2022届重庆市高三下学期调研检测（八）数学试题（解析版）

2022届重庆市第八中学高三下学期调研检测(八)数学试题

一、单选题

1.己知A={xwZ|x2<4},B={x|xeN|x>0},则4口8=()

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.0

【答案】A

【分析】求得集合人={-1,0,1},根据集合交集的运算，即可求解.

【详解】由题意，集合A={xeZ|x2<4}={-I,0,l}且8={x|xeN|x>0},

根据集合交集的运算，可得AcB={l}.

故选：A.

2.若复数z=(l+2i)(2-i),则|z|=()

A.25B.5C.2垂)D.亚

【答案】B

【分析】首先化简复数z,再结合复数模的公式，即可计算.

【详解】因为z=(l+2i)(2-i)=4+3i,所以|Z|="2+32=5.

故选：B

3./(x)=ln(d-3x+2)的递增区间是()

C

A.(9/)B3-悖+°°]D.(2,+oo)

【答案】D

【分析】首先求出函数的定义域，然后利用二次函数的性质研究g(x)=X2-3x+2的单

调性，结合函数y=lnx的单调性即可得结果.

【详解】解：令f_3x+2>0,解得x<-l或x>2,

在(YO,-1)U(2,+OO)上，8。)=--3》+2的单调增区间为(2,+00),

因为函数y=lnx在定义域内单调递增，

所以/(x)=ln(d-3X+2)的递增区间是(2,内)，

故选：D.

【点睛】本题考查复合函数的单调性，注意：一定要先求函数的定义域.

4.如图，将钢琴上的12个键依次记为外,%，…，设喇12.若%-/=3且

j-i=4,则%,%•,/为原位大三和弦;若欠7=4且j-i=3,则称%,%,做为原位

小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之差为（）

【答案】C

【分析】按照题目中的定义依次列举出来，计算差即可.

【详解】若1=3且/-i=4,则%,叫，处为原位大三和弦，

即有i=l,j=5,z=8；i=2,j=6,%=9；i=3,j=7,k=\0；i=4,j=8,上=11；

i=5,j=9,k=l2,共5个；

若*7=4且j-i=3,则4,%,%为原位小三和弦，

可得i=l,J=4,k=8；i-2,7=5,k=9；i=3,j=6,%=10；i—4,j=7,k=ll；

j=5,J=8,k=12,共5个，

个数差为0.

故选：C.

5.已知一个容量为〃的样本数据的平均值为90,方差为10,若去掉其中5个为

90的样本数据，剩余样本数据的平均值为"方差为S2,则下列结论正确的是（）

A.捻=90，?>10B.还90，52=10

C.x>90>?=10D.[=90，?<10

【答案】A

【分析】根据题意，其平均值不变，E（X,-90）2=^（X,.-90）2,再根据方差公式即可

/=!r=l

得答案.

【详解】由题意可知，”5*10）个样本数据之和为90〃，

去掉5个相同的样本数据90后，（〃-5）个样本数据之和为90（〃-5）,

所以。=90（〃-5）=90,排除选项c；

n-5

因为样本数据中有5个相同的数据90,且5（90-90）2=0,

不妨设去掉的5个相同的样本数据90都排在最后,

则为（%—90）2=£（%-90）2,

i=li=l

1n1n-5

所以一Z（x，-90）-<「Za一90）-,即S2>10.

故选：A

6.已知|）卜|而|=2,|滞卜1,则|丽+3丽卜（）

A.2B.4C.V10D.yjl5

【答案】B

【分析】由河=|丽-网=2求得丽.丽，再由佟+3画=，俘1+6..丽+9画。

即可求得答案.

［详解］..［而卜|。豆一丽卜2,

胸-明2=|函-2函•砺+画2=5-2OAOB=4,则方.丽=g.

何+3词2=|同+6砺.而+9画,=4+6xg+9=16,故网+3叫=4.

故选：B.

7.已知函数〃x）=sinWx+e）（0>O,O</<方）的图象过点P（0,g）,现将y=/.（x）的

图象向左平移g个单位长度得到的函数图象也过点尸，则（）

A.。的最小值为2B.。的最小值为6

C.g的最大值为2D.3的最大值为6

【答案】A

【分析】根据f（x）图象平移前后都过点户求得”的表达式，进而确定正确答案.

