2020版数学（理科）大精准复习精练9.5抛物线及其性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精9.5抛物线及其性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1。抛物线的定义及标准方程掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质2017课标Ⅱ，16,5分利用抛物线的定义求线段长度★★★2014课标Ⅰ，10,5分利用抛物线的定义求线段长度三角形相似的性质2.抛物线的几何性质2018课标Ⅲ，16，5分利用抛物线的几何性质求参数的值直线与抛物线的位置关系★★★2016课标Ⅰ,10,5分利用抛物线的几何性质求距离圆的性质3。直线与抛物线的位置关系2018课标Ⅰ，8，5分利用直线与抛物线的位置关系求值向量坐标运算★★★2017课标Ⅰ,10，5分利用直线与抛物线的位置关系求最值基本不等式分析解读从近5年的高考情况来看,抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等基础知识常以选择题、填空题的形式考查,直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式考查.在复习备考中，对抛物线的切线问题以及抛物线的焦点弦问题应予以高度关注，解题时要注重数学思想方法的应用。破考点【考点集训】考点一抛物线的定义及标准方程1.（2018陕西西安一模，3）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x22-y22=1的右焦点重合,则p的值为（)A.-2B.2C.-4D。4答案D2。（2018河南中原联盟第五次联考，4)已知抛物线C:y2=2px（p〉0)的焦点为F,准线为l,且l过点（—2，3）,M在抛物线C上,若点N（1,2),则|MN|+｜MF|的最小值为()A.2B。3C.4D。5答案B考点二抛物线的几何性质1。（2018青海西宁模拟，8)抛物线y2=16x的焦点为F，点A在y轴上,且满足｜OA|=|OB|，B是抛物线的准线与x轴的交点，则FA·AB=（）A。-4B.4C。0D.—4或4答案C2。(2017江西九校联考，14)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，｜AF|=2,则｜BF|=.

答案2考点三直线与抛物线的位置关系1。（2018山东聊城二模,6）已知直线l与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2，1）,则直线l的方程为（）A.y=x—1B.y=—2x+5C.y=-x+3D.y=2x-3答案D2.（2017山西太原二模，10)已知双曲线x23—y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,直线y=kx+m与抛物线相交于A，B两个不同的点,点M(2,2)是线段AB的中点，则△AOB（O为坐标原点）的面积是（)A。43B.313C。14D。23答案D炼技法【方法集训】方法抛物线焦点弦问题的求解方法1.(2018湖南益阳、湘潭调研,10)如图,过抛物线y2=2px（p〉0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C，若F是AC的中点,且|AF｜=4，则线段AB的长为()A.5B。6C.163D.答案C2.（2017安徽六校联考,8）过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则|AF||BFA。5B。4C。3D.2答案C3.(2018湖南五市十校联考，15)过抛物线C：y2=2px(p>0）的焦点F的直线l与抛物线交于M、N两点（其中M点在第一象限)，若MN=3FN,则直线l的斜率为。

答案22过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一抛物线的定义及标准方程1。(2014课标Ⅰ，10，5分)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若FP=4FQ，则|QF|=（)A.72B.3C.52答案B2。（2017课标Ⅱ，16，5分)已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则｜FN|=.

答案6考点二抛物线的几何性质1。（2016课标Ⅰ,10，5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D，E两点。已知｜AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为（）A。2B.4C。6D。8答案B2.（2018课标Ⅲ，16,5分)已知点M(—1,1)和抛物线C：y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点。若∠AMB=90°，则k=.

答案2考点三直线与抛物线的位置关系1.（2018课标Ⅰ,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点（—2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FM·FN=（A.5B。6C.7D.8答案D2。(2017课标Ⅰ，10,5分)已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点，直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A。16B.14C.12D.10答案AB组自主命题·省(区、市)卷题组考点一抛物线的定义及标准方程1.(2016浙江，9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是.

