该抛物线的解析式；在平面直角坐标系中是否存在点Q使以C、D顶点的三角形eq\o\ac(△,与)全？若存在，求出点Q的标，若不存在，说明理由；将∠CED绕点E顺针旋转，边EC旋后与线段BC相交点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接、，PM＝2DN求点N坐标（直接写出结果【案解）∵抛物线y=ax+bx+c经过（－3，（00，）三点，∴抛物线的解析式可设为y=ax+x，将C（，）入得3=a0+03，解得a=

。∴抛物线的解析式为y=

x+3，y=

x+。3（）在。如图，学习好资料

欢迎下载23由y=x+x+3得称轴l为x=3，3由B（30（，）tan∠OBC=

，∴∠OBC==30。由轴对称的性质和三角形外角性质，得∠ADP==120。由锐角三角函数可得点D的坐为（32∴DP=CP=1，。①在y轴方向上存在点Q，要CQ=4，由可判断eq\o\ac(△,Q)eq\o\ac(△,)CDeq\o\ac(△,≌)ADP，此时，的坐为（0，②由轴对称的性质，得Q关直BC的对称点也足eq\o\ac(△,2)CDeq\o\ac(△,≌)ADP过点Q作QG⊥y轴于点G，则Rteq\o\ac(△,2)G中由C=4∠QCG=60可CG=2，G=2∴OG=1。∴Q的坐为（－3，1③在对称轴l点P关点D的方向上存在点Q，只要DQ=4eq\o\ac(△,则)DCeq\o\ac(△,≌)ADP，此时，的坐为（，2④由轴对称的性质，得Q关直BC的对称点也足eq\o\ac(△,Q)eq\o\ac(△,)DCeq\o\ac(△,≌)ADP，过点Q作QH⊥l于点H，则在eq\o\ac(△,4)中，由D=4，DH=60

可得DH=2，HQ=23∴Q的标为（，4综上所述，点Q的坐为0，7或（－，）（3，2）或（33，（，

【点二次函数综合题，待定系法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，轴对称的性质，三角形外角性质，勾股定理，全等三角形的判定性质，旋转的性质。【析1根据已知点的坐标，设抛物线的交点式，用待定系数法即可求。求出△ADP的两边夹一角，根据SAS出判断。如图，作做EF⊥l于点F，由题意易证明△PMD≌△EMDeq\o\ac(△,，)CMEeq\o\ac(△,≌)DNE，∴PM=EM=EN=2DN。222222学习好资料

欢迎下载由题意DF=1，EF=3，NF=1-DN在Rt中ENEFNF，∴4DN得3DN2DN，得DN=

13

（负值舍去∴DN=

。∴点N的坐标为

77=。∴N3,

（2012辽宁鞍14分）图，直线交x轴于B（4，y轴点（，线轴正半轴于点M，交线段于CDM=6连接DA∠DAC=90°．直接写出直线AB的解析式；求点D的标；若点P是段MB上的动点，过P作轴的线，交AB于点F，交过ODB三点抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，△BPF与似？若存在，请求出点P的标；若不存在，请说明理由．【案解）设直线AB的解析为y=kx+b将（，（，）点坐标代入，得，解得。b=4∴直线AB的解析式为y=﹣x+4（）D点DG⊥y轴垂足为G∵OA=OB=4，为腰直角三角形。又∵AD⊥AB，∴∠DAG=90°﹣∴△ADG为腰直角三角形。∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣﹣4=2。学习好资料

欢迎下载∴D（2，（）在。由抛物线过O（，（，）两点，设抛物线解析式为y=ax（﹣3将D（，）入，得a=。抛物线解析式为y=xx﹣2由（2）可知，，则∠CFE=∠BFP=45°（，2设P（，MP=x﹣，PB=4，①当∠ECF=∠BPF=90°（如图1）eq\o\ac(△,，)BPF与相似过C点作CH，此时，△CHEeq\o\ac(△,、)CHF△PBF为腰直角三角形。则﹣x+2（﹣）=x将E（，）入抛物线y=x（x﹣）中，10得x=x（x﹣得x=0或，∴P（

