2022届福建省福州高三质检三模数学试题（解析版）

2022届福建省福州第一中学高三质检三模数学试题

一、单选题

1.已知〃，N是R的子集，且M=贝()

A.MB.NC.0D.R

【答案】C

【分析】依题意画Venn图，结合Venn图即判断交集结果.

【详解】M,N是R的子集，且MqN,如图所示，表示Venn图中的阴影部分,

故可知，(aN)c〃=0

故选：C.

2.(2x-y)6的展开式中，项的系数是()

A.30B.-30C.60D.-60

【答案】C

【分析】由二项式定理求解

【详解】由题意&尸C[(2x)6T(_y)"当r=4时，x?；/项的系数是[5*4=60

故选：C

1a

o/4、I—tan—

3.若sina=一£,且aw%,则-------=()

5')l+tan-

2

C.2D.-2

【答案】D

2sin—cos—2tan—

【分析】由sina=2singos^=-----2---=----,可解得tanj即可求解

22si「n—a+cos2—atan—+l2

222

-.aa△a

2sin—cos2tan—

c.aa322=23

【详解】s\na=2sin—cos—=-故

225a1a，2a15

si.n2—+cos:一tan—+1

222

可解得呜=-g或ta吟=-3,又问兀引，故tan|=-3,故-----^=-2

"‘an.

故选：D

4.以下四组向量在同一平面的是(

A.(1,1,0)、(0,1,1)、(1,0,1)B.（3,0,0）、（1,1,2）、（2,2,4）

C.(1,2,3)、(1,3,2)、(2,3,1)D.（1,0,0）、（0,0,2）、（0,3,0）

【答案】B

【分析】利用共面向量的基本定理逐项判断可得出合适的选项.

n=1

【详解】对于A选项，设(1,1,0)=十所以，加=1,无解;

m+n=0

对于B选项，因为(2,2,4)=0・(3,(),())+2(1,1,2),故B选项中的三个向量共面;

x+2y=\

对于C选项，设(l,2,3)=x(l,3,2)+y(2,3,l),所以，3x+3y=2,无解；

2x+y=3

0=1

对于D选项，设(l,O,O)=a(O,O,2)+b(O,3,O),所以，，3b=0,矛盾.

2a=0

故选：B.

5.已知函数/(x)=lnk+GTT)-cos(3x+e).则当扪时，，(x)的图象不可能是

【答案】D

【详解】首先设g(x)=ln(x+77可，得到g(x)为奇函数，再分别令。=04,万，依次

判断选项即可.

【点睛】设g(x)=ln(x+G7T),定义域为R,

g(x)+g(-x)=In(x+Jx?+1)+In卜x+Jx'+1)=ln(x2+l-x2)=0,

所以g(-x)=-g(x),g(x)为奇函数.

当9=0时，y=cos3x为偶函数，f(x)=ln(x+GTi,cos3x为奇函数.

/(0)=/图图肛卧0，所以选项B可能•

当。=4时，y=cos(3x+;r)=-cos3i为偶函数，

/(x)=-In1+)•cos3x为奇函数.

/(。)=/信)=/图=0，所以选项A可能.

当9时，y=cos(3x+])=-sin3x为偶函数，

f(x)=-ln(x+Jx2+l〉sin3x为偶函数.

因为"0)=/闺=/(芝1=0,所以选项C可能.

故选：D

6.已知函数小)=%3+9)(0>0,0<9苦)的图象过点。(0,；),现将月日)的

图象向左平移，个单位长度得到的函数图象也过点尸，则()

A.。的最小值为2B.co的最小值为6

C.3的最大值为2D.①的最大值为6

【答案】A

【分析】根据/'(x)图象平移前后都过点尸求得。的表达式，进而确定正确答案.

【详解】依题意f(o)=sine=g,o<9<5，e=S，

〃力=呵3高向左平移T个单位长度得到:

7171.(71兀)

g(x)=sinCD\X+—+—=sinCDX+—C0-1--,

36I36

g(O)=sin序崂卜;，

LLt、t兀兀c,兀兀兀c,571

所以一69+—=2勺兀+—或一&+—=2&兀+—，

36636~6

即G=6kl或CD+=6k2+2,其中攵1,&£Z,

由于6y>0,所以0的最小值为2.

