新教材数学人教b版选择性必修第二册3.1.2排列与排列数第1课时排列与排列数课件

排列与排列数第1课时排列与排列数必备知识·素养奠基1.排列:从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照___________排成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.2.相同排列的两个条件(1)_____相同.(2)_____相同.一定的顺序对象顺序【思考】(1)排列中“一定顺序”的含义是什么?提示:一定顺序就是指排列中的对象与位置有关,当位置不同时排列也就不同.(2)排列定义中的两个要素是什么?提示:一是“取出不同的对象”,二是“将对象按一定顺序排列”.3.排列中对象所满足的两个特性(1)无重复性:从n个不同对象中取出m(m≤n)个不同的对象,否则不是排列问题.(2)有序性:安排这m个对象时是有顺序的,有序的就是排列,无序的不是排列.检验它是否有顺序的依据是变换对象的位置,看结果是否发生变化,有变化就是有顺序,无变化就是无顺序.【思考】(1)每一个排列中对象的位置是确定的吗?提示:是,对象在排列中的位置不同排列也就不同.(2)同一个排列中,同一个对象能重复出现吗?提示:由排列的定义知,在同一个排列中不能重复出现同一个对象.

4.排列数及排列数公式从n个不同对象中取出m个对象的所有_________的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数排列数表示法___全排列n个不同对象全部取出的一个排列,叫做n个对象的一个全排列,且=n×(n-1)×…×3×2×1阶乘正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示排列数公式乘积式=________________________阶乘式=性质=___，0!=__备注n,m∈N*,m≤n不同排列n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)n!1【思考】(1)“得到从n个不同的对象中取出m个对象的一个排列”的含义是什么?提示:“得到从n个不同对象中取出m个对象的一个排列”,包含两个方面:①从n个不同对象中取出m个对象;②按照一定顺序排列.(2)排列与排列数有何不同?提示:排列与排列数是两个不同的概念,“排列”是指从n个不同对象中取出m个对象按照一定顺序排成一列,是一种排法;“排列数”是指从n个不同对象中取出m个对象所得不同排列的个数,是一个数,用表示.【素养小测】

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)由于排列数的阶乘式是一个分式,所以其化简的结果不一定是整数.()(2)在排列的问题中,总体中的对象可以有重复.()(3)用1,2,3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列.()(4)若=10×9×8×7×6,则n=10,m=6.()提示:(1)×.排列数是从若干个对象中取出若干个对象的排列的个数,所以排列数一定是整数.(2)×.在排列问题中总体内对象不能重复.(3)√.根据排列的定义可以判断123与321是不同的排列.(4)×.在中m表示连乘因数的个数,所以,n=10,m=5.名男生和3名女生排成一排,男生不相邻的排法有 ()种 种种 种【解析】选名女生先排好,有种排法,让3个男生去插空,有种方法,故共有·=144种.

3.9×10×11×…×20可表示为 ()A. B. C. D.

【解析】选C.=20×19×18×…×(20-12+1)=20×19×18×…×9.4.从1,2,3中任取两个数字组成不同的两位数有________个.

【解析】12,13,21,23,31,32,共6个.答案:6关键能力·素养形成类型一排列数的计算公式【典例】1.(2020·福州高二检测)(x-2)(x-3)(x-4)·…·(x-15)(x∈N+,x>15)可表示为 ()A. B. C. D.2.(1)计算和.(2)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*且n<55).(3)化简n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+m).【思维·引】1.根据排列数公式求解.2.根据题中所求排列数的特点,选择合适的排列数公式求解.【解析】1.选B.由题意x∈N+,x>15.其中最大的数(x-2)为n,则m=(x-2)-(x-15)+1=14.所以(x-2)(x-3)(x-4)·…·(x-15)=.2.(1)=15×14×13=2730,=6×5×4×3×2×1=720.(2)因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15(个)数,所以(55-n)(56-n)·…·(69-n)=.(3)由排列数公式可知n(n+1)(n+2)(n+3)·…·(n+m)=.【内化·悟】1.计算排列数时怎样减少运算量?提示:计算排列数时,要注意用公式后先提取公因式化简,这样往往会减少运算量.2.在排列数中,n,m的作用是什么?提示:n是连续相乘正整数(因式)中的最大的数,而正整数(因式)的个数取决于m.

【类题·通】排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,应用时注意:连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的是排列对象的总个数,而正整数(因式)的个数是选取对象的个数,这是排列数公式的逆用.(2)应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算,这样往往会减少运算量.【习练·破】1.已知=11×10×9×8×…×5,则m+n为________.

【解析】因为=11×10×9×8×…×5,所以n=11,m=(11-5)+1=7,m+n=18.答案:182.计算:=________.

