a小学数学奥赛4-3-1 三角形等高模型与鸟头模型(一).教师版

ABAB4-3-1.形高与头板块一

例题精三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大小)，三角形面积也就越大小)；如果三角形的高不变，底越大小)，三角形面积也就越大小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍底变为原来的，三形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图:A

B

1

2a

b

C③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S；反之，如果S，则可知直线平于④等底等高两平四形面积相(长方形和正方形可以看特殊的平行四边)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它的高之比．【1你有少方将意个三形成⑴个积等三形⑵个面积等三形⑶6个面相的角．【考点】三角形的等高模型【度1星【型】解答【解析】⑴如图，D、是BC的等分点，F、G分是对应线段的中，答案不唯一：

A

G

E

C

D

B

D

⑵如图，答案不唯一，以下仅供参考：

（1）（2（⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

（）

（5【答案】⑴答案不唯一：

G

C

D

D

C⑵答不唯一：（1）

（）

（3）

（）

（5⑶答案不唯一：【2如图BD长厘米DC长厘米，、和同条线．⑴求角ABC的积三形ABD面的少？⑵求角ABD的面是角面的多倍AB

D

C【考点】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】因为角形、三角形和角形在别以BD和DC为时，它们的高都从A点向边所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等．于是：三角形ABD的面积三角形ABC的积三角形ADC的积所以，三角形ABC面积是三角形ABD面积的倍三角形ABD的积是三角形ADC面积的3倍【答案】

43

、3【3如右，和CDEF都是形AB的是厘米的长3厘，么中影分面是平厘．

FDC【考点】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】图中影部分的面积等长方形面积的一半，即4(平方厘米．【答案】6【固年中小升初入学测试如图示平四形面是50平方米则影分面是平厘．【考点】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】根据积比例模型，可图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50平厘米．【答案】25【固如图长形FEB和方FDCE拼成了方ABCD，方的是，宽12，它部影分面是．FD

【考点】三角形的等高模型【度2星【型】解答1【解析】根据积比例模型可知影部分面积等于长方形面积的一半，为2【答案】120【4如图长形ABCD的面积平厘，、、分是方ABCD边的点，H为AD边上的意点求影分面．AE

G

AE

GB

F

C

B

F

C【考点】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】本题等底等高的两个角形面积相等的应用．连接、．∵AEEB，∴S．eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)同，，，eq\o\ac(△,1)eq\o\ac(△,)△1∴S(平方厘米．22【答案】28【固图的、FG分别正形ABCD三边三分点如正形边是12，么影

222分面是．222AD

A

D

GE

E

B

F

B

F

C【考点】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】把另三个三等分点标之后，正方形的3个就被分成了相等的三段．把H和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了个状各不相同的三角形．这个角形的底边分别是在正方形的个边上它们的长度都是正方形边长的三分一阴部分被分割成了3个三角形右边三角形的面积和第1第个角形相等：中间三角形的面积和第第4个角形相等；左边三角形的面积和第5个第个三角形相等．因此这3个影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的分一因此部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积1，阴影部分的面积就是．【答案】48【5长方的积为，E、F、为边点H为AD边任一，阴部面是多？

HG

F

CAHD

A

HDEG

EGBC

B

F

C【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】（法1特殊点法．由于H为AD上任意一点，找H的殊点，把H点与A点合如左上图那么阴影部分的面积就是AEF与面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形113面积的和，以阴影部分面积为长方形ABCD面的，．48（法）寻找可利用的条件，连接BH、HC如右上图．11可得：、S、S，，1即S()；而S，BF))．所以阴影部分的面积是：【答案】

18．【固在长6厘米正形内任一，正形一对二等，一对三分

分与P点连求影分积A()DA

CB

C【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】（法）特殊点法．由于P正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点A点合，则阴11影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，以阴影41分的面积为6)平厘米．4（法）连接PAPC．由于与PBC的积之和等于正方形面的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积1之和等于正方形ABCD面的，理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面4积的