【详解】依题意/（0）=$山3=；,0<e苦，9=看,

“x）=sin（ox+意向左平移3个单位长度得到:

.(兀兀

=sins+一①+一

I36

8（°）=可枭+{|4'

所以守+台23S或枭+/2软+也

即69=6&］或a>+=6k2+2,其中&,&wZ,

由于0>0,所以①的最小值为2.

故选：A

8.在正四面体ABCD中，P,Q分别是棱AB,CD的中点，E,F分别是直线AB,

CD上的动点，M是EF的中点，则能使点M的轨迹是圆的条件是（）

A.PE+QF=2B.PE・QF=2

C.PE=2QFD.PE2+QF2=2

【答案】D

【分析】先由对称性找到PQ、EF的中点在中截面GHLK上运动，利用向量的加减运

算，得到丽=g（而+炉），结合正四面体的特征将等式平方得到4两2=瓶2+炉2,

由圆的定义得到结论.

【详解】如图：取BC、BD、AC、AD的中点为G、H、K、L,因为P、Q是定点，所

以PQ的中点0为定点，由对称性可知，PQ、EF的中点在中截面GHLK上运动，

0M=OP+PE+EM=0Q+QF+FMOM=-^PE+QF^,

又在正四面体中，对棱垂直，，PE，QF,

.♦.恒珂=—

4OM2=\PE+QF^=PE2+QF2

若点M的轨迹是以0为圆心的圆，则丽2+炉2为定值，

只有D符合题意，故选D.

【点睛】本题考查了向量的三角形法则的应用，考查了曲线的轨迹的求法，属于较难题

型.

二、多选题

9.在同一直角坐标系中，函数丫=优与y=log“（x-2）的图象可能是（）

【分析】分a＞1和0＜。＜1两种情况讨论两个函数的单调性进行判断.

【详解】当。＞1时，y="在(F,”)单调递增且其图象恒过点(0,1),

y=log„(X-2)在(2,—)单调递增且其图象恒过点(3,0),

则选项B符合要求；

当0＜。＜1时，y=优在(7,”)单调递减且其图象恒过点(0,1),

y=log“(x-2)在(2,”)单调递减且其图象恒过点(3,0),

则选项D符合要求：

综上所述，选项B、D符合要求.

故选：BD.

10.设｛4｝是各项均为正数的数列，以4,,。““为直角边长的直角三角形面积记为

S”(〃eN*),则｛S,,｝为等比数列的充分条件是()

A.｛4｝是等比数列

B.。1,/,,・・,。2〃”・・或。2，。4「一，。2”，，是等比数列

C.,一,。2〃-1，…和。2，。4,…，。2“，…均是等比数列

D.。1,。3「一，。2〃-1「一和。2'〃4「-'。2"「，均是等比数列，且公比相同

【答案】AD

【分析】利用定义把｛S〃｝为等比数列的充分条件，等价为贤为常数，再验证各个选

项即可.

【详解】｛S“｝为等比数列等价于要为常数，也就是等价于鬻性，即今&为常数.

因为｛%｝是等比数列，故=d(q为｛a,,｝的公比)为常数，故A满足.

取。2〃-1=2〃-1,a2n=2",此时满足a2M4,…，。2〃，…是等比数歹U，4M3,…，/5…不是等

比数列，警1不是常数，B错误.

a2n-l

取〃2“T=3"，〃2"=2",此时满足用，〃4,…，生〃，…是等比数列，4,-1,…是等比数

列，咏=3,包y=2,两者不相等，C错误.

a2n

D选项根据条件可得%1为常数，所以D正确.

黑

故选：AD

11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对

称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的

焦点.已知抛物线C:y2=2px(p>0),。为坐标原点，一条平行于x轴的光线4从点

”(5,2)射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线4射出，经

过点N.下列说法正确的是()

A.若。=2,贝iJ|4B|=4

B.若p=2,则MB平分ZA5N

C.若〃=4,则|A8|=8

D.若P=4,延长A。交直线x=-2于点£),则。，B,N三点共线

【答案】ABD

［分析］根据P求出焦点为F、A点坐标，可得直线AF的方程与抛物线方程联立得B点

坐标，求出|AB|可判断AC；

p=2时可得|A"HAB|,ZAMB=ZABM.由=可判断B；

求出O点坐标可判断D.

