指数函数及其性质

指数函数及其性质教课目的一、知识与技术能依据指数函数的性质解决相关函数单一性、奇偶性的议论问题.注意指数函数的底数的议论.二、过程与方法经过师生之间、学生与学生之间的相互沟通，使学生成为一个会与他人共同学习的人.经过研究比较复杂函数与简单初等函数的关系，培育学生利用化归思想解决问题能力.三、感情态度与价值观经过议论比较复杂的函数的单一性、奇偶性，使学生感知知识之间的有机联系，感觉数学的整体性，感觉并领会数学中的化归思想的巨大作用及其在生活中对办理生活杂事的指导作用，激发学生的学习兴趣.在教课过程中，经过学生的相互沟通，加强学生数学沟通能力，合作学习的能力，同时培育学生聆听、接受他人建议的优秀质量.教课要点议论含有指数式的比较复杂的函数的单一性和奇偶性.教课难点将议论复杂函数的单一性、奇偶性问题转变为议论比较简单的函数的相关问题.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教课过程一、复习旧知复合函数y=f［g（x）］是由函数u=g（x）和y=f（u）组成的，函数u=g（x）的值域应是函数y=f（u）的定义域的子集.在复合函数y=f［g（x）］中，x是自变量，u是中间变量.当u=g（x）和y=f（u）在给定区间上增减性同样时，复合函数y=f［g（x）］是增函数；增减性相反时，y=f［g（x）］是减函数.二、创建情形，引入新课师：我们已经比较娴熟地掌握了指数函数的图象和性质，并运用这些知识解决了一些详细的问题，我们知道指数函数y=ax是非奇非偶x函数，那么含有指数式的函数，如：y=10x1有奇偶性吗？101三、解说新课例题解说x【例1】当a＞1时，判断函数y=ax1是奇函数.a1师：你感觉应当怎样去判断一个函数的奇偶性？（生口答，师生共同概括总结）方法指引：判断一个函数奇偶性的一般方法和步骤是：（1）求出定义域，判判定义域能否对于原点对称.（2）若定义域对于原点不对称，则该函数是非奇非偶函数.（3）若所议论的函数的定义域对于原点对称，从而议论f（－x）和f（x）之间的关系.若f（－x）=f（x），则函数f（x）是定义域上的偶函数；若f（－x）=－f（x），则函数f（x）是定义域上的奇函数；若f（－x）=f（x）且f（－x）=－f（x），则函数f（x）在定义域上既是奇函数又是偶函数.师：请同学们依据以上方法和步骤，达成例题1.（生达成引起的训练题，经过实物投影仪，沟通各自的解答，并组织学生评析，师最后投影显示规范的解答过程，规范学生的解题）证明：由ax－1≠0，得x≠0，故函数定义域为{x|x≠0}，易判断其定义域对于原点对称.又f（－x）=aa

xx

=(a1(a

x1)ax=1ax=－f（x），xxx1)a1a∴f（－x）=－f（x）.x∴函数y=a1是奇函数.ax1合作研究：本题是函数奇偶性的证明，在证明过程中的恒等变形用到推行的实数指数幂运算性质.请思虑，证明f（－x）=－f（x）的目标指向可否更为简单？如改证f（－x）±f（x）=0或许f(x)=f(x)±1，以上两种办理方式何时用何种形式能够使得解题过程更为简短?【例2】求函数y=（1）x22x的单一区间，并证明之.2师：证明函数单一区间的方法是什么?（生口答，师生共同概括总结）方法指引：（1）在区间D上任取x1＜x2.（2）作差判断f（x1）与f（x2）的大小：化成因式的乘积，从x1＜x2出发去判断.（3）下结论：假如f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在区间D上是增函数；假如f（x1）f（x2），则函数f（x）在区间D上是减函数.解：在R上任取x1、x2，且x1＜x2，则y2(1)x222x2=2y(1)x122x112

=（1）x12x122x22x1=（1）(x2x1)(x2x12).22∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.当x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，即y2＞1.y1∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单一递加.当x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即y2＜1.y1∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单一递减.综上，函数y在（－∞，1］上单一递加，在［1，+∞）上单一递减.合作研究：在填空、选择题顶用上述方法就比较麻烦，所以我们能够考虑用复合函数的单一性来解题.以下例.【例3】求函数y=3x22x3的单一区间和值域.师：请同学们剖析察看所给函数有什么特色？这些特色会给你解答该题供给哪些信息？（生议论沟通，师捕获学生沟通拥有价值的信息，实时概括，得出以下结论）结论：所给函数分析式右侧是指数式，指数式的指数又是一个关于自变量x的二次三项式.师：以上结论可否为你解决该问题供给一点思路呢？（生沟通，师总结）由以上结论想到：若设u=－x2+2x+3，则y=3u，这样本来一个比较复杂的函数单一性的议论问题就转变为两个基本初等函数的单一性的议论问题.（师生共同达成解答，师规范板书）解：由题意可知，函数y=3x22x3的定义域为实数R.设u=－x2+2x+3（x∈R），则f（u）=3u，故原函数由u=－x2+2x+3与f（u）=3u复合而成.∵f（u）=3u在R上是增函数，而u=－x2+2x+3=－（x－1）2+4在x∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.∴y=f（x）在x∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.又知u≤4，此时x=1，∴当x=1时，ymax=f（1）=81，而3x22x3＞0，∴函数y=f（x）的值域为（0，81］.方法指引：在议论比较复杂的函数的单一性时，第一依据函数关系确立函数的定义域，从而剖析研究函数分析式的构造特色，将其转化为两个或多个简单初等函数在相应区间上的单一性的议论问题.在该问题中先确立内层函数（u=－x2+2x+3）和外层函数（y=3u）的单一状况，再依据内外层函数的单一性确立复合函数的单一性.四、稳固练习x1.已知函数f（x）=2x1，21（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求证：函数f（x）在x∈（－∞，+∞）上是增函数.议论函数y=32x23x6的单一性，并指出它的单一递加区间和单一递减区间.答案：1.（1）函数f（x）为奇函数，（2）依据单一性的定义进行证明，证明过程略.2.单一递减区间为（－∞，3］，单一递加区间为［3，+∞）.44五、讲堂小结复合函数单一性的议论步骤和方法；复合函数奇偶性的议论步骤和方法.六、部署作业1.已知f（x）=|2x－1|，当a＜b＜c时，有f（a）＞f（c）＞f（b），则以下各式中正确的选项是A.2a＞2cB.2a＞2b－a＜2cD.2a+2c＜2已知函数f（x）=ax+k的图象过点（1，3），又其反函数f－1（x）的图象过点（2，0），则f（x）=________.3.已知偶函数f（x）的定义域为R，当x≥0时有f（x）