2022年北京市第二模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.菱形A3CQ中，对角线AC、80相交于点O,//为40边中点，菱形A8C。的周长为28,则。//的长等于（）

A.3.5B.4C.7D.14

2.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（）

输入烟值

y二（M3）|图黑"度）

\1/

输出y的值

A.9B.7C.-9D.-7

3.下面的图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有（)

)

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如果m的倒数是-1,那么n?。居等于（）

A.1B.-1C.2018D.-2018

5.我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130000000kg的煤所产生的能量.把130000000kg

用科学记数法可表示为（）

A.13xl07kgB.0.13xl08kgC.1.3xl07kg[>.1.3x1（）8kg

6.如图，在AABC中，Zfi=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为O.如果CE=8,则ED的长为（）

A

4

A.2B.3C.4D.6

7.某公园里鲜花的摆放如图所示，第①个图形中有3盆鲜花,第②个图形中有6盆鲜花，第③个图形中有11盆鲜

花，……，按此规律，则第⑦个图形中的鲜花盆数为。

••••

①②③④卜

A.37B.38C.50D.51

8.△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为（）

A

BC

A石n石1

A.——B・-2-----C.-D.2

552

9.在数轴上标注了四段范围，如图，则表示花的点落在（）

20171S29）

A.段①B.段②C.段③D.段④

10.下列四个命题中，真命题是（）

A.相等的圆心角所对的两条弦相等

B.圆既是中心对称图形也是轴对称图形

C.平分弦的直径一定垂直于这条弦

D.相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.甲、乙两人5次射击命中的环数分别为，甲：7,9,8,6,10；乙：7,8,9,8,8；漏=%乙=8,则这两人5

次射击命中的环数的方差S甲2S”（填或

21

12.分式方程一的解是.

x-54

13.如图，要使AABCsaACD,需补充的条件是.（只要写出一种）

14.如图，在RtAAOB中，ZAOB=90°,OA=3,OB=2,将RtAAOB绕点O顺时针旋转90。后得RtAFOE,将

线段EF绕点E逆时针旋转90。后得线段ED,分别以O,E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,

则图中阴影部分面积是

15.如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线产a(x-3『+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且

AB〃x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为

16.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在格点上.

(I)AC的长等于；

(n)在线段AC上有一点D,满足AB2=AD・AC,请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点D,并简要说

明点D的位置是如何找到的(不要求证明).

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)为提高节水意识，小申随机统计了自己家7天的用水量，并分析了第3天的用水情况，将得到的数据进行

整理后，绘制成如图所示的统计图.(单位：升)

(1)求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数；

(2)求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比;

（3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的建议后小申家一个月（按

30天计算）的节约用水量.

18.（8分）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N,现在位于它的对岸设定两个观测点A、B.已知AB〃MN,在

A点测得NMAB=60。，在B点测得NMBA=45。，AB=600米.

（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）

（2）在B点又测得NNBA=53。，求MN的长.（结果精确到1米）

（参考数据：73-1.732,sin53°~0.8,cos53°-0.6,tan53°*1.33,cot53°~0.75）

19.（8分）已知关于x的一元二次方程3x2-6x+l-k=0有实数根，k为负整数.求k的值；如果这个方程有两个整

数根，求出它的根.

20.（8分）解方程：三+3=1.

U-」

21.（8分）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC,水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点,

且ADJ_BC.

（1）求sinB的值；

（2）现需要加装支架DE、EF,其中点E在AB上，BE=2AE,且EF_LBC,垂足为点F,求支架DE的长.

BFDC

22.（10分）如图，在△ABC中，ZABC=90°.

（1）作NACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心，OB的长为半径作。O；（要求：不写做法，保留作图痕

迹）

（2）判断（1）中AC与OO的位置关系，直接写出结果.

23.（12分）综合与探究:

如图，已知在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3,-1)在二次函数

y=云+之的图像上.

32

(1)求二次函数的表达式；

(2)求点A,B的坐标；

(3)把4ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求小ABC扫过区域的面积.