【详解】若P=2,则抛物线C：V=4x,A(l,2),C的焦点为尸(1,0),直线AF的方程

为：x=l,可得8(1,-2),\AB\=4,选项A正确:

〃=2时，因为|AM|=5-1=4=|AB|,所以=

又AMHBN,所以NAMB=NMBN,所以MB平分ZABN,选项B正确；

若P=4,则抛物线C:/=8x,A(1,2),C的焦点为尸(2,0),直线AF的方程为

y=-g4(x-2),联立抛物线方程求解可得3(8,-8),所以|明=25§,选项C不正确；

Jz

若P=4,则抛物线C：V=8x,4；,2),延长AO交直线x=-2于点。，则。(-2,-8),

由C选项可知3(8,-8),所以。，B,N三点共线，故D正确.

12.已知4，*2，退为函数/(x)=a*—*2的零点，西<马<三，下列结论中正确

的是()

A.x,>—1

B.x,+x2<0

C.若2々=占+与，则巴•=&+1

*2

/2、

D.a的取值范围是

\7

【答案】ACD

【分析】对于A,只要利用函数零点的判断定理即可;

对于B,由于有了A的结论，只要判断々的范围即可;

对于C,利用函数表达式，将所给的条件带入，联立方程即可；

对于D,需要将原函数转换成容易求导的解析式，再构造函数即可.

[W1>1,/(-1)=«'-1=^-1<0,/(0)=«°-0=1>0,

,-.-1<%!<0,故A正确；

当04x41时，l<a'<a,0<x2<1,f(x)必无零点，故占>1,

+%2>0,故B错误；

ax'=x-卜1=2log,,(-%)

当2々=%+天时，即,*=考,两边取对数得，x2=2\ogax2,

[^=21ogax3

4log„=2log„(-x,)+2log,,,x；=-xtx3,

联立方程*一解得=0,由于W>0,与>0,

2X2=%+X3

差■n^+l,故C正确；

九2

考虑了(工)在第一象限有两个零点：即方程优二/有两个不同的解,

两边取自然对数得xlna=2\nx有两个不同的解,

(2

1Inax---

设函数g(x)=xlna-21nx,g(x)=lnfl_1

x

2

则x=—时,g(x)=o,当x>Xo时,g(x)>o,

Ina

2

当X<X<>时，g(%)<0,所以gmin

ln〃

要使得g(x)有两个零点，则必须g(x0)<0,即In>1,

解得，故D正确;

故选：ACD.

三、填空题

13.函数/(x)=e*+sinx在点(0,1)处的切线方程为.

【答案】y=2x+l

【解析】根据函数,f(x)="+sinx,求导，然后求得了'(()),/(()),写出切线方程.

【详解】因为函数f(x)=e*+sinx,

所以,f'(x)=ex+cosx>

所以尸(0)=2,〃。)=1,

所以函数在点(0,1)处的切线方程为：y-l=2x,即y=2x+l,

故答案为：y=2%+1

【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.

14.甲、乙、丙、丁四人分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去,

且甲、乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数有.

【答案】30

【分析】先计算4人中有两名分在一个地方的种数，和其余二个看作三个元素进行全排

列，再排除甲乙被分到同一个地方的情况即可.

【详解】先计算4人中有两名分在一个地方的种数，可从4个中选2个，和其余的2个

看作3个元素的全排列共有=36种，

再排除甲乙被分在同一地方的情况共有用=6种，

,不同的安排方法种数是：36-6=30.

故答案为：30.

15.为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取左仅eN*)包

食品，并测量其质量(单位：g).根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食

品质量服从正态分布NJ,。?).假设生产状态正常，记J表示每天抽取的女包食品中其质

量在(M-3b,〃+3b)之外的包数，若<的数学期望E©>0.05,则&的最小值为.

附：若随机变量X服从正态分布则尸(〃-3cr<X<〃+3b)*0.9973.

【答案】19

【分析】根据正态分布的性质求出在(〃-3G〃+3CT)之外的概率，从而得到

J〜3(Z,0.(X)27),根据二项分布的期望公式得到不等式，解得即可：

【详解】解：依题意P(〃-3b<X<〃+3b)a0.9973,所以在(〃一3b,〃+3b)之外的概

率尸=1—0.9973=0.0027,则4~8亿0.0027),贝ijE©=0.0027%,因为EC)>0.05,

所以0.0027%>0.05,解得k>等=18.52,因为左©N”,所以Z的最小值为19；

27

故答案为：19

16.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的

剖面图形如图所示，其中扇形Q4B的半径为10,ZPBA=ZQAB^60°,AQ=QP=PB,

则OP的最大值为.