【解析】=7×6×5×4×3×2,=6×5×4×3×2,=5×4×3×2,所以=7×6-6=36.答案:36类型二简单问题中的排列【典例】1.某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课,而体育老师因故不能上第一节和第四节,则不同排课方案的种数是 ()

2.写出下列问题的所有排列:(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数.(2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数,试全部列出.【思维·引】1.先排体育课、再排其他三个科目.2.结合排列的定义利用树状图将排列一一列出即可.【解析】1.选D.分两步排课:体育可以排第二节或第三节两种排法;其他科目有语文、数学、外语语文、外语、数学数学、语文、外语数学、外语、语文外语、语文、数学外语、数学、语文共6种排法,所以根据分步乘法计数原理可知共有2×6=12(种)排课方案.

2.(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12个不同的两位数.(2)画出树状图,如图所示.由上面的树状图可知,所有的四位数为:1234、1243、1324、1342、1423、1432、2134、2143、2314、2341、2413、2431、3124、3142、3214、3241、3412、3421、4123、4132、4213、4231、4312、4321,共24个四位数.【内化·悟】1.所有的排列问题是否都可以用树状图表示.提示:不是,树状图只适用于排列个数不多的情况.2.用树状图解决排列问题应怎样分类?提示:按照一定的分类标准,先确定第一个对象,再确定第二个对象,依次进行下去,直到完成一个排列.【类题·通】利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围:“树状图”在解决排列对象个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方式.(2)策略:在操作中先将对象按一定顺序排出,然后以先安排哪个对象为分类标准进行分类,再安排第二个对象,并按此对象分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,然后再按树状图写出排列.【习练·破】若直线Ax+By=0的系数A,B可以从2,3,5,7中取不同的数值,可以构成的不同直线的条数是 ()条条条条【解析】选A.画树状图如下:故共有12条.类型三排列与排列数公式的简单应用【典例】名成人带两个小孩排队上山,小孩不排在一起也不排在头尾,则不同的排法种数为 ()A.B.C. D.-42.有2名老师,3名男生,3名女生站成一排照相留念,在下列情况中,各有多少种不同站法.(1)3名男生必须站在一起.(2)2名老师不能相邻.

【思维·引】1.先将5名成人进行全排,再根据题中条件对小孩进行排列.2.(1)男生必须相邻,可把三个男生看成一个整体,进行全排列,再乘以三个男生的全排列,即可计算结果;(2)先把6名学生进行全排列,利用插空法插入两名教师,即可得到计算结果.

【解析】1.选A.首先5名成人先排队,共有种排法,然后把两个小孩插进中间的4个空中,共有种排法,根据乘法原理,共有种排法.2.(1)把3名男生看成一个整体与其他人排列有种,再来考虑3名男生间的顺序有种,故3名男生必须站在一起的排法有=4320种.(2)6名学生先站成一排有种站法,再插入两名老师有种插法,故2名老师不相邻的站法有=30240种.【内化·悟】利用排列与排列数解排列应用题的基本思想是什么?提示:

【类题·通】解简单排列应用题的思路(1)认真分析题意,看能否把问题归结为排列问题,即是否有顺序.(2)如果是的话,再进一步分析,这里n个不同的对象指的是什么,以及从n个不同的对象中任取m(m≤n)个对象的每一种排列对应的是什么事件.(3)运用排列数公式求解.提醒:解答相关的应用题时不要忽视n为正整数这一条件.【习练·破】小五、小一、小节、小快、小乐五位同学站成一排,若小一不出现在首位和末位,小五、小节、小乐中有且仅有两人相邻,求能满足条件的不同排法共有多少种.【解析】按小一的位置分三类:①当小一出现在第2位时,则第1位必为小五、小节、小乐中的一位同学,所以满足条件的不同排法有3=12种;②当小一出现在第3位时,则第1位、第2位为小五、小节、小乐中的两位同学或第4位、第5位为小五、小节、小乐中的两位同学,所以满足条件的不同排法有2=24种;③当小一出现在第4位时,则第5位必为小五、小节、小乐中的一位同学,所以满足条件的不同排法有3=12种.综上,共有12+24+12=48种.课堂检测·素养达标1.已知下列问题:(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.(3)从a,b,c,d四个字母中取出2个字母.(4)从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有 ()个 个 个 个【解析】选B.(1)是排列问题,因为两名同学参加的学习小组与顺序有关.(2)不是排列问题,因为两名同学参加的活动与顺序无关.(3)不是排列问题,因为取出的两个字母与顺序无关.(4)是排列问题,因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列.2.(x-3)(x-4)(x-5)…(x-12)(x-13),x∈N*,x>13可表示为 ()A.B. C.D.【解析】选B.从(x-3),(x-4),…到(x-13)共(x-3)-(x-13)+1=11(个)数,所以根据排列数公式知(x-3)(x-4)(x-5)…(x-12)(x-13)=.

3.已知=132,则n= ()【解析】选B.因为=132,所以n(n-1)=132,整理,得n2-n-132=0;解得n=12,或n=-11(不合题意,舍去);所以n的值为12.【新情境·新思维】3名男生,4名女生,按照