中考数学压轴题破解策略专题6《对角互补模型》

专《对互模》破策1．等之90°”如图，∠AOB∠＝90°，OC分∠，则AD

COE＝；＋＝

2

OC；（）S

2

．证方法：图，过点C分别⊥，⊥，垂足分别为M．由角平分线的性质可得＝，∠MCN＝90°．所以∠＝NCE从而△≌△NCE（）故CDCE易证四边形MONC为正形．

MD

C所以ODOEODON＋＝ON＝2OC．

N

所以S

正方形

ON

2

OC

2

．方二如图，过作⊥，OB于点．易证∠＝EFC＝45°＝，∠DCO＝∠ECF．所以△≌ECF（ASA所以CD＝，ODFE可得ODOEOFOC

D

C所以S

OC

2

．

F

【拓】如，当DCE的一边与AO的延长线交于点时则：CD

＝；－＝

OC；（）S

OCE

OCD

OC

2

．如图，证明同上．

M

C

CD

N

D

FE2．等之120”如图，∠AOB＝2∠＝120°，OC平分∠，则：ADE

B（）＝；（）＋＝；（）

2

．证

方一如图，过点C分别⊥，⊥，垂足分别为M，．所以

OCD

OCE

2S

OC

2易证△≌△NCE（）所以CDCEODOE＝ONO．

M

DN

D

F

方二如图，以CO为边∠FCO＝60°，交OB点，eq\o\ac(△,则)OCF等边三角形．易证△△ECFASA）．所以CD＝，ODOE＝OC，∴＋＝＝eq\o\ac(△,S)OCDeq\o\ac(△,S)OCEeq\o\ac(△,S)OCF

OC

【拓展】如图，当∠的一边与BO的延长线交于点E时则（）＝；2）OD－＝；）－＝eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)如图，证明同上．AA

OC

D

D

C

D

CME

NB

E

F3、等之任角如图，∠AOB2

，∠DCE＝°－2

，平∠AOB则：（）＝；2）OD＋＝OC·

；（3）＋＝eq\o\ac(△,S)ODCeq\o\ac(△,S)OEC

·sin

cos

D

E

证明：方法一：如图，过点C分作CM⊥OA，⊥，垂足分别为M，

AD

N

B易证△△NCEASA）∴，＋＝ON2OC·cos

∴＋＝＝·eq\o\ac(△,S)ODCeq\o\ac(△,S)OEC方法二：如图，以CO为一边作∠＝180－，OB于．D

CEF易证△△ECFASA）

∴，＋＝＝·cos

∴＋＝＝·eq\o\ac(△,S)ODCeq\o\ac(△,S)OECeq\o\ac(△,S)OCF【拓展】如图，当∠的一边与BO的延长线交于点E时则（）＝；2）OD－＝OC·（3）－＝·eq\o\ac(△,S)ODCeq\o\ac(△,S)OEC如图，证明同上D

A

AO

C

CEO

B

E

C

B4、似之90°”如图，∠AOB∠＝90°，COB＝

，则CE·tan

E

方法一：如图，过点C分作⊥OACNOB垂足分别为M、NDMCO易证△△NCE∴

MDCDCM

，即CE·tan

方法二：如图，过点C作⊥，OB于点F．ADCEF

B易证△∽△ECF，∴

ODCD

，即CECD·tan

方法三：如图，连接．AD

B易证D、、、点共圆∴∠CDE∠COE＝，CE＝·tan

【拓展】如图，当∠的一边与AO的延长线交于点D时则CE＝·tan

O

D如图，证明同上．A

C

CO

E

B

F

O

D

D

D例讲例1已△是⊙内接三角形ABAC在所对弧BC上任取一点D连AD，，．如图1，若∠BAC＝120°，那么BD＋与AD间的数量关系是什么？如图2，若∠BAC＝，么BD＋与AD之间的数量关系是什？D

C

B

A

图1

2解：（）＋＝

ADB

E

CA

3

F如图3，过点A分别向∠BDC的两边作垂线，垂分别为、．由题意可得ADB＝∠ADC＝°易证△≌△AFC∴＝DE＝

AD⑵＝sin

．如图4，作∠EAD＝∠BAC，交DB的长线于点．DB

F

CE则△EBA≌△，以＝AE＝D．

OA图4作AF⊥于点，则＝

．所以＋＝＝DF2ADsin．例如1，将一个直角三角板的角顶点P放在正方形的角线上滑动，并使其一条直角边始终经过点，一直角边与相交于点F求证：＝；如图，将⑴中的正方形变为矩，其余不变，且＝10，＝8，求AP：的值；⑶如图，在⑵的条件下，当P滑到的延长线上时AP：的值是否发生变化？A

DBE图1

P

ACB

DPE图2

图3

PFDC解⑴如图4，过点P分别作⊥，⊥，足分别为M，．则PM＝，MPN°，由已知条件可得APE90，所以APM＝∠EPN，以APM≌△．故AP＝．AM

DBE图4

C⑵如图，过点P分别PM，⊥，足分别为，．则∥，∥D．所以△△BDA△∽BC．可得

PMPMAD5，所以．ADBDPNCD易证△△EPN所以

PM．PN4A

DM

PB图5⑶的不变．如，理由同]

CMA

D

PFB

图

C进训1．如图，四边形ABCD被角分等腰和eq\o\ac(△,Rt)，中BAD和∠都是直角，另一条对角线的度2，则四边形的积为_________ABC第图答案：四边形的面积为2．【提示证A四点共圆∠BCA＝∠BDA＝∠ABD∠ACD全等型90的结论可得＝

AC＝．2．在△ABC中＝，A＝°，是BC边中点，EDF＝120°，与AB边相交于点，与边或AC边的延线）相交于点．A

AEE

NBD

FC

B

C

F第1题图1

第1题图2⑴如图，与边交于点，求证BECF＝

AB；⑵如图2，将图1中∠绕D顺针旋转定的角度，使DF与AC边的延长线交于点F，作DN⊥于N，若＝，证：＋CF＝（－）答案：略．1AB21AB2【提示点D作DG∥交于G≌DFCBE＋＝＋＝＝B．2AGB第1题图1⑵过点DDG∥交AB于点G，同⑴可得BE＝

C

＝＝，长至H使3得BH＝DHDF而BE＋CF＝＝2（）．AEG

＝×2N

DN＝2DN以BE＋CF＝3BH

D第答图2

C

F3．在菱形ABCD中两条对角线AC，BD交于点O，∠MON∠＝180°，MON绕旋转，射线OMBC于E射线ON交CD于，连结EF如图，当∠ABC＝90°时，的形状____如图，当∠ABC＝60°时，请判断△OEF形状，并说明理由；如图3，在⑴的条件下，将的点移动到AO的中点O处，∠'绕旋转，仍满足∠'BCD°，射线'交线于点，射线'交线CD于，当BC＝，

V8形

时，求的长．AD

A

D