2022年全国各省市中考数学真题汇编之圆解答题及真题答案

2022年全国各省市中考数学真题汇编

圆

1.（2022•四川省德阳市）如图，AB是。。的直径，是。。的弦，ABJ.CD,垂足是

点H,过点C作直线分别与4B,AD的延长线交于点E,F,且/ECO=2NB4D.

（1）求证：CF是O0的切线;

（2）如果4B=10,CD=6,

①求4E的长；

②求的面积.

2.（2022•江苏省扬州市）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平

分已知扇形的面积？

【初步尝试】如图1,已知扇形04B,请你用圆规和无刻度的直尺过圆心0作一条

直线，使扇形的面积被这条直线平分；

【问题联想】如图2,已知线段MN,请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜

边的等腰直角三角形MNP：

【问题再解】如图3,已知扇形OAB,请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点。为

圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分.

（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）

3.(2022•浙江省湖州市)如图，己知在RtzXABC中，ZC=RtZ,。是48边上一点，以

BD为直径的半圆。与边4c相切，切点为E,过点。作OF1BC,垂足为£

(1)求证：OF=EC；

(2)若乙4=30°,BD=2,求AD的长.

4.(2022•江西省)课本再现

(1)在。。中，4AOB是篇所对的圆心角，4c是篇所对的圆周角，我们在数学课上

探索两者之间的关系时，要根据圆心。与NC的位置关系进行分类.图1是其中一种

情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种

情况证明"=衣40&

知识应用

(2)如图4,若。。的半径为2,PA,PB分别与。。相切于点A,B,ZC=60°,求

P4的长.

图1图2图3图4

5.(2022•湖南省邵阳市)如图，已知OC是。。的直径，点B为CO延长线上一点，4B是

。。的切线，点4为切点，且4B=AC.

⑴求44cB的度数：

(2)若。。的半径为3,求圆弧巅的长.

6.(2022•浙江省金华市)如图1,正五边形ABCDE内接于O。，阅读以下作图过程，并

回答下列问题：

作法如图2.

1.作直径4F.

2.以尸为圆心，F。为半径作圆弧，与0。交于点M,N.

3.连结4M,MN,NA.

(1)求N4BC的度数.

是正三角形吗？请说明理由.

(3)从点4开始，以DN长为半径，在。。上依次截取点，再依次连结这些分点，得

到正n边形，求n的值.

即图2

7.(2022•湖北省十堰市)如图，△ABC中，AB=AC,。为AC上一点，以C。为直径的

O。与相切于点E,交BC于点F,FG1AB,垂足为G.

(1)求证：FG是。0的切线;

(2)若BG=1,BF=3,求CF的长.

8.(2022•福建省)如图，△48C内接于。。，交。。于点。，。广〃48交BC于

点E,交。。于点凡连接4F,CF.

(1)求证：AC=AF-.

(2)若。。的半径为3,ACAF=30°,求薪的长(结果保留TT).

9.(2022•安徽省)已知4B为。。的直径，C为。。上一点，。为B4的延长线上一点，连

接CD.

(1)如图1,若CO1AB,4D=30°,OA=1,求40的长；

(2)如图2,若DC与0。相切，E为。力上一点，且乙4co=NACE.求证：CE1AB.

10.(2022•浙江省绍兴市)如图，半径为6的。0与Rt△ABC的边4B相切于点4,交边BC

于点C,D,乙B=90°,连结OD,AD.

(1)若乙4cB=20。，求筋的长(结果保留元).

(2)求证：力。平分4BDO.

AB

11.（2022•湖北省宜昌市）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1）,隋代建造

的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥

的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为前.桥的跨度（弧所对的弦

长）4B=26m,设余所在圆的圆心为。，半径。C，4B,垂足为D.拱高（弧的中点

到弦的距离）CD=5nl.连接08.

（1）直接判断AC与BD的数量关系；

（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）.

O

12.（2022•黑龙江省齐齐哈尔市）如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作。。，AC

与。。交于点D,BC与。。交于点E,过点C作CF〃AB,且CF=CD,连接BF.

（1）求证：BF是。。的切线；

（2）若NB4C=45°,AD=4,求图中阴影部分的面积.

