北师大版选择性必修第一册 3.3.1空间向量基本定理 作业

§3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3.1空间向量基本定理1.(多选题)如图,已知四面体ABCD的每条棱长和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,则下列结论正确的有().(第1题)A.EGB.EFC.EGD.cos<AG,CE解析:EG=EA+AD+DG=-12AB+AD+AG-AD=-12AB+12AC+12AD,故A错.设AB=a,AC=b,AD=c,则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,则a·b=a·c=b·c=12.因为EF=12BD=12c-12a,BA=-a,所以EF·BA=(12c-12a)·(-a)=12a2-12a·c=14,故B正确.因为EG=12(AC+AD-AB)=12答案:BC2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心.若EF+λA1D=0(λ∈R),则λ的值为(A.-12 B.12 C.1解析:如答图,连接A1C1,C1D,则点E在A1C1上,且为A1C1的中点,点F在C1D上,且为C1D的中点,(第2题答图)∴EF∥A1D,EF=12A1D即EF=12A1D,从而EF-答案:A3.平面α内有五点A,B,C,D,E,其中任意三点不共线,O为空间中一点,满足OA=12OB+xOC+yOD,OB=2xOC+13OD+yA.56 B.76 C.5解析:由A,B,C,D四点共面,得x+y=12,由B,C,D,E四点共面,得2x+y=23,联立①②,解得x=16,y=13,所以x+3y=答案:B4.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,O为空间内任意一点,设OA=a,OB=b,OC=c,则向量OD可用a,b,c表示为().(第4题)A.a-b+2c B.a-b-2cC.-a12+12b+D.a-b121解析:OD=OC+CD=OC+1答案:D5.已知A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,O是空间任意一点,点O不与A,B,C,D四点共面,且OA=2xBO+3yCO+4zDO,则2x+3y+4z=.?解析:A,B,C,D四点共面的充要条件是OA=αOB+βOC+γOD,且α+β+γ=1,则有-2x-3y-4z=1,从而2x+3y+4z=-1.答案:-16.已知{e1,e2,e3}为空间向量的一组基,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,且d=αa+βb+γc,则实数α,β,γ的值分别为.?解析:由题意,知a,b,c为三个不共面的向量,所以由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α,β,γ),使得d=αa+βb+γc.所以d=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3.又因为d=e1+2e2+3e3,所以α+β答案:52,-1,-7.如图,已知?ABCD,从平面AC外一点O引向量OE=kOA,OF=kOB,OG=kOC,(第7题)(1)E,F,G,H四点共面;(2)平面ABCD∥平面EFGH.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC=EG=OG-OE=kOC-kOA=kAC=k(AB+AD)=k(OB-OA+OD∴E,F,G,H四点共面.(2)EF=OF-OE=k(OB且由(1