11，所以阴影部分的面积为)平厘米．64【答案】15【6如右，在上垂直，AD厘米，DE厘米．三形ABC的面是角面积的倍

D

【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】因为AD垂于BC所以当BC为角形ABC和角形底时AD三角形的高，是三角形EBC的，于是：三角形ABC面积BCBC三角形面积BC所以三角形ABC的积是三角形EBC的积的4倍【答案】4【7如图在行边ABCD中，平，结BEAECF那么△等积的角一有几三形A

EB

【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】△AEC、△、△ABF．【答案】△AEC△AFC、△ABF．【固如，△中D是BC点，是中，结BECE那与△ABE等积三形共哪个角？

AB

ED

C【考点】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】，△eq\o\ac(△,、)eq\o\ac(△,)BEDeq\o\ac(△,、)DEC．【解析】【答】3个，△eq\o\ac(△,、)、△DEC．【固如，梯中，有个三形其面相的角共哪对A

BC【考点】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】△与△ACD，△ABC与△，△与△DCO【答案】△，△ABC与△DBC△△DCO【8如图三形ABC的面为，中AEAB，BD，三形的面是多？A

B

E

A

B

EC【考点】三角形的等高模型【度2星【型】解答【关键词】春杯【解析】连接CE，，AB，S2VBCEVACB又∵BD，∴．BDEBCEVABC【答案】4

【9如右，ADDBFC已阴部面为5平方米ABC的面是方米

平A

BDEF

A

BEC【考点】三角形的等高模型【度2星【型】解答【关键词】2008年，四中考题【解析】连接CD．据题意可知，DEF面积为DAC面积的，的积为面的，所1以的积为面的．而的积为5平方厘米，所以面积为3

(平方厘米．【答案】30【固图中角ABC面是180方米D是的中，的是长3倍，EF的是长倍．那三形AEF的面是多平厘？

VVABDVVZCYVDCBVZCYVVVABDVVZCYVDCBVZCYVABCDEFB

C【考点】三角形的等高模型【度2星【型】解答BD1【解析】ABDABC等，所以面积的比为底的比，有V,BC2VABC1AE所以S(平厘米)理平方厘米，22AD3VAFE

(方厘米．三角形的积是方厘米．BE【答案】【固如，长形ABCD中，是的中点Z是DY的中点如AB厘米厘米求三形的面．

CZ

YA

B【考点】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】∵Y是的中点，Z是DY的点，∴ZY，S，41又∵ABCD是方形，∴SS(平方厘米)．42【答案】24【固如，角ABC的积24D、E和F分别、AC和AD的中．三角DEF的积F

D

C【考点】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】三角ADC面积是三角形ABC面的半，三角形ADE又三角形ADC面的一半1．三角形FED的积是三角形面的一半，所以三角形FED的面积．【答案】3【固如，三形中厘米，是6厘，、F分为的点那三形EBF的积多平厘？

【考点】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】∵F是AC的点∴S同理S

2∴S平方厘米．2【答案】6【10如所，A、B、C都是方边中eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)AOB大5平方米eq\o\ac(△,。)eq\o\ac(△,)AOB的面为平厘。CA

OE

B

D【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】走美杯，级，决赛，第题10分【解析】S，所以，。CODABDABO【答案】7.5【11如ABCD一长形点E、和分是们在边中．果方的积36个方位求角的面是少平单．D

G

C

D

G

CEA

FB

FB【考点】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】如右分割后可得，36（方单位矩形【答案】9【固如，方ABCD的积1M是AD的点，N在边，且2.么，影分面是少

M

M

NC

N【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】春杯，决赛【解析】连接BM，因为是点所以△ABM的面积为又为BN，以△BDC的积为15，又因为BDC面为，以阴影部分的面积为：141212【答案】

512【12如，长形面是12平方米24平方厘、36平厘、48平方厘的个长形组而．阴部的积

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)Aeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

B12cm

36cm

12cmM

36cm

N24cm

48cm

24cmCD

48cm

【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答12241【解析】如图将大长方形的长长度设为，则AB，，1224481所以MN，阴影分面积为5(cm)．1212【答案】5【13图ABCD个角形∠DAB∠ABC=90°)，以AD为一向作方，面为6.36平厘。接BE交AD于，连。图阴部的积(平方米F