【答案】5+5公

【分析】作。MJ.QP交QP于M,交AB于C,且OCLA3,设NAOC=8,设

AQ=QP=BP=x,作QELA8交AB于E,抬，43交AB于尸，利用直角三角形中三

角函数定义把x用。表示，最终把OP表示为。的函数，再利用二倍角公式，平方关系

变形，结合正弦函数性质得最大值.

【详解】解：作。MJ.QP交QP于M,交A8于C,且0CLA5,设NAOC=，

则A8=20sin，，OC=l()cos6»,

设A0=QP=8P=x,作。交A8于E,PFLAB交AB于F,

•.•NP8A=NQA8=60。，AE=BF=-x,CM=PF=—x,

22

EF=QP=x,:.AB^2x,则AB=20sin6=2x,即x=10sin。，

OM=OC+CM=10cos6>+且x=10cos6+5百sin®,

2

.-.OP2=OM2+MP2=(lOcos0+5>/3sin6»)2+(5sin6>)2

=lOOcos*+75sin26»+1006sin9cos6+25sin%=100+508sin2。.

•.•sin26>e[-l,1],.,.当sin26=l,即，=二时，OP,取最大值100+5O>/5，

4

故10Hg=5+5石.

故答案为：5+5^3.

四、解答题

17.已知a,"c分别为AABC内角A,8,C的对边，且“sinB-V5bcosA=0.

（1）求角A;

（2）若。=至，b=3,求AABC的面积.

【答案】（1）A=|；（2）36

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合sin8#0,利用同角三角函数基本关系式可

求tan4=6，结合范围0<A<），可求A的值.

（2）由已知利用余弦定理可得：C2-3C-4=O,解方程可得c的值，进而根据三角形

的面积公式即可求解.

【详解】解：（1）•rasinB-G6cosA=0.

，由正弦定理可得：sinAsinB=6sinBcosA,

,.•sinBwO,

sinA=A/3cosA,即tanA二百，

\'0<A<7T,

,兀

A=­.

3

（2）Qa=>/i3,b=3,A=。，

由余弦定理/=b2+c2-2bccosA,

22

可得：13=9+C-2X3XCX1,可得：c-3c-4=O,

，解得：c=4或c=-l（负值舍去），

S.„=—i>csinA=—x3x4x—=3G.

A/iOVr222

18.已知各项均为正数的等差数列｛%｝满足4=1,。3=。；+2（“e+勺）.

（1）求｛%｝的通项公式;

（2）记d-弧+,求数列出』的前n项和5„.

【答案】（1）%=2〃-1

【分析】（1）依题意可得4向-%=2,即可得到｛〃,,｝是以1为首项，2为公差的等差数

列，再根据等差数列的通项公式计算可得;

（2）由（1）可得”=叵工叵与，再利用裂项相消法求和即可.

【详解】（1）解：各项均为正数的等差数列｛4｝满足4=1,<,=a；+2（a„+1+a,t）,

整理得（勺+i+%）（4用一。,,）=2（%+|+%）,

由于a,+i+4产。，

所以。，用-%=2,

故数列｛4｝是以1为首项，2为公差的等差数列.

所以%=2〃-1.

_,1Iy]2,n+1—y/2,n—\

⑵解：由⑴可得.国+历=丽+同=2'

所以S,=gx(g-l+行-6+...+J2“+1-J2"-1)=；(J2"+1-1).

19.如图所示等腰梯形4BC。中，AB//CD,2AB=2BC=CD,NABC=120。，点E

为8的中点，沿AE将△D4E折起，使得点。到达尸位置.

（1）当£B=8C时，求证：8£_1_平面力尸C；

（2）当3F=逅BC时，求二面角的余弦值.

2

【答案】（1）证明见解析

⑵-乎

【分析】（1）结合线面垂直的判定定理来证得结论成立.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角尸-BE-C的大小.

