新教材苏教版必修第二册第9章9.39.3.1平面向量基本定理学案

9.3向量基本定理及坐标表示9.3.1平面向量基本定理学习任务核心素养1．理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义．(重点)2．在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．(重点)3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．(难点)通过平面向量基本定理的推导与应用，培养逻辑推理与数学运算素养．火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度，在力的分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和．问题：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？知识点1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．(2)基底：两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底．如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？[提示]能．依据是数乘向量和平行四边形法则．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底． ()(2)0能与另外一个向量a构成基底． ()(3)平面向量的基底不是唯一的． ()[提示]平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的．(1)，(3)正确．[答案](1)√(2)×(3)√2．已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________．3[由原式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，))所以x－y＝3．]知识点2平面向量的正交分解由平面向量基本定理知，平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式．我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．3．如图，若|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝0则a＝_______，b＝______．(用向量e1，e2表示)[答案]e1＋eq\f(1,2)e2e1＋3e2类型1对向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，则下列说法正确的是()A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2为实数C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对A[平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数λ1，λ2，向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内，故C不正确；而对平面α内的任一向量a，实数λ1，λ2是唯一的，故D不正确．]考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．[跟进训练]1．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．[解]设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0．由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底．类型2用基底表示向量【例2】如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，BN与CM相交于点E，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用基底a，b表示向量eq\o(AE,\s\up6(→))．[解]法一：由已知，在△ABC中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，已知BN与CM交于点E，过N作AB的平行线，交CM于D，如图所示．在△ACM中，eq\f(CN,CA)＝eq\f(ND,AM)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(ND,MB)＝eq\f(NE,EB)＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(2,3)，所以eq\o(NE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)(eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b．法二：易得eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)b，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，由N，E，B三点共线知存在实数m，满足eq\o(AE,\s\up6(→))＝meq\o(AN,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)mb＋(1－m)a．由C，E，M三点共线知存在实数n，满足eq\o(AE,\s\up6(→))＝neq\o(AM,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)na＋(1－n)b．所以eq\f(1,3)mb＋(1－m)a＝eq\f(1,2)na＋(1－n)b．因为a，b为基底，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝\f(1,2)n，,\f(1,3)m＝1－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)，))所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b．将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直到用基底表示为止；另一种是通过列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解.[跟进训练]2．如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且eq\o(AK,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AL,\s\up6(→))＝e2，试用e1，e2表示eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))．[解]设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AL,\s\up6(→))＝\o(AD,\s\up6(→))＋\o(DL,\s\up6(→))，,\o(AK,\s\up6(→))＝\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BK,\s\up6(→))，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e2＝b＋\f(1,2)a，,e1＝a＋\f(1,2)b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)2e1－e2，,b＝\f(2,3)2e2－e1，))∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2e1－e2)，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)e2－eq\f(4,3)e1；eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)e2－eq\f(2,3)e1．类型3平面向量基本定理与向量共线定理的应用【例3】如图，在△ABC中，点M是BC的中点，N在AC上且AN＝2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值．[解]设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(2,3)b．∵A，P，M共线，∴设eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)(a＋b)．同理设eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BN,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))＝－μa＋eq\f(2,3)μb．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴a＝eq\f(λ,2)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－μa＋\f(2,3)μb))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(λ,2)－μ))a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)－\f(2,3)μ))b．∵a与b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＋μ＝1，,\f(λ,2)＝\f(2,3)μ，))∴λ＝eq\f(4,5)，μ＝eq\f(3,5)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BN,\s\up6(→))，∴AP∶PM＝4∶1．1．充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的应用．2．用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．[跟进训练]3．如图，平行四边形ABCD中，H为CD的中点，且AH与BD交于I，求AI∶IH的值．[解]设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b．设eq\o(AI,\s\up6(→))＝λeq\o(AH,\s\up6(→))，eq\o(DI,\s\up6(→))＝μeq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(AI,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))＝eq\f(λ,2)a＋λb，又eq\o(AI,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DI,\s\up6(→))＝b＋μ(a－b)＝μa＋(1－μ)b，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＝μ，,λ＝1－μ，))∴eq\f(3,2)λ＝1，∴λ＝eq\f(2,3)．∴AI∶IH＝2∶1．1．下列关于基底的说法正确的是()①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．A．①③B．②C．①D．②③A[零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．]2．(多选题)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2ACD[B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．故选ACD．]3．如图，在矩形ABCD中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)(5e1＋3e2) B．eq\f(1,2)(5e1－3e2)C．eq\f(1,2)(3e2－5e1) D．eq\f(1,2)(5e2－3e1)A[法一：∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋5e1＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋3e2∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)，故选A．法二：∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝5e1＋3e2，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)，故选A．]4．设一直线上三点A，B，P满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(PB,\s\up6(→))(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示为________．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,m＋1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(m,1＋m)eq\o(OB,\s\up6(→))[由eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(PB,\s\up6(→))，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝m(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＋meq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))＋m\o(OB,\s\up6(→)),1＋m)＝eq\f(1,m＋1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(m,1＋m)eq\o(OB,\s\up6(→))．]5．在△AOB中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，D为OB的中点，若eq\o(DC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，则λμ的值为________．－eq\f(6,25)[因为eq\