故选：A

7.已知A8,8分别是圆柱上、下底面圆的直径，且.。一O分别为上、下

底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A-BCD的体积为18,则

该圆柱的侧面积为()

A.9nB.12兀C.16兀D.187t

【答案】D

【分析】结合图形分析得三棱锥A-BC£>的体积为两个全等四棱锥C-AB//减去两个全

等三棱锥A-CDE,利用锥体体积V=；Sh代入计算求『，再利用圆柱的侧面积S=2nrl.

【详解】分别过A8作圆柱的母线AE,切"连接CE,DE,CF,DF,设圆柱的底面半径

为，・

则三棱锥A-8C。的体积为两个全等四棱锥C-WE减去两个全等三棱锥A-C0E

]j]2

HP2x-xrx2rxr-2x-xrx—x2rxr=—r3=18,则r=3

3323

圆柱的侧面积为2axr=18兀

故选：D.

8.许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表

现得淋漓尽致.已知下面左图是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建

筑，右图是其中截面最细附近处的部分图象.上、下底面与地面平行.现测得下底直径

AB=20M米，上底直径CZ）=20板米，A8与间的距离为80米，与上下底面等

距离的G处的直径等于CO,则最细部分处的直径为（）

A.10米B.20米C.106米D.10逐米

【答案】B

【分析】利用题中的条件，建立直角坐标系，可以求出双曲线的标准方程，即可解出.

【详解】解：建立如图的坐标系，

依题意，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于。，根据

双曲线的对称性，G点与。点的纵坐标互为相反数，所以％=20,则%=-60

由题意可知C(1(A/5,20),B(lOx/io,-60),

设双曲线方程为:

200400=

a2b2

解得4=100,b2=400.

10003600

丁一7

\EF\=2a=20,

故选：B.

二、多选题

9.设复数z=-'不(aeR),当。变化时，下列结论正确的是()

A.国=同恒成立B.z可能是纯虚数

C.z+』可能是实数D.目的最大值为g

Z

【答案】ABD

【分析】首先根据题意得到z=品一品i,再结合复数的定义和运算性质依次判断

选项即可.

a-21a2

【详解】a+2i~(«+2i)(a-2i)-a2+4~a2+4

2i,回=|司=

对选项A,z=+4+c7+4

故A正确.

2

对选项B,Z—-7->7］，

a+4。+4

当。=0时，z=-1i为纯虚数，故B正确.

2

对选项C,z+—=——―i+«+2i=f20+«^)+f2---j——

Z4+46r+41a+4)\a~+4j

2

令2-^^=0,即Y+3=o无解，故C错误.

a+4

对选项D,当且仅当a=0时取等号.

所以忖的最大值为g故D正确.

故选：ABD

10.某人投掷骰子5次，由于记录遗失，只有数据平均数为3和方差不超过1,则这5

次点数中（）

A.众数可为3B.中位数可为2C.极差可为2D.最大点数可为5

【答案】AC

【分析】根据方差、平均数、众数、中位数的定义进行逐项判断.

【详解】解：

对于选项A：如果五次都为3,满足题意，众数为3,符合题意，故A正确；

对于选项B：若中位数2,则出现2,2,2,4,5这组情况方差最小，但此时方差大于1,故

不符合题意，故B错误；

对于选项C：2,3,3,3,4这种情况下方差小于1,故C正确；

对于选项D：若最大点数为5,当方差最小,该组数为2,2,3,3,5,该组数的方差大于1,

故D错误；

故选：AC

11.已知曲线C是平面内到定点厂（0,1）和定直线l.y=-\的距离之和等于4的点的轨迹,

若尸（々，九）在曲线C上，则下列结论正确的是（）

A.曲线C关于x轴对称B.曲线C关于y轴对称

C.-2飙)2D.l^JlPF|4

【答案】BD

【分析】设曲线C上任意一点。（x,y）,根据题意列式化简求出曲线C的轨迹方程，再

结合图象判断AB,再根据抛物线的性质判断CD即可

【详解】由题，曲线C上任意一点Q(x,y),则GZg[+|y+i|=4.当yz-l时

yjx2+(y-l)2=3-y,HPx2+(y-l)2=y2-6y+9,

化简得y=2-%2,且一14y42；当y<-l时，&+(丫-1)2=>+5,

对A,B,显然图象不关于x轴对称，关于y轴对称，故A错误，B正确：

对C,当y=2-%2=_］时，解得X=±2G，故-2#M毛426，故C错误；

对D,因为y=~x2即x2=-4y的焦点为(0,T),故抛物线y=2-^x2的焦点为F(O,1),

同理尸(0,1)也是抛物线了=，r-2的焦点.