【详解】（1）设ACIBE=O,

由于四边形ABC£）是等腰梯形，E是。的中点，2AB=CD,

所以AB//CE,AB=CE,所以四边形ABCE是平行四边形，

由于4?=3C,所以四边形43CE是菱形，

所以BELAC,

由于FB=BC=CE=DE=FE,。是8E的中点,

所以8EJ_OF,

由于ACcOF=O,

所以BE_L平面AFC.

F

（2）由于AABC=120°,ZBCE=60°,

所以三角形ABE、三角形BCE、三角形49E是等边三角形,

设G是AE的中点，设2AB=23C=CO=4,

典\GF=GB=®BF=®BC=娓,

2

所以GU+GB?=B尸2,所以GF_LG3,

由于GA,GB,G尸两两垂直.

以G为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

尸（0,0,6）,E（-l,0,0）,8（0,60）,

丽=（-1,0,-6）,方=（0,-6,6），

平面CBE的法向量为m=（0,0,1）,

设平面EBE的法向量为Z=（x,y,z）,

n-FE=-x-y/3z=0-/r-\

则厂厂，故可设〃=-G1,i,

H-FB=-X/3>'+V3Z=0''

由图可知，二面角尸-8E-C为钝角，设二面角F-BE—C为

V，则cos八一冬

20.条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来，随着人们对随机现象

的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中.定义：

设x,y是离散型随机变量，则x在给定事件y=y条件下的期望为

E(X=y)=£x「P(X=x/y=y)=，其中缶出…，/｝为X的所

/=ii=]-y)

有可能取值集合，P(X=x,y=y)表示事件“X=x”与事件“y=y”都发生的概率.某射

击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为P(0＜。＜1),射击进行到击中目标

两次时停止.设4表示第一次击中目标时的射击次数，V表示第二次击中目标时的射击次

数.

⑴求P《=2,〃=5),―；

(2)求E©〃=5),E⑶〃=〃)(〃*2).

【答案】⑴虫=2力=5)=(1-0”2,P(〃=5)=4(l-p)3/；

(2)E(J|/7=5)='|,E(g[77=〃)=；

【分析】(1)根据题意,应用独立事件的乘法公式求P(J=2〃=5),由＜={1,2,3,4}有

四种情况求P(〃=5)即可.

(2)根据题设给定的公式及(1)的结论求=5),进而求出P⑦=〃)、=n),

即可求Ees=〃).

【详解】(1)由题设，P(J=2,〃=5)=(l-pAp(l-p＞(l-p)7=(l—。)62,

=5)=Cj(l-pFpr=4(1-p”.

(2)由题设,

x与岗畸等+2x21^1

P《=3,〃=5)J+2+3+1二

4-3x

P(〃=5)4442

2222n22

同(1),P(7=«)=c；,_,(i-Py-p=(n-1)(1-Py~p,p(g\ij=n)=(i-p)'pf

5fs+D

所以E@〃=〃)=£»,%xP(&^,rj^=]n)=行1+西2+.••+0n-2+1

n.

22

21.设函数/(x)=x3+灰+c,曲线y=/(x)在点(g,八/))处的切线与)，轴垂直.

(1)求b.

(2)若〃幻有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1.

【答案】(1)b=j3(2)证明见解析

【分析】(I)利用导数的几何意义得到尸(g)=0,解方程即可；

(2)方法一：由⑴可得r(x)=3f一q=2(x+g)(x-g),易知〃x)在(_g,g)上单调

递减，在(-8,-g),(g,*«)上单调递增，且

f(-l)=c—；,f(—g)=c+；,/(g)=c-5，/(l)=c+；,采用反证法，推出矛盾即可.

【详解】⑴因为:。)=3/+"由题意，广(；)=0,即：3x(；)+6=0,贝股=£.

(2)[方法一]:通性通法

33I1

由(1)可得f(x)=x3-：x+c,f\x)=3x2-7=3(x+-)(x--),

4422

令尸(x)>0,得x>g或x<-g；令f'(x)<0,得-g<x<；,

所以f(x)在(-2])上单调递减，在(口,-2)，(上+8)上单调递增，

2222

且/(-l)=c-；,f(-g)=c+：J(；)=c-；,/(l)=c+：,

若/(x)所有零点中存在一个绝对值大于1的零点司，则/(-1)>0或/⑴<0,

即c>!或CC-J.