24.如图，在等腰△ABC中，AB=BC,以AB为直径的。O与AC相交于点D,过点D作DE_LBC交AB延长线于

(2)若BE=4,NE=30。，求由80、线段BE和线段DE所围成图形(阴影部分)的面积,

(3)若。O的半径r=5,sinA=日，求线段EF的长.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、A

【解析】

根据菱形的四条边都相等求出45,菱形的对角线互相平分可得05=00,然后判断出。”是△A5O的中位线，再根据

三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得0H=-AB.

2

【详解】

,菱形45C。的周长为28,.,.45=28+4=7,OB=OD.

：//为4。边中点，是△450的中位线，：.OH^-AB=-x7=3A.

22

【点睛】

本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是

解题的关键.

2、C

【解析】

先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-l代入y=2x+b可得答案.

【详解】

■:当x=7时,y=6-7=-L

当x=4时,y=2x4+b=-l,

解得：b=-9,

故选C.

【点睛】

本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法.

3、B

【解析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各个图形进行逐一分析即可.

【详解】

解：第一个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；

第二个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；

第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；

第四个图形即是轴对称图形，又是中心对称图形；

...既是轴对称图形，又是中心对称图形的有两个，

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中

心对称图形是要寻找对称中心，旋转180。后两部分重合.

4、A

【解析】

因为两个数相乘之积为1,则这两个数互为倒数，如果m的倒数是-1,则m=-l,

然后再代入加计算即可.

【详解】

因为m的倒数是-1,

所以m=-l,

所以加刈8=(-D2。18=1,故选A.

【点睛】

本题主要考查倒数的概念和乘方运算，解决本题的关键是要熟练掌握倒数的概念和乘方运算法则.

5、D

【解析】

试题分析：科学计数法是指：ax10",且n为原数的整数位数减一.

6、C

【解析】

先利用垂直平分线的性质证明BE=CE=8,再在RtABED中利用30。角的性质即可求解ED.

【详解】

解：因为DE垂直平分8C,

所以3E=CE=8,

在RSBDE中,々=30。，

贝||ED=；BE=；x8=4；

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30。直角三角形的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相

7、D

【解析】

试题解析：

第①个图形中有3盆鲜花，

第②个图形中有3+3=6盆鲜花，

第③个图形中有3+3+5=11盆鲜花,

第"个图形中的鲜花盆数为3+3+5+7+…+(2〃+1)=〃2+2,

则第⑥个图形中的鲜花盆数为6+2=38.

故选C.

8、A

【解析】

解：在直角△A3。中，BD=2,AD=4,则AB^BD?+W=也+4?=2石,

nBD2

则cos5=-----=—■==

AB2755

故选A.

9、C

【解析】

试题分析：1.2'=2.32；1.3j3.19；1.5=3.44；1.9'=4.5.

V3.44<4<4.5,Al.5<4<1.91,：.l.9,

所以血应在③段上.

故选C

考点：实数与数轴的关系

10、B

【解析】

试题解析：A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故A项错误；

B.圆既是中心对称图形也是轴对称图形，正确；

C.平分弦(不是直径)的直径一定垂直于这条弦，故C选项错误；

D.外切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和，故选项D错误.

故选B.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、＞

【解析】

分别根据方差公式计算出甲、乙两人的方差，再比较大小.

【详解】

一一111

,.』=尤乙=8,/.S^=-[(7-8)2+(9-8)2+(8-8)2+(6-8)2+(10-8)2]=-(1+1+0+4+4)=2,S岸-[(7

1

888988882]=

5-

故答案为：＞.

【点睛】

本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动

越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越

稳定.

12、x=13

【解析】

解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

【详解】

21

x-54'

去分母，可得x-5=8,

解得x=13,

经检验：x=13是原方程的解.

【点睛】

本题主要考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应检验.

13、NACD=NB或NADC=/ACB或AD：AC=AC：AB

试题分析：VZDAC=ZCAB

.,.当NACD=NB或NADC=NACB或AD：AC=AC：AB时,△ABCsaACD.故答案为NACD=NB或NADC=NACB

或AD：AC=AC：AB.

考点：1.相似三角形的判定；2.开放型.

