2022年全国一卷新高考题型细分汇编2-8立体几何（大题）8+中档含答案

2022年全国一卷新高考题型细分2-8

——立体几何(大题8)中档

1、试卷主要是2022年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计174套。

2、题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可

以查看。方便老师备课选题。

3、立体几何大题综合性比较大，所以按题目的难易程度进行排版；每道题目后面会标注该题目的知识点、

方法，方便选题。

1.(2022年新高考全国一卷J01)如图，直三棱柱Z6C-48G的体积为%的面积为20.

(1)求〉到平面43c的距离;(0)

(2)设。为4。的中点，AAt=AB,平面48C_L平面,求二面角4一80-。的正弦值.

(等体积法求距离，易；求二面角，步骤多，涉面面垂直性质，中档)

2.(2022年广东茂名J03)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是正三角形，平面ABC_L平面BCD,BD1

CO,点E,F分别是BC,DC的中点.

(1)证明：平面AC。"L平面AEF；(®)

(2)若/BCD=60。，点G是线段BD上的动点，问：点G运动到何处时，平面AEG与平面力CD所成

的锐二面角最小.

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力

B

（面面垂直性质，易；二面角，最值分析，中档）

3.（2022年广东仿真J04）（12分）如图，多面体PQ/8c。中，四边形/8C。是菱形，尸/J.平面

AB=PA=2,ZABC=60°,QC=QD=2yf2,PQ=a（a>0）.

（1）设点尸为棱CD的中点，求证：对任意的正数a,四边形尸。以为平面四边形；（⑥）

（2）当”=旧时，求直线尸0与平面尸所成角的正弦值.

（共面证明，中档，未；求线面角，中档；）

4.（2022年广东韶关二模J06）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-/8C。中，底面48CD为矩形，点S是边的中点.AB=2,AD=4,PA=PD=2近.

（1）若。是侧棱PC的中点，求证：SO〃平面必D；（®）

（2）若二面角的大小为求直线尸。与平面尸8c所成角的正弦值.

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（平行四边形证平行，易；二面角反求系数，再求线面角，中档；）

5.（2022年广东佛山二模J09）如图，在以P,A,B,C,。为顶点的五面体中，平面为等腰梯

形，AB//CD,AD=CD=~AB,平面以OJ_平面以8,PALPB.

2

（1）求证：△以。为直角三角形；（叱

⑵若AD=PB,求直线尸。与平面尸8c所成角的正弦值.

（面面垂直性质，中下；求线面角，中档；用共线向量标准坐标点；）

1.（2022年广东汕头一模J22）如图,£＞为圆锥的顶点是圆锥底面的圆心，ZE为底面直径，AE=AD,

△N3C是底面的内接正三角形，且。0=6,P是线段。。上一点.

（1）是否存在点尸，使得PZJ_平面P3C,若存在，求出尸O的值；若不存在，请说明理由;

（2）当尸。为何值时，直线EP与面尸BC所成的角的正弦值最大.（⑥）

（线面垂直反求长度，中下；线面角，最值分析，中档；）

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2.（2022年广东调研J28）给出两块相同的正三角形铁皮（如图1,图2）,

（1）要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原

三角形的面积相等，

①请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；

②试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小（⑦）

（2）设正三角形铁皮的边长为将正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线

折起（如图3）,做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积

是多少？

（多面体体积计算，中档：用导数分析最值，中档；）

3.（2022年广东六校联考J34）已知矩形纸片N8CQ满足48=2，4。=2百，M为4c中点，将该

纸片沿对角线AC折成空间四边形ABCD,,使得二面角D.-AC-B的大小为6.

（1）求三棱锥体积的最大值：（.）

（2）若6=60°,求直线g与平面BCR所成角的正弦值.

（求体积最值，中下；二面角反求坐标点，再求线面角，中档；）

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1.（2022年山东东营J58）如图，分别是圆台上、下底面的直径，且Z6||C。，点E是下底面

圆周上一点，AB=2-72-圆台的高为JU.

（1）证明：不存在点E使平面NEC,平面ZOE；（®）

⑵若DE=CE=4,求二面角£）—ZE—8的余弦值.