故尸尸的最小值为(0,2)到尸(0,1)的距离1,最大值为方程左右端点(±26,-1)到尸(0,1)

的距离《2百丫+2?=4,故14|PF|V4,故D正确；

故选：BD

12.已知函数f(x)=ln|x|+,-x,则下列结论正确的是()

X

A./(%)为偶函数B./(x)有且仅有两个零点

C.f(x)既无最大值，也无最小值D.若看%>0且/(苔)+/(毛)=0,则

XxX2=1

【答案】BCD

【分析】求出f(-x)即可判断函数奇偶性，再分段讨论求/‘(X)即可确定函数单调性，

分别验证即可.

【详解】解：因为f(x)=In|x|+g-x定义域为{X|XK0},

又.f(_x)=ln|x|+x-‘，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，所以A选项错误.

X

当x>0时，f(x)=lnx+1-x,即?-x+l+4八恒成立，所以/(x)在

Xf(x)=---------=----4——<0

T-X

(。,+8)为减函数.

又因为"1)=0,所以"X)在(0,+8)上只有一个零点.

2

当X<0时，/(x)=ln(-x)+--x,即x-X+1卜+彳八恒成立，所以/(X)在

xf(x)=----2-=-----%——<0

-X-X

(，》,0)上为减函数.

又因为/(T)=0,所以f(x)在(9,0)上只有一个零点，即B,C选项正确.

当为々>0时，若5>0,占>0,由/(斗)+/(々)=。，可得

f(x)=-f(x2)=-(Inx,-XjH—)=In—i------=f(一)

WX2_X2X2>

因为Ax)在(0,+8)上单调递减，所以为=’,即占々=1,

同理可证当±<0,々<0时，结论也成立，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13.已知等比数列｛4,,｝的前〃项和为S,,%=1,%=8%,若5“=31,则〃=.

【答案】5

【分析】根据4=1,%=8%求得公比，再由5,=31求解.

【详解】解：在等比数列｛4｝中，4=1,4=8%，

所以lx/=8xlxq,解得夕=2,

即2"=32,解得〃=5,

故答案为：5

14.过点M(2,G)的直线与OC:(X-3)2+V=16交于A,8两点，当M为线段A8中点

时，CACB=.

【答案】-8

【分析】由题意可得M(2,G)在。C内，又由同为线段A8中点A3_LCM,由两点间

距离公式得CM=2=；AC,进而求得ZACB=120°,再由向量的数量积公式计算即可得

答案.

【详解】解：因为点”（2,6）在。C:（x-3）2+y2=16内，

所以当M为线段48中点时，AB1CM,

又因为OC的半径为4,CM=2=；4C,

所以NACN=60°,

所以NAQ3=12（）。，

所以，CA-CB-|C4HCB|«COS120O=4X4X（-1）=-8.

故答案为：-8.

15.产品质量检验过程主要包括进货检验（/。。），生产过程检验（/R2C）,出货检验

（OQC）三个环节.已知某产品IQC单独通过率为』，"QC单独通过率为。（0＜。＜1）,

4

规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需

从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立.若该产品能进入

OQC的概率为：，则。=__________.

6

【答案】I

【分析】利用独立事件和互斥事件概率求解.

【详解】设4：第i次通过IQC,B,：第i次通过lPQC（i=l2）.

由题意知祀+私丽）系

24

解得或〃=§（舍去）.

故答案为：I.

四、双空题

16.在三棱锥尸-ABC中，平面P8C,PBLPC,PA=PC=2PB=4,则三棱

锥P-ABC外接球的表面积为；若动点M在该三棱锥外接球上，且

NMPB=ZMPC,则点M的轨迹长为.

【答案】36兀取n

【分析】由题，先得出三棱锥P-ABC为直三棱锥，则其外接球相当于以94、PB、PC

为棱的长方体的外接球，则直径为长方体的体对角线，则可求外接球表面积；

要使ZMPB=NMPC,则M在N3PC的角平分面上，则M的轨迹为圆，利用长方体的

性质，求出球心到角平分面的距离，即可求出M的轨迹圆的半径，即可求”的轨迹长

【详解】由平面PBC,PBLPC彳导,三棱锥P-ABC为直三棱锥，其外接球相当

于以期、PB、PC为棱的长方体的外接球，故外接球半径为:而不正7=3,

故三棱锥尸-ABC外接球的表面积为47tx3?=36兀；

如图，PC中点为F,则易得以R4、PB、PF为棱的正方体由正方体的

对称性，要使NMPB=NMPC,则M在/BPC的角平分面上，即面R4/7E，故M的轨

迹为面B4//E与外接球相交出的圆.