，②当∠CEF=∠BPF=90°时（如图时eq\o\ac(△,，)CEFeq\o\ac(△,、)BPF为等腰直角三角形。则PE=MC=2，将E（，）入抛物线y=x（x﹣）中，366+2得2=x（x﹣得x=或。236+2∴P（，10综上所述，点P的坐为（，）或（，33【点二函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性，相似三角形的判定和性质1367104【析1根据A（0，（，0）两点坐标，可求直线AB的析式。作DG⊥y轴，垂足为G，已知得OA=OB=4，为等腰直角三角形，而AD⊥AB，利用互余关系可知，△ADG为等直角三角形，则DG=AG=OGOA=DM﹣OA=5﹣4=2，可求D点标。存在。已知（，0（40抛物线的交点式，将点坐标代入求抛物线解析式，由于对顶角∠CFE=∠BFP=45°，故△BPF与△FCE相时，分为：∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°两种情况，根据等腰直角三角形的性质求P点坐标。学习好资料

欢迎下载（2012山威12分）图，在平面直角坐标系中，抛物线y

2

（21且过点A（，线与物线交于点（点在对轴的右侧物的对称轴交直线y=x于点C，交x轴点G⊥x轴垂足为点。点P在物线上，且位于对称轴的右侧，PM轴垂足为点M，△PCM为边三角形。求该抛物线的表达式；求点的坐；试判断CE与EF是相等，并说理由；连接PE，在x轴点M的侧否存在一点N使△MN△CPE全？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。【案解）∵抛物线y=ax

2

B（2∴可设抛物线的解析式为y=a将A（，）入得解得a

。∴该抛物线的表达式y=

（）x代入y=x

，得y=2

，∴点C的标为（，CG=2∵△PCM为等边三角形，∴∠CMP=60，CM=PM。，∵PM⊥x轴∠CMG=30。∴CM=4GM=∴点P的标为（

2

。2+2

，PM=4。（）等。理由如下：y=x12=4+22=421y=x12=4+22=42124222学习好资料

欢迎下载联立和y=得1，解得，。4x+12∵x2<2不题意，舍去，∴EF=，点E的标为（4+2，4+22∴OEEFOF。又∵OCOG，CEOC2。∴CE=EF。（）存在。理由如下：假设在x轴点M的侧存在一点N使△CMNeq\o\ac(△,≌)CPE则CN=CE，∠PCE。∵，∠NCE=60。∴△CNE是边三角形。∴EN=CE，∠CEN=60。又∵由（3）CE=EF，∴EN=EF。又∵点E是线y=x上点，∴。∴点N与F不合∵EF⊥x轴与垂线段最短矛盾原假设错误，满足条件的点N不存。【点二次函数综合题，二次函的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，反证法，全等三角形的性质。【析1根据抛物线的顶点，设顶点式表达式，将点A的标人代入即可求解。（）点C是物线对称轴x=2和直

的交点可求得点C的标，由△PCM等边三角形，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得点P坐标。计算出CE和EF的即可得出结。用反证法证明，假设在x轴点的右侧存在一点Neq\o\ac(△,使)CMNeq\o\ac(△,≌)CPE，出与公理矛盾的结论。（2012山莱12分）如图顶坐标为2－的抛物线＝＋bx＋c(a与轴交点C(0，3)，与x轴于A、两．学习好资料

欢迎下载求抛物线的表达式；设抛物线的对称轴与直线BC交于D连接ACAD求△的面积；点为线BC上动点，过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问是否存在点E，得以D、、为点的三角形与△BCO似？若存在，求点E坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解）∵抛物线y＝＋bx＋c(a的顶点坐标(，1)，∴可设抛物线的表达式为2)

2

。∵点C(0，在y=a(x2，∴2，得a。∴抛物线的表达式为2)