（存在性问题，反证法，中档；求二面角，易；）

2.（2022年山东师大附中J61）如图甲，平面图形/3CAE中，AE=DE=BD=BC=1，BCLBD,

DEHAB,ZEAB=60°.沿8。将△8CO折起，使点C到尸的位置，如图乙，使BF上BE,

氏=丽.

（1）求证；平面平面血；（叱

（2）点〃是线段尸G上的动点，当与平面血所成角的正弦值为2时，求平面儿"8与平面

7

血所夹角的余弦值.

（证线面垂直，中下，涉特殊三角形；线面角反求系数，再求二面角，中档；）

3.（2022年江苏南京金陵中学J08）如图，三角形/8C是边长为3的等边三角形，E,F分别在边N8,

/C上，且/E=4b=2，M为8c边的中点，4M交EF于点O,沿£尸将三角形/E尸折到OEF的

位置，使。加=巫.

2

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D

(1)证明：OO_L平面E/C8；(⑪)

(2)若平面EFC8内的直线EN〃平面。。C,且与边BC交于点N,问在线段上是否存在点尸,

使二面角产一£N—8的大小为60。？若存在，则求出点尸；若不存在，请说明理由.

(证线面垂直，中下，涉勾股；二面角反求坐标点，中档；)

4.(2022年江苏南京J09)如图，在三棱柱ABC-A\B\C\中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面ACCyAy

是菱形，平面NCCMi_L平面/8C,E,尸分别是棱4G,8c的中点，G是棱CG上一点，且

C1G=/GC(/>0)-

(1)证明：EF〃平面(⑫)

(2)若三棱锥CL/BC的体积为1,且二面角上EG-尸的余弦值为生匣，求/的值.

(证面面平行，中下；二面角反求系数，中档；)

5.(2022年江苏南京江宁中学J10)如图，在四棱台ABCD-A.B^p,中，底面为矩形，平面AA.D.D1

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（1）证明：（®）

n

（2）若4。与平面所成角为§，求二面角C—〃4一。的余弦值・

（面面垂直性质，中下；线面角先算长度，再求二面角，中档；）

6.（2022年江苏南京宁海中学J13）如图，四棱柱44GA,底面Z8CD是平行四边形,

N5=1,8。=4,NABC=60°,C,C，CO,E为的中点.

（1）求证：QE1CD；（⑭）

（2）若GE^EC，二面角G—C。—/的大小为60。，求直线6Q与平面所成角的正弦值.

（证线面垂直，中下；二面角先算长度，再求线面角，中档；）

1.（2022年湖南长沙长郡中学J20）已知四棱锥P—N8CZ）中，底面/8CZ）是平行四边形,

PA=AB，/PAD=/BAD，瓦厂分别是/民。。的中点，AD=2,PF=3,PE=#.

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（1）求证：ZO_L平面PZ8；（⑮）

（2）若PB=2。求二面角8—PC—4的余弦值.

（证线面垂直，中档，涉勾股、全等，好多计算；先算长度，再求二面角，中档；）

1.（2022年福建集美中学J26）如图，C是以Z8为直径的圆。上异于4,8的点，平面尸平面

N6C,△尸/C为正三角形，E,尸分别是PC,尸8上的动点.

（2）若E,尸分别是PC,P8的中点且异面直线/厂与所成角的正切值为也，记平面/痔与

2

平面Z8C的交线为直线/,点。为直线/上动点，求直线产。与平面ZEE所成角的取值范围.

（面面垂直性质，易；线线角算长度，再求线面角，再求范围，中档，涉线面平行性质等；）

1.（2022年江苏盐城三模J62）如图，在以P,A,B,C,。为顶点的五面体中，四边形N8CZ）为等腰

梯形，AB//CD,AD^CD^-AB,平面「40,平面尸Z6,PA1PB.

2

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DC

(1)求证：平面尸/D_L平面P8C；(®)

(2)若二面角尸-的余弦值为立，求直线尸。与平面P8C所成角的大小.

3

(面面垂直性质，中下；二面角反求系数，再求线面角，中档；)

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®【答案】（1）y/2

（2）B

2

【解析】

【分析】（1）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得8C_L平面Z8片％,建立空间直角坐标系，利用空间

向量法即可得解.

