2019年数学复习单元评估检测6不等式、推理与证明文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE6学必求其心得，业必贵于专精单元评估检测（六）不等式、推理与证明(120分钟150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．eq\f（1,ab)≥eq\f（1,2) B．eq\f（1,a）＋eq\f(1，b)≤1C．eq\r（ab)≥2 D．eq\f(1，a2＋b2）≤eq\f(1，8）D2．(2017·新乡模拟）若集合A＝｛x|x2－7x＋10＜0}，集合B＝eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）＜2x＜8)）)),则A∩B＝()【导学号：00090397】A．（－1，3) B．(－1,5）C．（2，5） D．（2,3)D3．已知a，b，x，y都是正实数，且eq\f（1,a）＋eq\f（1,b)＝1，x2＋y2＝8，则ab与xy的大小关系为（)A．ab＞xy B．ab≥xyC．ab＜xy D．ab≤xyB4．(2017·唐山模拟)不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)，\f（1，3））)，则a＋b的值是（)A．10 B．－10C．14 D．－14D5．（2017·济宁模拟)在坐标平面内，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥2|x|－1，，y≤x＋1）)所表示的平面区域的面积为（）A．2eq\r(2） B．eq\f(8,3)C．eq\f(2\r(2),3) D．2B6．若－1＜a＜0，则关于x的不等式(x－a）·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(1,a）））＞0的解集是（)A．｛x|x＞a｝ B．eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞\f(1,a））))）C．eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞a或x＜\f(1,a)）））） D．eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（x＞\f（1,a)或x＜a)）)）C7．已知数列｛an｝为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*），则am＋n＝eq\f（nb－ma,n－m).类比等差数列｛an}的上述结论，对于等比数列{bn}（bn＞0，n∈N＊)，若bm＝c，bn＝d（n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝（）A．（n－m）（nd－mc) B．（nd－mc)n－mC．eq\r（n－m,\f(dn，cm)） D．eq\r（n－m,dn·cm）C8．已知函数f（x)＝eq\f(16x2－28x＋11，4x－5）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＜\f(5,4)）)，则函数f（x)的最大值为(）A．eq\f（11,4) B．eq\f（5，4）C．1 D．eq\f(1，4)C9．(2017·临汾模拟)若实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y≥0,，x－y≥0，,2x－y－2≥0,）)则ω＝eq\f（y－1，x＋1)的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3))) B．eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)，\f(1,3)））C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1,2)，＋∞)） D．eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)，1))D10．当x＞0时,eq\r（x2＋1)≥eq\r(2x），在用分析法证明该不等式时执果索因，最后索的因是（）A．x＞0 B．x2≥0C．（x－1）2≥0 D．(x＋1）2≥0 C11．已知实数x，y满足x＞y＞0且x＋y＝eq\f（1,4）,则eq\f（2,x＋3y)＋eq\f(1,x－y)的最小值为(）A．1 B．2C．6＋4eq\r（2） D．8＋4eq\r(2) C12．（2017·南昌模拟）在△ABC中，角A，B,C所对的边长分别为a,b,c，若C＝120°，c＝eq\r（2）a，则（）A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）13．已知a＞b＞0，则a，b，eq\r（ab),eq\f(a＋b，2)四个数中最大的一个是________．a14．已知a＞0,b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2（2b415．（2017·福州模拟)设平面内有n条直线（n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n）表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n）＝________（用n表示)．eq\f(1，2）(n＋1)（n－2）16．已知A(－1，0)，B(0，－1），C(a，b）三点共线，若a＞－1，b＞－1，则eq\f（1,a＋1)＋eq\f（1,b＋1）的最小值为________．4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n。(1)证明{an｝是等差数列．（2)若bn＝eq\f（1,anan＋1),数列｛bn}的前n项和为Tn,试证明Tn＜eq\f（1,4）.【导学号：00090398】【证明】（1）因为Sn＝2n2－n。所以a1＝S1＝1。