2

，y=x

2

4x+3。（），即

4x+3=0，解得=3。∴A10（，12

设BC的析式为y=kx+b，B（3，（03）代入得，，解得。∴BC的解式为。b=3b=3当x=2时y=－2＋3=1，（，∴ACD

1。2（）在。假设存在点E，使得以、、F为点的三角形与△BCO相。∵△BCO是腰直角三角形，∴以、、顶点的三角形也必须是等腰直角三角形。∵由EF∥OC得∠DEF=45，∴以D、、为顶的等腰直角角形只能以点、为直顶点。①当点F为角点时，DF⊥EF，此时△DEF△BCO。∴DF所在直线为y=1。由

4x+3

，解得2学习好资料

欢迎下载将2代y=，和y=1∴E（，12将x=22代y=x+3和y=2，（2，2②当点D为角点时，DF⊥ED，此时eq\o\ac(△,∽)EFD△BCO∵点D在对称轴上，∴DA=DB。∵∠CBA=45，∠DAB=45，∴∠ADB=90∴AD⊥BC。∴点F在直AD上设AD的析式为y=mx+n，（1，（2，）代入得，m=1，解得2m+n=1n=

。∴AD的解析式为。4x+3由，解得x=1。将入y=，和，∴E1，将x=4代入y=x+3，和y=，∴E（，1综上所述，点E的标为（2+2，）（22，），）或（，1【点二次函数综合题，二次函的性质，待定系数法，曲线图上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【析1设抛物线的顶点式表达式，用待定系数法即可求得抛物线的表达式。（）出A、、点标，由S

ACD

即可求得△ACD的积。（）点F为角顶点和点D为角顶点两种情况求解即可。（黑江牡江分如的长分别是关于x的程x－＋32=0的根OA>OB解答下列问题：（）直线AB的解式；（）P为AB上点，且

1PB3

过P的比例函数的解析式；（）坐标平面内是否存在点Q使得以A、P、、为点的四边形是等腰梯?若在，请接写出点Q的标；若不存在，请说明理由．学习好资料

欢迎下载【案解）解x－12x＋32=0得x=4，=8∵OA、OB的长别是关于x的程x－12x的两根，且OA>OB，∴OA=8，。∴A（8，（，设直线AB的解析式为y=kx+b则8k+b=0b=4

，解得

1k=2b=4

。∴直线AB的析式为y=。（）点P作PH⊥x轴于点。设P（x，AH=x＋。∵

1AH11，，即。PBHO3解得x=－。∵点P在y=x+4上∴。（6，1设过点P的比例函数的解析式为y=

k，则1=。∴k=∴点P的比例函数的解析式为y=

0（）在。点Q的坐标为（－，）或

或，

。【点一次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程和二元次方程组，平行线的性质，等腰梯形的判定和性质。【析1求出方程x－12x32=0的两根得到A、B两的坐标，用待定系数法即可求得直线AB的解析式。（）出点P的坐，即可求得过点的反例函数的解析式。，解得3m+n=2，解得，解得3m+n=2，解得学习好资料（）据等腰梯形的性质，

欢迎下载当AO是等梯形的的底边时AO的中线为x=4，则点P－，）于x=－4的称点为Q（2，时四边形AOQP是腰梯形。当PO是腰梯形的的底边时，PO的中点坐标为C（－，

1：y=x+4，由（0，0（－6，）求得

1

==0

16

1。：y=x。614过点C与PO垂的直线CD：y=6x+，过点A与PO平的直线AD：y=x，6二者联立，

37y=6x+21y=x

，解得

119x=59y=74

，∴点D的标为

11959，3774

，则点A（－，）于点D

，

的对称点为Q

，此时四边形PO是等腰梯形。当AP是腰梯形的的底边时AP中点坐标为1C（－7，：y=。2过点E与AB垂直直线EF：y=，过点O与AB平的直线FO：y=，二者联立，

1119y=xx=227y=2xy=274

27，∴点F的坐标为510

，则点O（0，0）关点F

54的对称点为Q，5

，此时四边形APOQ是等梯形。2012辽宁阳14分）知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜BC在x上，直角顶点A在y轴正半轴上，A（，（，求点C的标；求过A、B、三点的抛物线的解式和对称轴；设点（n）是抛物线在第一限部分上的点eq\o\ac(△,，)PAC的积为S，求S关m的数关系式，并求使S最时P的标；22232梯AOH