【小问1详解】

在直三棱柱4G中，设点4到平面48c的距离为爪

则匕ABC~~^ABC'^~——h=V,=—5-A,A=—V——,

A-A^DC33—ADLABC3ABC13ADC-A/1B|2C>|C|A&c3

解得h=V2,

所以点z到平面48c的距离为J5；

【小问2详解】

取46的中点E,连接NE,如图，因为441=/8,所以/E_L48,

又平面48C-L平面/5片4,平面48Cn平面48与4=48,

且ZEu平面所以平面48C,

在直三棱柱ABC-48c中，BBJ平面/8C,

由8Cu平面ZfC,8。匚平面48。可得“£_18。，BB}1BC,

又AE,BB]u平面且相交，所以8CL平面468/,

所以8c,84,两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图，

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由(1)得AE=6,所以=AB=2,AB=26,所以8C=2,

则2(0,2,0),4(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以4c的中点0(1,1,1),

则而=(1,1,1),或=(0,2,0),元=(2,0,0),

m-BD=x+y+z=0

设平面ABD的一个法向量加=(x,y,z),则《

tn•BA=2y=0

可取而=(1,0,-1),

m•BD=Q+6+C=0

设平面BDC的一个法向量〃=(a,6,c),则《

tn-BC=2a=0

可取〃=(0,1,—1),

m-n1

则cos(m.n

>/2x-^22

所以二面角4—8。一c的正弦值为Ji一(g

-

7T

②解：(1)因为AABC是正三角形，点E是BC中点，所以AE1BC,

又因为平面ABCJL平面BCD,平面4BCCI平面BCD=BC,ZEu平面ABC,

所以AE_L平面BCD,

又因为CDu平面BCD,所以CD_L4E,

因为点E,尸分别是BC,C。的中点，所以EF〃BD,

又因为8。1CD,所以CDJ.EF,

又因为COJ_AE,AEQEF=E,AE,EFu平面4EF,

所以CDJL平面AEF,

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又因为COu平面4CD,所以平面4CD_L平面4EF.

(2)在平面BCO中，过点E作垂足为H,

设BC=4,则EA=2b，DF=FC=1,EF=V3.

以｛丽,而,而｝为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-xyz,

贝|JE(O,O,O),4(0,0,2百)，C(-1,73,0),D(l,V3,0),

设G(l,y,O),则a=(0,0,2g),AD=(1,V3,-2V3),CD=(2,0,0),EG=(l,y,0),

设平面AEG的法向量为二=(打,月/1),

由恬更=。，得『呼=。小

(n^-EG=03+yyi=0

令--1,故污=(y-1,0),

同理可得平面ACD的法向量为元=(0,2,1)，

设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为仇

则cosO=|cos(近,无＞|=|缶后熹,

当y=0,cos。最大，此时锐二面扃。最小，

故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.

③【答案】见解析

【详解】(1)证明：设。在平面48C。内的射影为E,因为0c=。。，所以EC=EO,

故点£在CO的垂直平分线上，

因为N8CD是菱形，且48c=60。，

故直线ZE与CO的交点即为CD的中点F,

因为PA1ABCD,0E_L平面ABCD,

所以P4//0E,故PN,0E共面，

所以尸0E4为平面四边形；

(2)解：分别以4B,AF,4P所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图

所示，

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则1(0,0,0),8(2,0,0),C(1,也,0),F(0,V3,0),P(0,0,2),

当尸0=a=J17时，由尸尸=J(Jiy+2?=近,

又尸为等腰三角形的底边CD的中点，故。尸_LC。，

所以QE=J(2何_/="

故PF2+QF2=PQ2,又QC=26,

(x-l)2+(y-^3)2+z2=(2V2)2

设。（、，y,z）,则有4x2+(y-73)2+z2=7

x2+/+(z-2)2=14

解得。（0,2+石,石），

设平面P5C的法向量为五=（a,b,c）,

因为丽=(2,0,-2),定=(1,6,-2),

2a-2c=0

则有，号0,即

n-PC=0a+Mb-2c=0

令6=1,贝U4=6,c=6,故万=,

又所=(0,2+亚力'-2),

\'PQn\5y/2-y/6

所以|cos＜而，万＞1=

\PQ\\n\14

故直线尸。与平面次所成角的正弦值为普

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o

20.解:（l）取线段尸。的中点H,连结S。、OH.HA.如图（1）

在aPCD中，。、H分别是PC、PQ的中点,所以OHRCD&。H=LCD……I分

2

所以OHNAS旦。^・AS..................-..........................................................2分

