微积分课件及其答案

1复合函数的求导法则全微分形式不变性小结思考题作业第四节多元复合函数的

求导法则第八章多元函数微分法及其应用2一、复合函数的求导法则(链导法则)证1.

中间变量为一元函数的情形.定理且其导数可用下列公式计算:多元复合函数的求导法则具有连续偏导数,3

可微由于函数有连续偏导数多元复合函数的求导法则4复合函数的中间变量多于两个的情况.定理推广导数变量树图

三个中间变量称为全导数(又称链导公式).多元复合函数的求导法则5?项数问:每一项?中间变量函数对中间变量的偏导数该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).的个数.函数对某自变量的偏导数之结构多元复合函数的求导法则6例设

求这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.法二yuvx解法一可用取对数求导法计算.多元复合函数的求导法则7多元复合函数的求导法则复合函数为则复合函数偏导数存在,且可用下列公式计算

两个中间变量

两个自变量具有连续偏导数,2.的情形.8

变量树图uv多元复合函数的求导法则9解多元复合函数的求导法则例

10中间变量多于两个的情形类似地再推广,复合函数在对应点的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:三个中间变量两个自变量多元复合函数的求导法则11例设解自己画变量树

求多元复合函数的求导法则12只有一个中间变量即两者的区别区别类似多元复合函数的求导法则3.的情形.把复合函数中的y看作不变而对x的偏导数把中的u及y看作不变而对x的偏导数13解

zuxyxy变量树图例多元复合函数的求导法则14

例设f具有二阶连续偏导数,

变量树图ursxt或记u对中间变量r,s的偏导数

注从而也是自变量x,t的复合函数.

解都是x,t的函数,

对抽象函数在求偏导数时,一定要设中间变量.多元复合函数的求导法则15ursxt变量树图

设f具有二阶连续偏导数,

多元复合函数的求导法则16ursxt变量树图

设f具有二阶连续偏导数,

多元复合函数的求导法则17多元复合函数的求导法则解练习具有二阶连续偏导数,

且满足2003年考研数学三,8分故18由例解现将把下列表达式转换为极坐标系中的形式:设

的所有二阶偏导数连续,函数换成极坐标的函数:及

以及函数对的偏导数来表达.多元复合函数的求导法则19复合而成.ruθxy(1)及多元复合函数的求导法则20得ruθxy多元复合函数的求导法则21(2)ruθxy设

的所有二阶偏导数连续多元复合函数的求导法则22同理可得(自己练)多元复合函数的求导法则23两式相加,得:多元复合函数的求导法则24多元复合函数的求导法则例假设流体中一质点的运动速度为其中由于质点随流体运动,故其位置也随时间t而变化.试求质点运动的加速度答案时变加速度位变加速度25

已知f(t)可微,证明满足方程提示t,y

为中间变量,x,y

为自变量.引入中间变量,练习则多元复合函数的求导法则26二、全微分形式不变性具有连续偏导数,则有全微分则有全微分全微分形式不变性的实质多元复合函数的求导法则27解例

通过全微分求所有一阶偏导数,比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便.多元复合函数的求导法则281994年研究生考题,计算,3分答案：多元复合函数的求导法则练习291989年研究生考题,计算,5分

解多元复合函数的求导法则练习301990年研究生考题,计算,5分

解设多元复合函数的求导法则有连续的二阶导数,练习311992年研究生考题,计算,5分

解设多元复合函数的求导法则练习连续的二阶导数,32求在点(1,1)处可微,且设函数解2001年考研数学一,6分多元复合函数的求导法则练习由题设33多元复合函数求导法则(链导法则)全微分形式不变性(理解其实质)多元复合函数的求导法则三、小结(大体分三种情况)求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导34思考题多元复合函数的求导法则正确的是().35思考题解答令则两边对t求导,得多元复合函数的求导法