当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－2(n－1)2＋(n－1）＝4n－3.对n＝1也成立．所以an＝4n－3.an＋1－an＝4(n＋1）－3－4n＋3＝4,是常数．所以数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列．（2）由(1)得bn＝eq\f（1，4n－34n＋1）＝eq\f(1,4）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,4n－3)－\f(1，4n＋1）))所以Tn＝eq\f（1，4）eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(1，5）))＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,9）))＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，9）－\f（1,13))）＋…＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,4n－3)－\f（1,4n＋1)）)）)＝eq\f（1,4)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1，4n＋1））)＜eq\f（1,4)。18．（12分）如图1，在四棱锥P。ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB＝AD,∠BAD＝60°,E，F分别是AP，AB的中点．图1求证：（1）直线EF∥平面PBC．（2）平面DEF⊥平面PAB．略19．（12分）已知f(x)＝x2＋ax＋B．（1)求f(1)＋f(3)－2f（2）求证：｜f（1）｜,|f(2）｜，|f(3）｜中至少有一个不小于eq\f（1,2)。[解]（1）因为f(1）＝a＋b＋1，f（2)＝2a＋b＋4,f（3）＝3a＋b＋9，所以f（1)＋f（3)－（2)假设|f(1)|，|f(2）｜,|f（3)|都小于eq\f(1，2)，则－eq\f（1，2)＜f（1)＜eq\f(1，2)，－eq\f(1，2）＜f（2)＜eq\f(1,2)，－eq\f（1，2）＜f(3）＜eq\f（1，2）。所以－1＜－2f(2）＜1，－1＜f(1)＋f所以－2＜f(1)＋f（3)－2f这与f(1）＋f（3）－2f所以假设错误，即所证结论成立．20．（12分）已知变量x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0,,3x＋5y≤25，z＝2x＋y。,x－1≥0，））设z的最大值、最小值分别为M,m.（1)若a＞0,b＞0,且eq\f（1，a）＋eq\f(1,b)＝m，试求12a＋36b＋5的最小值．(2）若m≤a＋b≤M，试求a2＋b2的最小值．(1)21＋8eq\r（3)（2)eq\f（9，2)21．（12分)(2017·保定模拟)给定数列a1,a2，…，an。对i＝1，2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项(ai＋1,ai＋2，…，an）的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.（1）设数列{an}为3，4，7,1，写出d1，d2，d3的值．（2）设a1，a2,…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1＞0，证明:d1，d2，…，dn－1是等比数列．[解](1）d1＝A1－B1＝3－1＝2,d2＝A2－B2＝4－1＝3,d3＝A3－B3＝7－1＝6。（2)由a1，a2,…,an（n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1＞0,可得｛an｝的通项为an＝a1·qn－1且为单调递增数列．于是当k＝2,3，…,n－1时，eq\f（dk,dk－1)＝eq\f（ak－ak＋1,ak－1－ak)＝eq\f（a1qk－1－a1qk,a1qk－2－a1qk－1)＝q为定值．因此d1，d2，…，dn－1构成首项d1＝a1－a2，公比为q的等比数列．22．（12分)据市场分析，某绿色蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数．当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．(1）写出月总成本y(万元）关于月产量x(吨)的函数解析式．(2)已知该产品销售价为每吨1。6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润．(3）若x∈［10，c］（10＜c≤25)，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元?[解](1）由题意，设y＝a（x－15）2＋17.5(a＞0),把x＝10,y＝20代入，得25a＝20－17。5，a＝eq\f(1,10)，所以y＝eq\f(1，10)（x－15)2＋17.5＝eq\f(1，10）x2－3x＋40，x∈［10，25］．（2）设月利润为g(x）,则g（x)＝1.6x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，10）x2－3x＋40））＝－eq\f（1,10)(x2－46x＋400）＝－eq\f（1,10）（x－23）2＋12.9,因为x∈[10，25]，所以当x＝23时，g（x）max＝12。9。即当月产量为23吨时,可获最大利润．(3)每吨平均成本为eq\f（y，x）＝eq\f(1，10）x＋eq\f(40,x)－3≥2eq\r（4)－3＝1.当且仅当eq\f(x,10）＝eq\f(40,x），即x＝20时“＝”成立．因为x∈［10，c]，10＜c≤25，所以①当20≤c≤25时，x＝20时，每吨平均成本最低，最低为1万元．②当10＜c＜20时，eq\f(y,x)＝eq\f（1,10)x＋eq\f(40，x）－3在[10，c]上单调递减，所以当x＝c时，eq\b\lc\（\rc\