所以四边形4sOH是平行四边形，所以SO"4H.................................................3分

又/HU平面£3.SOa平面上血）,所以SO〃平面HAD................................4分

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(2)解法一：取线段4。、3。的中点£、尸,连结P&、&尸.由点后是线段3的中

点，力=尸。可得尸&_L45,...............................…叩,…….5分

又外J_71Z)、所以/P即是二面处P-4O-8的平掰珀，即NP£P=|*”.3.U...6分

以E为朦点,瓦I加方向分别为x轴，7轴正方向，建立如图(2)所示坐标系……7分

在A/MZ)中，AD=A.PA=PD=2及知:履=2.所以2(0,-1«我............8分

改2,0,0),5(2,2,0),0(-2,2,0)

所以方=(-2,L-g),PB=(2.3-J3),PC=(-2.3--j3)

n-PB=02x+3y-J3z=0

设平面23c的法向琅：=a，KZ),则,，即，广......9分

万府=0-2x+3y-J3z=0

可取7=(0,L回.…......................................................io分

设“线PD与平面P8C所成加为8,则sin6=|cos<PD,n>|=—=立……1L分

2»2y/24

所以fl线PD'MPBC所成角的正弦位为避.......................12分

4

解法1,取40、BC的中点£、尸•连结R?、EF过点&作尸于G.如图

(3).

由点2是线段月。的中点，以=尸。可得?&_LM,又EFLAD

所以NPM是：面向P-4O-B的平面角.即/期=|k.................6分

所以jOJL平面尸皮"乂AD〃BC,斫以BCJL平面PEF..................7分

又BCu平面P3C,所以平面广1平面PEF,

又平而PBCC平百PEF=PF*RGLPF

所以EG1平面P3C*..................................................9分

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2

在dPEF中.乙PEF=铲.PE=NRF=2.所以.....................10分

设直战2D与平面PBC所成角为e,则$沁6=丝=走

PD4

所以直战尸。与平面PBC•所成角的正弦值为由.............................L2分

4

⑤【答案】（1）证明见解析；

（2）旦.

3

【解析】

【分析】（1）作。于，，连BD,证明4D1BZ），再结合面面垂直的性质、线面

垂直的性质、判定推理作答.

（2）在平面P40内过点P作PzLPZ,以尸为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量

计算作答.

【小问1详解】

在等腰梯形N8CD中，作DH1AB于H,连BD,如图，

2222

tan/BDH=也=6,

DH

即/6。〃=60°，而//。〃=30°，因此，NADB=90"，即力。18。，

因平面PZ0J_平面尸45,平面尸NOD平面尸/8=P4，PBu平面P4B,而P4工PB，

则尸8,平面尸Z。，又ZOu平面尸Z。，于是有Z0_LP8,PBcBD=B，PB,BDu

平面PBD,

则有ZZ）J_平面P8。，P0u平面P8。，因此，ADLPD,

所以△尸/D为直角三角形.

【小问2详解】

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在平面PAD内过点尸作Pz，尸4,因平面PAD1平面PAB，平面PADA平面PAB=PA,

则尸z,平面尸Z6,

因此，尸8,P4Pz两两垂直，以点P为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

令PB=AD=2,则改=2百，PD=2y[2>5(2,0,0),J(0,273,0),L>(0,-^=,

方=g刀=（1,一6,0）,有丧，苧），从而得定=°，丧，箸），丽=（2,0,0）,

n•PB=2x=0

设平面PBC的一个法向量n=（x,y,z），则＜_一12.72，令z=l，得

n•PC=x--f=yH-z=0

V3V3

«=(0,-272,1).

一4

尸0=(0,耳,,设直线尸。与平面尸8c所成角为

6成

则有•AI/-\n-PD\石V3,

\n\\PD\3x2&3

所以直线尸。与平面尸8C所成角的正弦值为正.