DC

13.(2022・广东省)如图，四边形48C。内接于。0,4c为。0的直径，/.ADB=/.CDB.

(1)试判断△4BC的形状，并给出证明；

(2)若AB=渥，AD=1,求CD的长度.

14.(2022•湖北省武汉市)如图，以AB为直径的。。经过△4BC的顶点C,AE,BE分别

平分484c和4ABC,4E的延长线交。。于点。，连接BD.

(1)判断aBDE的形状，并证明你的结论；

(2)若力B=10,BE=2回，求8C的长.

15.(2022•江苏省宿迁市)如图，在△4BC中，AABC=45°,AB=AC,以4B为直径的

。0与边BC交于点D.

(1)判断直线AC与00的位置关系，并说明理由；

(2)若力B=4,求图中阴影部分的面积.

AC

16.(2022・天津市)已知4B为。。的直径，AB=6,C为。。上一点，连接C4CB.

(I)如图①，若C为a的中点，求NC4B的大小和4C的长；

(口)如图②，若AC=2,OD为。。的半径，且OD1CB,垂足为E,过点D作。0

的切线，与4c的延长线相交于点F,求FD的长.

图①图②

17.(2022•湖南省衡阳市)如图，4B为。。的直径，过圆上一点D作。。的切线CD交B4

的延长线于点C,过点。作0E〃4C交CD于点E,连接BE.

(1)直线BE与。。相切吗？并说明理由；

(2)若C4=2,CD=4,求OE的长.

B

AO

18.(2022•江苏省泰州市)如图①，矩形4BCD与以刖为直径的半圆。在直线1的上方，线

段48与点E、F都在直线/上，且AB=7,EF=10,BC>5.点B以1个单位/秒的速

度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形4BCD随之运动，运动时间为t秒.

(1)如图②，当t=2.5时，求半圆。在矩形4BC。内的弧的长度；

(2)在点B运动的过程中，当4D、BC都与半圆。相交时，设这两个交点为G、H.连接

OG、OH,若4GOH为直角，求此时t的值.

参考答案

1.(1)证明：连接。C,如图,

•・.AB是。。的直径，AB1CD,

，BC=前,

:.Z-CAB=Z.DAB.

乙

vCOB=2/-CABf

，乙COB=2/.BAD.

v乙ECD=2乙BAD,

・•・乙ECD=Z.COB.

vAB1CD,

・•・乙COB+乙OCH=90°,

・・・/,OCH+乙ECD=90°,

:.乙OCE=90°.

:.OC1CF.

•・,OC是oo的半径，

・•.CF是。。的切线；

(2)解：①・••AB=10,

:.OA=OB=OC=5,

•・,是。。的直径，AB1CD,

：.CH=DH=；CD=3.

・•・OH=yjOC2—CH2=4,

vOC1CF,CH1OE,

.*.△OCHsAOEC,

OCOH

OEOC

5_4

OF-5

25

・•・OE=—,

4

♦•"E=04+0E=5+与*

.-.AOCE〜△FGE.

.OC_FG_4

—=—=一,

OEFE5

设FG=4k,则FE=5k,

:.EG=yjEF2—FG2=3k,

・・•DH1AB,FG1AB,

・•.DH//FG.

tAH_DH

,•茄一~FGf

.93

竽+33=市

解得：k=*

FG=4k=5.

AEF的面积=^xAEFG=第.

2o

2.解：【初步尝试】如图1,直线OP即为所求;

【问题联想】如图2,三角形MNP即为所求；

【问题再解】如图3中，曲即为所求.

E

3.(1)证明：连接0E,

•・,/C是。0的切线，

・・・0E1AC,

・•・(OEC=90°,

・・•OF1BC,

:.Z.OFC=90°,

・•・Z.OFC=zC=Z-OEC=90°,

四边形OECF是矩形，

・•.OF=EC；

(2)解：vBD=2,

・♦・OE=1,

v乙4=30°,OE1AC,

AO—2OE=2,

・,.AD=AO-OD=2-1=1.