14、8-7T

【解析】

分析：

如下图，过点D作DH_LAE于点H,由此可得NDHE=/AOB=90。，由旋转的性质易得DE=EF=AB,OE=BO=2,

OF=AO=3,ZDEF=ZFEO+ZDEH=90°,NABO=NFEO,结合NABO+NBAO=90。可得NBAO=NDEH,从而可证

得4DEHgABAO,即可得到DH=BO=2,再由勾股定理求得AB的长，即可由S阴影=SS®AOF+SAOEF+SAADE-S版影DEF

即可求得阴影部分的面积.

详解：

如下图，过点D作DH_LAE于点H,

二ZDHE=ZAOB=90°,

VOA=3,OB=2,

二AB=J32+2?=V13»

由旋转的性质结合已知条件易得：DE=EF=AB=V13，OE=BO=2,OF=AO=3,ZDEF=ZFEO+ZDEH=90°,

ZABO=ZFEO,

又TZABO+ZBAO=90°,

:.ZBAO=ZDEH,

/.△DEH^ABAO,

.*.DH=BO=2,

SBUB=Sja®AOF+SAOEF+SAADE-S南彩DEF

_Wx3290%〉(9)2

4—x3x2H—x5x2一

36022360

=8-7T.

故答案为：S—7T.

F

点睛：作出如图所示的辅助线，利用旋转的性质证得△DEH且△BAO,由此得到DH=BO=2,从而将阴影部分的面积

转化为：S阴影=Sa®AOF+SAOEF+SAADE-S尉形DEF来计算是解答本题的关键.

15、18,

【解析】

根据二次函数的性质，抛物线y=a(x-3)2+k的对称轴为x=3„

TA是抛物线y=a(x-3y+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB〃x轴。

:.A,B关于x=3对称。/.AB=6«

又•••△ABC是等边三角形，.•・以AB为边的等边三角形ABC的周长为6x3=18。

16、5见解析.

【解析】

⑴由勾股定理即可求解；(2)寻找格点M和N,构建与△ABC全等的△AMN,易证MN1_AC,从而得到MN与AC

的交点即为所求D点.

【详解】

(l)AC=V42+32=5；

⑵如图，连接格点M和N,由图可知：

AB=AM=4,

BC=AN=J12+42=g,

AC=MN=j4?+32=5,

/.△ABC^AMAN,

.,.ZAMN=ZBAC,

:.ZMAD+ZCAB=ZMAD+ZAMN=90°,

AMN±AC,

易解得AMAN以MN为底时的高为£,

VAB2=AD»AC,

.,.AD=AB2VAC=—，

5

综上可知，MN与AC的交点即为所求D点.

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中定点的问题，理解第2问中构造全等三角形从而确定D点的思路.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)平均数为800升，中位数为800升；(2)12.5%；(3)小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到

冲厕所，采用以上建议，一个月估计可以节约用水3000升.

【解析】

试题分析：(1)根据平均数和中位数的定义求解可得；

(2)用洗衣服的水量除以第3天的用水总量即可得；

(3)根据条形图给出合理建议均可，如：将洗衣服的水留到冲厕所.

试题解析：解：(1)这7天内小申家每天用水量的平均数为(815+780+800+785+790+825+805)4-7=800(升)，

将这7天的用水量从小到大重新排列为：780、785、790、800、805、815、825,

二用水量的中位数为800升；

,、100

(2)——xl00%=12.5%.

800

答：第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比为12.5%；

(3)小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所，采用以上建议，每天可节约用水100升，一个月估

计可以节约用水100x30=3000升.

18、⑴(900—300石)乃；⑵95m.

【解析】

(1)过点M作MD_LAB于点D,易求AD的长，再由BD=MD可得BD的长，即M到AB的距离；

(2)过点N作NELAB于点E,易证四边形MDEN为平行四边形，所以ME的长可求出，再根据MN=AB-AD-BE

计算即可.

【详解】

解：(1)过点M作MD_LAB于点D,

VMD1AB,

/.ZMDA=ZMDB=90°,

VZMAB=60°,ZMBA=45°,

在RtAADM中，------=tanA=>/3；

AD

在RtABDM中，=tanZMBD=1,

BD

，BD=MD=G，

VAB=600m,

.,.AD+BD=600m,

AD+yf^AD=600??i，

.".AD=(300V3-300)m,

BD=MD=(900-3006)万，

.,.点M到AB的距离(900-300G)乃.