3

⑥【答案】（1）PO=J4时，尸/_L平面尸8C；

（2）当|尸。|=太时，直线EP与面尸8。所成的角的正弦值最大.

【解析】

【分析】（1）求出40=40,4。=2百,46=6,再根据P4_L平面尸8C求出尸。即得解;

（2）如图所示，建立以点。为坐标原点的空间直角坐标系。-盯z,设|P。|=x,（04x46）,

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sin8=—―

利用向量法求出产r~j和6一5，利用基本不等式求解.

【小问1详解】

解：由题得/0=,力。,；工。2=尸。2+/。2.〃。2=36+_1工。2

24

所以4。=4百,，。=2百.所以△Z8C是圆的内接三角形，

AD厂

所以-----=2x2V3,1.AB=6,

sin60°

由题得尸T二口+尸。？.

假设PA1平面PBC,所以P4，尸8,二36=12+尸。？+12+PO2,:.尸O=#.

此时PA1PC.

所以PO=&时，尸/_L平面P8C.

【小问2详解】

解：如图所示，建立以点。为坐标原点的空间直角坐标系。-孙z.

设\PO\=x,(0<x<6),尸(0,0,x),E(-53,0),B(53,0),C(-250,0)，

所以为=(万,一3,x),诙=(6,3,—X),PC=(-2^0,-x),

设平面P8C的法向量为；=(a/,c),

nPB-也a+3b—ex=0一

所味定=一2G30'所以〃=("—)•

设直线EP与面PBC所成的角为

G।

由题得sin8=,/x+3产二2回=2呻=-=====<-

712+x2-VX2+3X2+12J12+V.，4/+12代+7+15

当且仅当|PO|=x=痛时，直线EP与面PBC所成的角的正弦值最大.

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2

@【答案】⑴①答案见解析；②曝>%；(2)当箱子底边长为5a时，箱子容积最大，

最大值为.

54

【解析】

【分析】①可以利用正三角形的图形特征，进行分割

②直接求解比较大小即可

⑵设箱底边长为x,列出xsin60Ox/7=-lx?(0<x<a),利用求导

288

的方法求出最值点，据此即可求解

【详解】解：(1)①如图1,沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥.

如图2,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，

其较长的一组邻边边长为三角形边长的,，

4

有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，

可成一个缺上底的正三棱柱，

而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底.

②依上面剪拼方法，有心〉噎.

推理如下：

设给出正三角形纸片的边长为2,那么，

正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，

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其面积为苴.现在计算它们的高:

4

(273?V6

=-tan300=—.

门32)3柱26

,1,^73(V3戈、V33-2V2

〃柱-”锥工=VT.彳=F'>0

/1/

所以%>%.

箱子的容积为p(x)=；f2

xsin600x7/-ax--^<X<.

88(°

i32

由rf(x}=-ax--x2=0解得玉=0(舍)，x=-a

v748239

(2、，、(2)

且当0,-a时，Kf(x)>0；当工£一凡。时,r(x)<o,

、3J\3)

2

所以函数忆(x)在X=§a处取得极大值,

这个极大值就是函数忆(x)的最大值:

答：当箱子底边长为2a时，箱子容积最大，最大值为

354

【点睛】本题考查学生的空间想象能力，棱锥棱柱的结构特征，以及利用导数求最值，属于

中档题.

⑧【答案】(1)1⑵驾

【解析】

第20页共36页

【分析】⑴根据体积比例关系%g…，计算出三棱锥的高和底面积,

即可求解.

（2）建立直角坐标系，算出平面8c9的法向量，然后根据直线方向向量和法相量的交角公

式计算即可.