4.解：(1)①如图2,连接C。，并延长C。交。。于点D,

Z.A=Z.ACO,(B=Z.BCO,

vZ.AOD=Z-A+Z.ACO—2/.ACO乙BOD=Z-B4-Z-BCO=2乙BCO,

:.Z-AOB=Z-AOD+乙BOD=2/.AC0+2乙BCO=2Z-ACB,

•••AACB=；440B；

如图3,连接C。，并延长C。交o。于点D,

:.Z-A=Z.ACO,Z-B=Z-BCOf

,:Z.AOD=Z-A+Z-ACO=2NAC。,乙BOD=Z-B+乙BCO=2(BCO,

・・・乙

AOB=AAOD-Z.BOD=2^ACO-2^BCO=2^ACBf

・・・Z.ACB=R10B；

(2)如图4,连接04OB,OP,

・・・Z.AOB=2zC=120°,

vPA,尸8分别与。。相切于点4B,

・•・Z.OAP=Z.OBP=90°,Z.APO=Z.BPO=^APB=1(180°-120°)=30°,

・・・OA=2,

・•・OP=20A=4,

:.PA=^/42-22=2^/3.

5.解：（1）连接。力,

・・・AB是。。的切线，点4为切点，

・・•乙BAO=90°,

又•:AB=AC,OA=OC,

・,•乙B=Z-ACB=Z-OACy

设乙4cB=x。，则在△ABC中，

x04-x°4-x°+90°=180°,

解得：x=30,

・•・乙4cB的度数为30。；

(2)v乙ACB=^OAC=30°,

・・.Z,AOC=120°,

.一12°加x3_

180

6.解：(1)・.・五边形48CDE是正五边形,

/.ABC=白_2)：1802=108。,

即乙4BC=108°；

(2)Z\AMN是正三角形，

理由：连接ON,NF,

由题意可得：FN=ON=OF,

FON是等边三角形，

•••乙NFA=60°,

NMA=60°,

同理可得：Z.ANM=60°,

•••AMAN=60°,

MAN是正三角形；

(3)1•-4AMN=60°,

4AON=120°,

•••Z.AOD=^-x2=144°,

•••乙NOD=4AOD-乙AON=144°-120°=24°,

•••360°+24。=15,

二ri的值是15.

7.(1)证明：如图，连接。F,

又•：。尸是半径，

GF是。。的切线；

(2)解：如图，连接。E,过点。作。“1。尸于”,

•••BG=1,BF=3,Z.BGF=90°,

FG=ylBF2-BG2=79^1=2中,

■.•O。与AB相切于点E,

・••OE1AB,

又VAB1GF,OF1GF,

•••四边形GFOE是矩形，

OE=GF=2*,

：.OF=OC=2典

又•••OH1CF,

CH=FH,

•：cosC=cosB=—=—,

OCBF

1CH

"3=2^'

CH=延，

3

CF=延.

3

8.证明：(1)VADIIBC.DF//AB,

・•・四边形48C。是平行四边形，

：■乙B—乙D,

vZ.AFC=Z.B,Z-ACF=zD,

:.Z-AFC=乙ACF,

・•.AC=AF.

(2)连接/。，CO,

由(1)得4AFC=Z.ACF,

1800-30°__

•・•Z.AFC=——-——=7o5°,

・・•Z.AOC=2Z.AFC=150°,

..元的长,=15。：¥3=早

9.解：(1);OA=1=。。，CO1AB,ND=30°,

OD=3oc=B

1­.AD=OD-OA=避一1；

(2)vOC与。。相切，

OC1CD,

即〃CD+^OCA=90°,

•:OA=OC,

：•

Z-OCA=Z-OACt

vZ.ACD=Z-ACE,

・•・Z.OAC+Z.ACE=90°,

・・・乙AEC=90°,

BPCF1AB.

10.(1)解：连结04如图:

v乙ACB=20°,

・・•Z,AOD=40°,

.*77^_40xyrx6_4TT

•・A"-—180—-T；

(2)证明：VOA=ODf

・•・Z.OAD=Z.ODA,

vAB切OO于点A,

:.OAA.AB,

v乙B=90°,

・•・OA//BC,

:.Z.OAD=Z.ADB,

:.Z.ADB=Z.ODA,

・•・4D平分乙BDO.