答案92。（2015陕西,14,5分）若抛物线y2=2px(p〉0）的准线经过双曲线x2—y2=1的一个焦点,则p=。

答案22考点二抛物线的几何性质（2015浙江，5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A，B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是（)A.|BF|-1C.|BF|+1答案A考点三直线与抛物线的位置关系（2017北京，18,14分)已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点0,12作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A，B，其中（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2)求证：A为线段BM的中点.解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系。(1)由抛物线C:y2=2px过点P（1,1)，得p=12所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为14,0,准线方程为（2）由题意，设直线l的方程为y=kx+12(k≠0），l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2由y=kx+12,则x1+x2=1-kk2，x1x因为点P的坐标为(1,1），所以直线OP的方程为y=x，点A的坐标为（x1，x1)。直线ON的方程为y=y2x2x，点B因为y1+y2x1x=k=(2k-所以y1+y2x1故A为线段BM的中点.方法总结在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程，再根据根与系数关系,用设而不求，整体代入的技巧进行求解。易错警示在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty+n的形式，注意先讨论斜率是不是0.C组教师专用题组考点一抛物线的定义及标准方程(2013课标Ⅱ,11,5分，0。474)设抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F，点M在C上，|MF｜=5，若以MF为直径的圆过点（0，2)，则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB。y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD。y2=2x或y2=16x答案C考点二抛物线的几何性质1。(2014课标Ⅱ,10,5分，0。262)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点,O为坐标原点，则△OAB的面积为（)A.334B.938C。答案D2.（2013四川，6,5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2—y23=1的渐近线的距离是（A。12B.32C.1答案B3.（2016天津,14，5分）设抛物线x=2pt2,y=2pt（t为参数，p>0）的焦点为F,准线为l。过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B。设C72p,0，AF与BC相交于点E.若|CF｜=2｜AF|，答案64。（2014湖南，15,5分）如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b（a<b),原点O为AD的中点，抛物线y2=2px(p〉0）经过C，F两点，则ba=答案1+25。(2014上海，3,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x29+y25=1的右焦点重合答案x=-2考点三直线与抛物线的位置关系1.(2014辽宁，10,5分)已知点A（-2,3）在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为(）A.12B.23C。34答案D2.(2016江苏,22，10分)如图,在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:x-y-2=0，抛物线C：y2=2px（p>0）。(1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q。①求证：线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值范围.解析(1)抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为p2由点p2,0在直线l:x—y—2=0上，得p所以抛物线C的方程为y2=8x。(2）设P（x1，y1)，Q(x2,y2),线段PQ的中点M（x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1，则可设其方程为y=-x+b.①由y2=2px,y=因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，从而Δ=（2p）2—4×（-2pb）>0,化简得p+2b>0.方程（*）的两根为y1,2=—p±p2+2pb,从而y0因为M（x0，y0）在直线l上，所以x0=2—p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p，-p）。②因为M(2—p,-p）在直线y=—x+b上，所以-p=-（2—p）+b,即b=2—2p.由①知p+2b>0，于是p+2(2-2p）>0,所以p<43因此,p的取值范围是0,评析本题主要考查直线和抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力及推理论证能力。3。（2015湖南,20，13分）已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2：y2a2+x2b2=1(a>b>0）的一个焦点,C1与(1)求C2的方程；(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点，与C2相交于C，D两点,且AC与BD同向。