【小问1详解】

解：由题意得：三棱锥4一3四。的体积嗫

当。=90"时，七「“sc取最大值，在矩形/BCD中，过。作。E_L/C交NC于点E，此

时，三棱锥。一力6。的高〃=QE

AC=,+（2匈2=4,h=DE=力,。=也

kBC的最大值伍ic）mx=：S=*220抬=2

所以三棱锥4一8朋A体积的最大值（七_8孙）,海=1

【小问2详解】

过8作3尸，4C,垂足为尸，过。作"E_L/C,垂足为£

以厂为坐标原点，E4为x轴，所为歹轴建立空间直角坐标系（如图所示）

BC=(-3,-73,0),西=(―2,一等9,函=(―3,4,I)

设平面BCD,的法向量为n=(x,y,z)

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-3x->/3y=0

n-5C=0

_=><。石上3

n-BD,=0—2x-------y+—z=0

22

取x=l,得万=

设直线AD｝与8cA所成角为a

1

2V1H

37

⑨【答案】（1）证明见解析；

63阿

55

【解析】

【分析】（1）引入辅助线ZWJ.4E，先假设若题干成立，借此证明出底面，显然是

不对的；（2）建立坐标系，利用空间向量求解.

【小问1详解】

假设存在这样的点E使平面NEC,平面NOE,CD是底面直径，故EC人DE,作

DH工AE，垂足为H,由于平面ZECJ_平面NOE,平面"ECI平面4DE=ZE,

Z）"u平面ZZ）E,根据面面垂直的性质定理，£）"_!,平面NEC,又ECu平面NEC,故

DHLEC,又DH&DE;D,DH,DEt平面,故EC,平面，故Ed£,

同理可证£Z）_L/E,乂DEcCE=E,DE,CEu平面CDE于是NE_L平面EC。，又圆

台上下底面圆心连线垂直于底面，但显然上下底的圆心连线不和4E平行，于是假设矛盾，

故不存在点E使平面AEC1平面ADE.

【小问2详解】

过3作BRLCD,垂足为尸，下以尸为原点，尸8,尸。为x,z轴，过尸垂直于3。且落在

底面的射线为y轴，建立空间直角坐标系.列出各点坐标

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。(3近,0,0),^(2V2,0,V14),E(020,0),8(0,0,V14)

A£=(-72,272,-714)，^£=(-272,272,0)，设平面ZOE的法向量G=(x,y,z),

n-AE-0—y/2x+2>/2jv—J14z=0

_一可得｛「「不妨取］=（J7,J7,i）；

n-AF^Q[-2V2x+2V2y=0

AE=(-V2,272,-714)，A5=(-272,0,0).设平面/8E的法向量五=(a,b,c)，

m-AE=0-y[2x+2y/2y-Vl4z=0

可得不妨取浣=(0,JY,2).

m-AB^O-2y[2x=0

mn_9_3465

于是法向量疝■的夹角为cos（加,“

|m||w|VTs-Vn55

由图所示二面角的大小是钝角，故二面角大小的余弦值是-独ii

55

⑩【答案】（1）证明见解析

（2）-

4

【解析】

【分析】（1）推导出8E_L平面Z8OE,可得出NE_L即，再证明出4EL5E，利用线

面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）证明出EG_L平面N80E,AE_LBE，然后以点E为坐标原点，EA、EB、EG所

在直线分别为X、歹、z轴建立空间直角坐标系，设点”（0,九1）,其中0<2«百，利用

空间向量法可得出关于，的等式，求出；I的值，可求得〃的坐标，然后利用空间向量法可

求得平面与平面血所夹角的余弦值.

【小问1详解】

证明：翻折前BC_L8£）,翻折后，对应地，BFLBD,

又因为BE工BF,BEcBD=B,所以，BF工平面4BDE,

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•••AEu平面ABDE,：.AE1BF,

在底面ABCDE中，AE=DE=BD=BC=1，DEHAB，

所以，四边形Z8OE为等腰梯形，因为NE4B=60"，：.N4ED=NBDE=120°，

因为BD=DE，则々BED=ZDBE=30"，:.ZAEB=NAED-ABED=90°，

AELBE,又因为ZE_L质，BECBE=B,：.4E工平面GEBF,

因为ZEu平面9G,因此，平面GE8F_L平面血.