取AP、HE中点人J,由正方体的对称性易得面，面抬HE,且

OJ=-PB=i,〃=6+2?=2夜,OI=V22+l2=>/5,故

2

cos/〃O」2+(20)一(逐)=变,故〃上的高

2x1x2近

①，故M的轨迹圆的半径一=

h=OJ'3\nZ.U0=\'

2

故轨迹长为271r=兀.

故答案为：3671：y/34n

五、解答题

A+R

17.已知AABC的内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,isin-^—=csinB.

(1)求角C;

(2)若48边上的高线长为2百，求AABC面积的最小值.

【答案】⑴。

⑵4石

【分析】(1)利用正弦定理、诱导公式、二倍角的正弦公式化简可求得sin］的值，结

合角C的取值范围可求得角C的值；

(2)利用三角形的面积公式可得出必=4c,利用余弦定理结合基本不等式可求得。的

最小值，即可求得AABC面积的最小值.

【详解】(1)解：由已知A+8+C=;r,所以瓜皿210=加皿二jC=bcosg,

cC

所以〃cos—=csinB,由正弦定理得sinBcos—=sinCsinB,

22

/、C71C

因为3、CG(0,7T),则sin3>(),0<—<—,cos,>。，

所以，cos—=sinC,则cosC=2sin£cosC,所以sinC='，所以£=工，贝ijf=2.

222222263

(2)解：由S.3C=3°.26=3。6吊。，得ab=4c,

由余弦定理/=a2+b2—2abeosC=a2+b2—ab>2ab—ab—ab，

即(:224。，因为c>0,则。24,当且仅当。=b=c、=4取等号，

此时△ABC面积的最小值为.

18.新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气

污染和缓解能源短缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消

费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.某车企调查

了近期购车的200位车主的性别与购车种类的情况，得到如下数据：

购置新能源汽车购置传统燃油汽车总计

男性8020100

女性6535100

总计14555200

⑴根据表中数据，判断能否有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；

⑵已知该车企有5种款式不同的汽车,每种款式的汽车均有新能源和传统燃油两种类型

各1辆.假设某单位从这10辆汽车中随机购买4辆汽车，设其中款式相同的汽车的对数

为求4的分布列与数学期望.

9n(ad-bc)~,,

附：K~=T----7/~w----w-----7，n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（KWk。）0.100.050.0250.010

我。2.7063.8415.0246.635

【答案】(1)有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关

(2)分布列答案见解析，数学期望：|

【分析】(1)计算K?，与临界值比较得出结论：

(2)写出随机变量的取值，分别计算对应概率，即可得出分布列，求期望即可.

【详解】⑴根据题意可得K,=2°°(8°x35-65x20)-=1800

«5.643>3.841,

145x55x100x100319

所以有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关.

(2评的可能取值有0,1,2,

则尸（9）=詈*CC："4年=2）啥C2V1

P（J=1）=--------------

C1021。7Jo

所以J的分布列为

4012

841

P

21721

因止匕，E（^）=0xA+ixl+2xl=|

19.已知空间几何体中，ZVU3E与△8C3是全等的正三角形，平面相£，平面

ABC,平面88J•平面ABC.

⑴求证：AC//DE-,

(2)若AB_LBC,求直线30与平面AOE所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)根据题意得平面ABC,•ON，平面ABC,所以EM"DN,又

EM=DN,所以四边形EMNZ)为平行四边形，再分析证明即可；(2)根据题意，建立

空间直角坐标系，利用线面角的空间向量法求解即可.

【详解】⑴设“，N分别为边AB,边3c的中点，连接EM,DN,

因为ZVIBE为等边三角形，所以

因为平面平面ABC,且平面ABEfl平面ABC=AB,

所以EM，平面ABC,洞理可证。NJ_平面ABC,

所以EM/JDN,因为△/该与△38是全等的正三角形，

所以EM=DN,所以四边形EMM)为平行四边形，

所以DE//MN,因为MN为“ABC的中位线，

所以MN〃AC,所以AC//DE.