11.解：(1)vOC1AB,

・••AD=BD；

(2)设主桥拱半径为R,由题意可知4B=26,CD=5,

BD-^AB=13>

OD=OC-CD=R-5,

•••Z.OBD=90°,

•••OD2+BD2=OB2,

•••(/?-5)2+132=/?2,

解得r=19.4«19,

答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m.

12.(1)证明：如图1,连接BD,

・・・AB是直径,

:.Z.ADB=CBDC=90°,

vAB=AC,

・••Z.ABC—Z-ACB9

vAB//CF,

・••(ABC=cFCB,

・••Z.ACB=cFCB,

在△DCB和△尸CB中，

(CD=CF

\^DCB=^FCB,

ICB=CB

・•・△OCB三△尸CB(S4S),

・•・乙F=LCDB=90°,

vAB//CF,

・・・乙ABF+乙/=180°,

・・・(ABF=90°,即481BF,

•・,4B为直径，

・・・B尸是。。的切线；

(2)解：如图2,连接BD、OE交于点M,连接4E,

图2

•••AB是直径，

AE1BC,AD1BD,

••ABAC=45°,AD=4,

•••△ABD是等腰直角三角形，

2222

BD=AD=4,AB=^AD+BD=%,4+4=4y/2,

•••OA=OB=2«2,

OE是△4DB的中位线，

OE//AD,

4BOE=/.BAC=45°,OE1BD,器=空=:，

BDAB2

：.BM=~BD=1x4=2,

S阴影部分=S扇形BOE-S^BOE

—7T—2、/2.

13.解：(1)△力BC是等腰直角三角形，证明过程如下：

•••4C为。。的直径，

•••AADC=乙ABC=90°,

11,Z.ADB=Z.CDB,

■■AB=BC，

:.AB—BC,

又・.•乙4BC=90°,

ABC是等腰直角三角形.

(2)在Rt△ABC中，AB=BC=*,

:.AC=2,

在Rt△ADC中，AD=1,AC=2,

:.CD=y/3.

即co的长为：B

14.解：为等腰直角三角形.理由如下：

・・•AE平分ZBAC,BE平分乙ABC,

・♦・乙BAE=Z-CAD=Z.CBD,Z.ABE=Z.EBC.

vZ-BED=Z.BAE4-Z-ABE,乙DBE=Z-DBC4-Z-CBE,

：•(BED=乙DBE.

：•BD=ED.

•••4B为直径,

Z.ADB=90°

：.△BDE是等腰直角三角形.

另解：计算乙4EB=135。也可以得证.

(2)解：连接OC、CD、OD,。。交BC于点F.

Z.DBC=Z.CAD=Z.BAD=Z.BCD.

:.BD=DC.

•••OB=OC.

OD垂直平分8c.

vABOE是等腰直角三角形，BE=25,

・•.BD=2^/5.

vAB=10,

・•・OB=OD=5.

设。尸=t,贝ijDF=5-t.

在Rt△BOF和RtAB。尸中,52-t2=(2y/5)2-(5-t)2,

解得t=3,

ABF=4.

BC=8.

另解：分别延长AC,BO相交于点G则△MBG为等腰三角形，先计算4G=10,BG=4

gAD=4出，再根据面积相等求得EC.

15.解：(1)直线AC与。0相切，理由如下：

•••/.ABC=45°,AB=AC,

/.ABC=NC=45°,

•••ABAC=180°-2X45°=90°,

BA1AC,

•；AB是。。的直径，

•・.直线4c与。。相切；

(2)连接。。，AD,

・・•AB是。。的直径,

・••乙408=90°,

•・•Z.ABD=45°,

・•・△4BD是等腰直角三角形，Z.A0D=90°,

vAO=OB,AB=4,

11

:,S△ABD=①,ABOD=-x4x2=4,

・•・图中阴影部分的面积=扇形0AD

=1x4x4-1x4-22^

8—2—71

=6—7T.

16＞：(I)v为。。的直径,

乙ACB=90°,

；C为前的中点,

AC—BC,

・•・乙CAB=/LCBA=45°,

・•・AC=AB-cos/.CAB=3、泛

(!!)•••DF是。。的切线,

•••OD1DF,

・・・OD1BC,乙FCB=90°,

四边形FCED为矩形,

•••FD=EC,

在