44

当c>!时，/(-l)=c-^>0,/(-^)=c+^>0,/4)=c-^>0,/(l)=c+^->0,

4424244

又/(-4c)=-64c3+3c+c=4c(l-16c2)<0,

由零点存在性定理知f(x)在(Tc,-1)上存在唯一一个零点方,

即/(x)在(9,-1)上存在唯---个零点，在(T,+°0)上不存在零点,

此时/(x)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

当C<_；时，/(-l)=c-l<0,/(-^)=c+l<0,/(1)=：c-l<0,./(l)=c+l<0,

又/(-4c)=64c3+3c+c=4c(l-16c2)>0,

由零点存在性定理知在(l,Tc)上存在唯一一个零点,

即/(x)在(1,内)上存在唯一一个零点，在(—［)上不存在零点，

此时“X)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

综上，/(%)所有零点的绝对值都不大于1.

［方法二］【最优解】：

□

设%是/(X)的一个零点，且用41,贝lJc=T+90.

从而f(X)=*3—5X一X：+I=(X—X。)12++X：-3).

令/?(x)=x?+x()x+x：-■1,由判别式△=焉-4卜；-《)=3-3*20,可知〃(x)=0在R

上有解，力(幻的对称轴是》=-争，所以

3

/:(-1)=1-x0+--

久X)在区间-1,-^上有一根为X”在区间一，,1上有一根为々，进而有

|xj<l,|x2|<1,所以/(X)的所有零点的绝对值均不大于1.

［方法三］:

设》是函数/(X)的一个绝对值不大于1的零点，且C=T；+/。，闻41.设

c(x)=-/+?x,则。'(》)=-3/+3,显然C(x)在区间1-1,一〈］内单调递减，在区间

44I2J

内单调递增，在区间内单调递减.又

’于是心)的值域为一生

c(-l)=-,c(l)=-

3131

设巧为函数f(x)的零点，则必有/(x)=x：-7X1+c=0,于是-:4。=一片+:占4:，

4444

4x3-3x,-1=(x-1)(2%,+1)'<0,,,

所以「2解得一1«王41,即玉ML

4xf-3x,+l=(x,+l)(2x1-l)>0,

综上，/(*)的所有零点的绝对值都不大于1.

［方法四］:

由(1)知，f(x)=V-X+C-，/。)=3--7，令r(x)=o,得工=-；或X=彳.贝lj/(x)

4422

在区间（—，-；）内递增，在区间内递减，在区间内递增，所以/（X）的

极大值为/{-；）=0+；=/⑴J（x）的极小值为==/（-1）.

（i）若/（一£|/（；）＞°，即c＞；或c＜-；,〃x）有唯一一个零点七,显然有闻＞1,

不满足题意；

（ii）若-£|/（；）=0,即c=：或c=-；,/（x）有两个零点，不妨设一个零点为

I31

%=-］,显然有闻W1,此时，/（x）=x3-^x-^,则/（1）=0,另一个零点为1,满

足题意；同理，若一个零点为七=；，则另一个零点为T.

（iii）若/卜£|出）＜°，即-*＜；，/（笛有三个零点，易知在区间（1，£|内

有一个零点，不妨设为％,显然有闻W1,又《一£|＞0,/（-1）＜0,所以在

内有一个零点修，显然|〃旧，同理，Ax）在（川内有一个零点〃，有1〃区1.

综上，/（x）所有零点的绝对值都不大于1.

［方法五］:

3

设4是f*）的一个零点且区区1,则C=T：+%%是/。）的另一个零点.

=W：占卜+、+3

X?_X；+:=（X?_xJ•XX；=0.

4

33

则+X^2+X|~——=0,设7Z2（X）=厂+X^X+Xj-——,由判别式

△=x；-4（x；_q）=3-3x；20,所以方程有解.

假设实数々满足区|＞1・

2

4+—+114

由kJ«l,|x>|>1,片+x]x2+考=考得

mX?

33

x：+M+考〉“与石+—+七70矛盾，假设不成立•

所以，/（X）所有零点的绝对值都不大于1.

【整体点评】

（2）方法一：先通过研究函数的单调性，得出零点可能所在区间，再根据反证法思想

即可推出矛盾，是通性通法；方法二：利用零点的定义以及零点存在性定理即可求出，

是本题的最优解；方法三：利用零点的定义结合题意求出。的范围，然后再由零点定义

以及c的范围即可求出所有零点的范围，从而证出；方法四：由函数的单调性讨论极大