(2)因为A3_L8C,以B为坐标原点，及方向为x轴，丽方向为＞轴，配方向为z轴

建立空间直角坐标系，如图所示.

设AS=2,则仅0,0,0),40,2,0),。(1,0,6)，E(0,l,g),

所以4方=(1,-2,后)，诙=(-1,1,0),

设平面ADE的法向量为m=(x,y,z),

ADm-0b,,x-2y+6z=0

——c，所以1取正=(3,3,扬,

DE-m=0[-x+y=0

BD=(1,0,73),设直线BD与平面所成角为6,

mn,ai/~DT\~\i।BD'in\6\p2A

则sin0=|cos〈BD,ni)|=——：———=—f=——；==------,•

\BD\-\m\V4XV217

所以直线8。与平面ADE所成角的正弦值为叵.

7

20.设数列｛4｝的前"项和为S"，q=0,g=1,nS„+l-(2M+1)5„+(〃+1)，--1=0(〃..2).

(1)证明：｛a,,｝为等差数列；

（2）设仇,=2册，在2和%之间插入〃个数，使这〃+2个数构成公差为4,的等差数列,

求）丁，的前n项和.

【答案】（1）证明见解析

⑵7；=6一（〃+3）出

[S,,71=1.

【分析】（1）根据勺=；c一，即可得到”,「5+1）4-1=0,,从而得

到（〃-l）a"-"a,i-l=0,〃..2,作差即可得到一+%=2%,〃..2,从而得证；

（2）由（1）可得｛4｝的通项公式，从而得到;=需，再利用错位相减法计算可得;

【详解】（1）证明：因为近2时，砾+「（2〃+1）S“+（〃+1）S“T-1=0,

则〃（S“+「S,,）-（〃+I）（S,「ST）-I=O,

BP««„+I-(«+1)«„-1=0,n..2,■

因为出一2%-1=0,•

则"%+]-(〃+l)a„-l=0,neN*....①，

所以(〃-l)a“-na„_1-l=0,n..2....②,

则①一②得na„+l-2na„+na„_,=0,n..2,

即=2a“,％.2,•

所以｛%｝为等差数列.

（2）解：由（1）可得｛4｝的首项为％=0,公差为%-4=1，所以a”="T，

所以”=2"T,

b”+「b"2"-2j2〃T1〃+1

所以4=则zk

〃+1〃+1n+\

记的前"项和为T”,

则+%(g)+4(g[+-••+(«+!)

r①,

所以3，=2]4+3{3+419+...+“\，+(〃+1)(5•……②,

则①一②得/=2+

（｛I-（〃+咽，

\2)图=3-（"+唱，・

所以上乙1+—宁--(几+1)

1--

2

所以7；=6-（〃+3）切

21.已知椭圆C:「+5=l（a>b>0）的右顶点为42,0）,离心率为正.

a~b-2

（1）求C的方程；

（2）设斜率为1的直线/与C交于尸，。两点，点P关于x轴的对称点为M,若APQM的

外接圆恰过坐标原点，求直线/的方程.

【答案】⑴土+0=1

4

eJ瓜

（2）y=x土§

a=2

【分析】（i）由题意得£=当，解方程组求出。为，从而可得椭圆方程，

a2

a2=b2+c2

（2）设/的方程为y=x+，〃，设P（x.,y）,。（々,必），将直线方程代入椭圆方程中，

消去y,整理后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示出线段PQ的中点坐标,

从而可表示出线段P。的中垂线方程，则可表示APQM外接圆的圆心，表示出点E到直

线/的距离，从而可表示APQM外接圆的半径，则可表示APQM外接圆的方程，再由圆

过原点。（0,0）,可求出加的值，进而可求出直线方程

a=2

【详解】（1）依题意£=g-

a2

a2=h2+c2

所以椭圆C的标准方程为L+V=i

（2）设/的方程为y=x+，w,设P（x，y）,Q（&,%），则M（&-x）.

y=x+m

由〈丁消去y得，5x24-8/nr+4m2-4=0,

—+/=1

14

依题意A=64〉一20（4"2—4）>0,HP一石<m<\/5,

8"?

X\+X2=--不

所以

W-4

%工2=---

LL-c8机32m

所以Ni+%=%+W+2租=——+2/w=—,

所以线段尸。的中点坐标为

4m3相

所以线段PQ的中垂线方程为X4---,---即0ny=-x——,.

5；