【小问2详解】

解：在RtZ\Z8E中，NAEB=90。，ZEAB=60.AE=\,则BE=NEtan600=石,

因为豆3=而，则EG〃BF且EG=BF=BC=1,

因为8尸J_平面ABDE,，EGJ_平面ABDE，

-,-AEA.BE，以点E为坐标原点，E4、EB、EG所在直线分别为工、歹、z轴建立如

下图所示的空间直角坐标系,

则4(1,0,0)、3(0,6,0)、设点A/((U,1),其中OV/lwG，

______LL

所以，//=(一1",1),易知平面题的一个法向量为加=(0,1,0),

由已知条件可得卜OS<AM,m>^=

因为oV/iwG，解得；1=立，所以，方=(-i,G,o),/.=卜,乎,1,

设平面ABM的法向量为〃=(x,%z),

n-AB=-x+V3y=0

则《一百，取y=G，可得1=（3,JJ,2）,

n-AM=-x-\-----y+z=0

3

m-n_,因此，平面赫48与平面血所夹角的余弦值为立

cos<m,n>=

44

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⑪【19~20题答案】

【答案】（1）证明见解析:

（2）存在，6P=鼻血,p（o,35泽.

【解析】

【分析】（1）先由勾股定理证DO,,易得D0上EF,即得证；

（2）连接0C,过E作EN//OC交.BC予N,如图建立空间直角坐标系。-盯z,设

DP=^DM^<^<\）'再利用向量法求解•

【小问1详解】

证明：在△。。河中，易得。0=百，OM=—^DAf.

22

由。河2=。。2+。河2,得OOJ.OA/，

又•；AE=AF=2,AB=AC^3,:.EF//BC,

又M为BC中点、，：.AM上BC,：.DOLEF,

因为£Fp|OM=O,EROMu平面EBCF,

DOJ_平面E8C/.

【小问2详解】

解：连接。C,过E作EN//OC交8C于N,OCu平面。。C,EN0平面。OC,

则EN//平面。OC,

又。E//CN,四边形OENC为平行四边形，；.OE=NC=1,

如图建立空间直角坐标系。一盯z,设6P=2£>A/（0<2<1）1

由题得平面ENB的法向量为；=（0,0/）.

设平面ENP的法向量为1=（%,乂z），

由题得。（0,0,Ji）,M（0,y-,0）,DM=（0,g,一百），

所以6P=（0,*；l,一收），所以还=无>+励—

由题得E（l,0,0）,N（—g2,0），所以E=（—|■当,0）,

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-3G八2

m-EN=——x+——y=03]

22

所以《，所以二“nJ-、，

--3LL"7=（1川3,二=---尸一）

w-EP=-l+-A+（V3-V3Z）z=0V3-V3A

因为二面角P—EN—B的大小为60°,

1।Z7_区九'6

所以彳=丁*一；,解之得力=2（舍去）或4=2.

21—%7

1+3+（厂2产

丫A/3—A/3A

f6f3

此时。尸=?。暇=（0,—6r,--

77

⑫【答案】（1）证明见解析；

（2）t=2.

【解析】

【分析】（1）取力8中点"，连接4”,用17,证明E尸〃4〃，原题即得证；

（2）证明G"，平面/8C,分别以〃8,〃C,7/G所在的直线为"J"轴建立空间直角坐

标系，利用向量法求解.

【小问1详解】

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证明：取48中点连接为8c的中点，E为4G的中点，

//1//1II

.•.板=54。，4石=54。,，板=4旦，四边形4〃尸石为平行四边形，

.'.EF//AXM,,：EF<Z平面ABB}A},AXMu平面ABBiA],

EFH平面ABBXA.

【小问2详解】

解：••・平面/CCI4，平面Z8C,过G作

：.V（.,R（.=-S4R（.-C,H=-xy/3-C,H=l=>CH=y[3,

C|—ADC3△月6c1*•

,/CCj=2,.\CH=1,.\H为AC中点，，BH1AC,

如图分别以HB,HC,Hg所在的直线为轴建立空间直角坐标系,

.-.^（O,-1,O）,^（O,-1,V3）,F#，；，0,C（O,1,O）,C,（O,O,V3）

f->

由C}G=tGC=>G

设平面J£G和平面E/G的一个法向量分别为勺=（%,弘,马）,〃2=（工2/2,221

2,+1y/3t_

z

-----%2------22=0

n2-EG—0Z+lZ+l

,nx二（1,0,0）,<

n-EF-0

2+|-J;2-^z2=0

.•.3=，+2,、瓦,2/+1）,设二面角4—EG