(2)过点N作NE±AB于点E,

VMD±AB,NE_LAB,

，MD〃NE,

VAB/7MN,

，四边形MDEN为平行四边形，

NE=MD=(900-300百)万，MN=DE,

VZNBA=53°,

BE

：.在RtANEB中，一=cot53"a0.75，

.'.BEa(675—225百);rm,

AMN=AB-AD-BE«225-7543»95m.

MN

【点睛】

考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题，根据题目已知特点选用适当

锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案是解题的关键.

19、(2)k=-2,-2.(2)方程的根为X2=X2=2.

【解析】

(2)根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的值;

(2)将k的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的k的值.

【详解】

解：(2)根据题意，得4=(-6)2-4x3(2-k)>0,

解得k>-2.

为负整数，

k=-2,-2.

(2)当k=-2时，不符合题意，舍去；

当k=-2时，符合题意，此时方程的根为X2=X2=2.

【点睛】

本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a#))的根与△=b2-4ac有如下关系：(2)A>0时，方程有两个

不相等的实数根；(2)△=()时，方程有两个相等的实数根；(3)△V0时，方程没有实数根.也考查了一元二次方程

的解法.

20、-3

【解析】

试题分析：解得x=-3

经检验:x=-3是原方程的根.

二原方程的根是x=-3

考点：解一元一次方程

点评：在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，要熟练掌握.

21、(1)sinB=^叵；(2)DE=1.

13

【解析】

An

(1)在RtAABD中，利用勾股定理求出AB,再根据sinB=—计算即可；

AB

EFBFBE2

(2)由EF〃AD,BE=2AE,可得，一=——=——=一,求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；

ADBDBA3

【详解】

(1)在RSABD中，VBD=DC=9,AD=6,

二AB=BDT+AD2\J92+62=3V13，:.sinB=_=.

EFBFBE2EFBF2

(2)VEF#AD,BE=2AE,:.——=——=—=一，:.—=—=一,，EF=4,BF=6,

ADBDBA3693

222

.♦.DF=3,在RtADEF中，DE=£p+[)p+3=1.

考点：1.解直角三角形的应用；2.平行线分线段成比例定理.

22、(1)见解析(2)相切

【解析】

(1)首先利用角平分线的作法得出CO,进而以点O为圆心，OB为半径作OO即

可；

(2)利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可.

【详解】

(1)如图所示：

(2)相切；过O点作OD_LAC于D点,

VCO平分NACB,

.,.OB=OD,BPd=r,

.•.OO与直线AC相切，

【点睛】

此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系,

正确利用角平分线的性质求出d=r是解题关键.

23、(1)y='—x24—XT—；(2)A(l,0),5(0,-2)；(3)3.

3622

【解析】

(1)将点。(3,-1)代入二次函数解析式即可;

(2)过点C作CDLx轴，证明4840三4/1。。即可得到。4=8=1,。5=4)=2即可得出点A,B的坐标;

]i3

(3)设点E的坐标为风相，一2)(加＞0),解方程-§/+%根+5=-2得出四边形河砂为平行四边形，求出AC,

AB的值，通过AABC扫过区域的面积=S四边形ABEF+S.C代入计算即可.

【详解】

解：(1)...点。(3,-1)在二次函数的图象上，

.'.--X32+3ZJ+-=-1.

32

解方程，得匕=,

6

1913

.,.二次函数的表达式为y=—x+-x-\—.

362

(2)如图1,过点C作CZ)_Lx轴，垂足为O.

ZCDA=90°

:.ZCAD+ZACD=90°.

ABAC=90°,

:.ZBAO+ZCAD=90°

:.ZBAO=ZACD.

在RtMO和RtAACD中，

ZBOA=ZADC=90°

V<ZBAO=ZACD,

AB=CA

:.£BAO=iACD.

•.•点C的坐标为(3,-1),

.-.OA=CD=\,OB=AD=?>-\=2.

：.A(l,0),B(0,-2).

(3)如图2,把AABC沿x轴正方向平移,

当点B落在抛物线上点E处时，设点E的坐标为E(m,-2)(m>0).

1137

解方程一；根2+:加+彳=-2得：加=-