520三角形的证明全章复习与巩固-知识讲解基础

《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明..结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】四公理（三角形全等判定3个公理，全等三角形性质公理），一推论1.等腰三角形等腰三角形：性质定理；三线合一1.等腰三角形反证法等边三角形含有的口的直角三角形■的性质'勾股定理三角形的证明勾股定理的逆定理三角形的证明।定理与逆定理的关系直角三角形的全等判定（HL）/线段的垂直平分线定理及逆定理3线段的垂直平分线;三角形的三边垂直平分线定理［基本作图及作等腰三角形1角平分线的定理及逆定理4角平分线角平分线的作法【三角形内角平分线定理【要点梳理】要点一、等腰三角形.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL..等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形..含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是彳a，面积是-a2；含有2 430°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等..如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于1AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题要点四、角平分线.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等..如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理，注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、三角形的证明1.已知：点D是^ABC的边BC的中点，DELAC,DF±AB,垂足分别为E,F,且BF=CE.求证：4ABC是等腰三角形.【思路点拨】欲证^ABC是等腰三角形，又已知DE，AC,DF，AB,BF=CE,可利用三角形中两内角相等来证明.【答案与解析】证明：二切是BC的中点，ABD=CD,VDE±AC,DF±AB,.,.△BDF与4CDE为直角三角形，在Rt^BDF和Rt△CDE中，BF=CEBD=CD'.，・RSBFD0RSCED(HL),AZB=ZC,.AB二AC,.△ABC是等腰三角形.【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键.举一反三：【变式1](2015秋•江阴市校级期中)已知：如图，4AMN的周长为18,NB,NC的平分线相交于点O,过O点的直线MN〃BC交AB、AC于点M、N.求AB+AC的值.A【答案】W：VMN#BC,.\ZBOM=ZOBC,ZCON=ZOCB,•・・NB,NC的平分线相交于点O,.\ZMBO=ZOBC,ZNCO=ZOCB,.\ZMBO=ZBOM,ZNCO=ZCON,.•・BM=OM,CN=ON,•「△AMN的周长为18,...AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18.【变式2】如图，在^ABC中，AB=AC,D、E在BC上，且AD=AE,求证：BD=CE.【答案】证明：・.》8二AC,AD=AE,AZB=ZC,ZADE=ZAED,VZADE=ZB+ZBAD,ZAED=ZC+ZEAC,.\ZBAD=ZCAE,•二AB-AC,AD=AE,.,.△ABDSACE,・•・BD=CE.类型二、直角三角形序.如图，已知，在Rt^ABC中，NC=90°,沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合.(1)当NA满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；(2)在(1)的条件下，若DE=1,求4ABC的面积.【思路点拨】(1)根据折叠的性质：△BCE/ABDE,BC=BD,当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC,又NC=90°,故NA=30°；当添加条件NA=30°时，由折叠性质知：NEBD=NEBC=30°,又NA=30°且EDLAB,可证D为AB的中点；(2)在Rt^ADE中，根据NA及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在RSABC中，根据AB、NA的值，可将AC和BC的值求出，代入S△A=CACXBC进行求解即可.【答案与解析】解：(1)添加条件是NA=30°.证明：•../A=30°,NC=90°,所以NCBA=60°,C点折叠后与AB边上的一点D重合，.BE平分NCBD,NBDE=90°,.•・NEBD=30°,.NEBD:NEAB,所以EB二EA；ED为4EAB的高线，所以ED也是等腰AEBA的中线，，D为AB中点.(2)VDE=1,ED±AB,ZA=30°,AAE=2.在Rt^ADE中，根据勾股定理，得AD=*2-12=<3,.•・AB=2\；3,VZA=30°,ZC=90°,.,・BC=1AB=<3.2在RtAABC中，AC=。AB2—BC2=3,1 3V3•saabc2xacxbc=•【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.序.小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知/408的两边上分别取点M,N,使OM=ON,再过点M作OB的垂线，过点N作0A的垂线，垂足分别为C、D,两垂线交于点P,那么射线0P就是NA0B的平分线.老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新.但是小林不知道这是为什么.①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明0P就是NA0B的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图NA0B的平分线，并说明你的作图方法或设计思路.【思路点拨】①在RtA0CM与RtA0DN中，依据ASA得出0C=0D;在Rt40CP与RtA0DP中，因为0P=0P,0C=0D得出Rt40CP0Rt40DP(HL),所以NC0P=ND0P,即0P平分NA0B.②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等.【答案与解析】①证明：在Rt40CM和Rt40DN中，叱COM=/DON</OCM=/ODNOM=ON.△0CMS0DN(AAS),.0C=0D,在40CP与△0DP中，JOC=OD*{OP=OP，.••RS0CP0RS0DP(HL),AZC0P=ZD0P,即OP平分NAOB；②解：①利用刻度尺在NAOB的两边上分别取OC=OD；②过C,D分别作OA,OB的垂线，两垂线交于点E；③作射线OE，OE就是所求的角平分线.VCE±OA,ED±OB,AZOCE=ZODE=9G°,在Rt^OCE与Rt^ODE中，JOC=OD•\OE=OE'ARtAOCE^RtAODE(HL),AZEOC=ZEOD,・・・OE为NAOB的角平分线.【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出NEOC二NEOD是解题关键.类型三、线段垂直平分线4.(2G15秋•麻城市校级期中)如图所示：在4ABC中，AB>BC,AB=AC,DE是AB的垂直平分线，垂足为D,交AC于E.(1)若NABE=5G°,求NEBC的度数;(2)若^ABC的周长为41cm,边长为15cm,4BCE的周长.【思路点拨(1)由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE二BE,继而求得NA的度数，又由AB二AC,即可求得NABC的度数，则可求得答案；(2)由ABCE的周长二AC+BC,然后分别从腰等于15cm与底边等于15cm去分析求解即可求得答案.【答案与解析】解：(1)\.DE是AB的垂直平分线，AAE=BE,.\ZABE=ZA=5G°,•AB=AC,.\ZABC=ZC=65°,.\ZEBC=ZABC-ZABE=15°；(2)VAE=BE,.'.△BCE的周长二BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC；•「△ABC的周长为41cm,.•・AB+AC+BC=41cm,若AB=AC=15cm,则BC=11cm,则ABCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm,则AC=AB=13cm,VAB>BC,・•・不符合题意，舍去..△BCE的周长为26cm.【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.举一反三：【变式】如图所示，AD是4ABC中NBAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F,试说明NBAF=NACF的理由.【答案】解：「EF垂直平分AD,；・AF=DF,.\ZFAD=ZFDA.又「AD平分NBAC,.\ZBAD=ZCAD,VZBAF=ZBAD+ZFAD,ZACF=ZDAC+ZFDA,.\ZBAF=ZACF.类型四、角平分线O5.如图，在4ABC中，NBAC=80°,延长BC到D,使AC=CD,且NADB=20°,DE平分NADB交AC于F,交AB于E,连接CE,求NCED的度数.【思路点拨】作EG，DA,EH，BD,EP，AC,根据角平分线的性质得到 EG=EH,根据△EGA04EPA,得出NECB,就可以得到NCED的度数.【答案与解析】证明：作EGLDA交DA的延长线于G,再作EH，BD,EP，AC,垂足分别为H,P,则EG二EHVZADC=20°,AC=CD,AZCAD=20°,而NBAC=80°,.\ZGAE=180°-20°-80°=80°,ARtAEGA^RtAEPA,.'.EG=EPAEP=EH,1A