（i)若|AC｜=|BD|,求直线l的斜率；(ii）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形。解析（1）由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为（0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①又C1与C2的公共弦的长为26，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为±6,32，所以联立①,②得a2=9，b2=8.故C2的方程为y29+（2）如图，设A(x1，y1），B（x2,y2)，C(x3,y3），D（x4，y4).(i）因AC与BD同向,且｜AC｜=|BD｜，所以AC=BD,从而x3-x1=x4—x2,即x1-x2=x3-x4,于是（x1+x2）2—4x1x2=（x3+x4)2-4x3x4。③设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由y=kx+1,x2=4y得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根，所以x由y=kx+1,x28+y29=1得（9+8k2)x2+16kx—64=0.而x3，x4是这个方程的两根,所以x将④，⑤代入③,得16(k2+1）=162k即16（k2+1)=16所以(9+8k2)2=16×9，解得k=±64即直线l的斜率为±64(ii)由x2=4y得y’=x2，所以C1在点A处的切线方程为y-y1=x12(x-x1），即y=x令y=0，得x=x12，即Mx12,0，所以FM=x12,-1。而FA=（x1，y1—1),于是因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°—∠AFM是钝角。故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形。【三年模拟】一、选择题(每小题5分，共40分）1。(2019届湖南三湘名校教育联盟第一次大联考，12）过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点，以AF、BF为直径的圆分别与y轴相切于点M,N,则|MN｜=()A.233B。3C.43答案C2.（2018浙江11月学考,18)如图,在同一平面内,A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r，射线AB交圆A于点P，过P作圆A的切线l,当rr≥12|AB|变化时，lA。圆B.椭圆C.双曲线的一支D。抛物线答案D3。（2018浙江温州模拟，7)设抛物线的顶点在原点,其焦点在x轴上，又抛物线上的点A(—1,a）与焦点F的距离为2,则a=（）A。4B。4或—4C.-2D.-2或2答案D4.(2018云南昆明质检，7）已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是（2，2),则p的值为（）A.1B.2C.3D.4答案D5.(2018广东珠海3月模拟,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PA⊥l,垂足为A,｜PF|=4，则直线AF的倾斜角等于（)A.7π12B。2π3C.答案B6。(2018福建六校4月联考，10）已知抛物线E:y2=2px(p〉0）的焦点为F,过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N。若四边形CMNF的面积等于7,则抛物线E的方程为（)A。y2=xB.y2=2xC。y2=4xD。y2=8x答案C7。（2017山西五校3月联考,11）已知抛物线C:y2=2px(p〉0）上一点(5，m)到焦点的距离为6,P、Q分别为抛物线C与圆M:（x-6）2+y2=1上的动点,当|PQ|取得最小值时,向量PQ在x轴正方向上的投影为（）A.2—55B。25—1C.1-2121D.答案A8.(2018安徽六安一中4月月考,10）若曲线y=2xx-1的对称中心在抛物线C：y2=2px(p>0)上,过抛物线C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则|AF|+2|BF｜A.22B。6C。3D。22+3答案D二、填空题（共5分)9.(2019届辽宁沈阳东北育才学校第三次模拟,14)抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6，3）,P为抛物线上一点,且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为。

答案13三、解答题(共25分)10。（2019届四川成都外国语学校开学考试，20）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F,A为抛物线C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交抛物线C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有｜FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形。（1）求抛物线C的方程；（2)若直线l2∥l且l2和抛物线C有且只有一个公共点E,试问直线AE是否过定点，若过定点，求出定点坐标;若不过定点,请说明理由。解析（1)由题意知Fp2,0，设D(t,0)(t〉0),则FD的中点为p+2t4,0,由|FA|=|FD｜及抛物线的定义知3+p2由p+2t4=3,t=3+p（2）由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)（x0>0）,D（xD,0）（xD〉0）,因为｜FA｜=|FD｜，则｜xD—1|=x0+1,由x0〉0得xD=x0+2，故D（x0+2,0),故直线l的斜率为k=-y02，因为直线l2和直线AB故可设直线l2的方程为y=-y02x+b,代入抛物线方程得y2+8y0·y-8by0=0,由题意知Δ=64y02+32by0=0，得b=—2y0，则y+4当y02≠4时，kAE=yE-y0xE-x0=4y0y02-4，可得直线AE的方程y—y0=4y0y02-4·(x—x0),由y0思路分析（1）根据等边三角形的性质可知A点横坐标为FD的中点的横