DC(A)6.36B)2.12（D）【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第5题【解析】如图连AE，。因为AD，则：eq\o\ac(△,S)PDCS阴影eq\o\ac(△,S)EPDeq\o\ac(△,S)PDCeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)EDA

,又AB∥，则：,以，EBD13.18平方厘米）F

DC说明答和直角梯形形状无关以让边近AD边直和边重合此P与A合，PE是ADEF的角线，所以，阴影部分的面积是面的一半等于3.18方厘米。【答案】3.18【14如，是径圆O上弦且的度圆半相，圆外一，OA的度2，且OA与BC平行，么中影分面是3.14）BO

A

【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】学而思杯年级，第题【解析】由于OA与BC平，如果接、，ABC的积是等于的积，于是把求阴影部分的面积转化为扇形的面积。如1，接B、OC。于与BC平，根据面积比例模型，是边三角形，那么为形BOC面积为

。【答案】【固在下中A半为的0外点。弦∥A且BC。连AC阴面等CB

=3.14)O【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】走美杯，级，决赛，第题10分【解析】为与交点，连接，，(见下图)CB

O

D

A∵CBOD，CB==3，∴边形CBDO是平行四边形eq\o\ac(△,，)COB是边三角SVCAB

=

VCOB∴阴影面积等于扇形COB的积，

=

C

=r2

×

×=4.71.【答案】【15如，角中，BD，AE，三形的面是20平方米三形的积多？AEB

C【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】∵CEAE，AC，4S；又∵DC，DC，S120(平方厘米)．【答案】120【16如在角ABC中已知角ADE三角DCE三形的积别8926那么角DBE的面是．

BAE【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】望杯，复赛，六年级【解析】根据意可知，117，所以BD:::9，那么:BD:AD:9，2故20．99【答案】

79【17如，梯ABCD它一对线BD成两部．三形的面比角的积大10平分．知形上与底长度和15分米它的是分米求形的积

D

A

hC

B

E

C【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】数报【解析】如右作AB的行线DE角形BDE的积与三角形的积相等三角形DEC的积是三角形BDC与三角形ABD的积差(平分米)从而，可求出梯形三角形的)是：(分米)，梯形面积是：1530(平方分米．【答案】30【18图VAOB的面为1

，段OB的度OD的倍求形ABCD的积D【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】在中，因为S，且OBOD，以有因为VABDVACD等底等高，所以有S．

．从而S15cm在VBCD中所梯形面积15cm【答案】80【19如，四形改成个积三形D

D

A

C

A′

B

2【考点】三角形的等高模型【度4星【2【解析】本题两点要求，一是四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法右图把顶点移的长线上的处VBD与VABD面积相等从而VADC面与原四边形ABCD面也相等样就把四边形等地改成了三角形A．问题是A位置的选择是依据三角形等积变形原则．过作条和DB平行的直线与的延长线交于A点具体做法：⑴连接BD⑵过作的行线，与CB延长线交于A．⑶连AD，则ACD与四边形积．【答案】具体做法：⑴连接BD⑵过作的行线，与CB延长线交于A．⑶连AD，则ACD与四边形积．DAA′

B

【20一长形成个不的角，色角形积长形积，色角面是

．：方的积多平厘？黄红

红绿【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】杯赛，初赛【解析】黄色角形与绿色三角的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的5，而绿色三角形面积占长方形面积1，以黄色三角面积占长方形面积的50%．已知黄色三角形面积是21

，所以长方形面积等于2135%60（

【答案】60【21是长形ABCD内点已OBC的面是5cm

，OAB的积

，的面是多？A

PB【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答1【解析】由于长方形，所以，而S，所以S，则S，所以【答案】3

．【22如图过平四形ABCD内一作的行EFGH，PBD的积平方分，求行边PHCF的积比行边的面大少平分？

2222224

GDA

GDE

P

PEFBCB

H【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】根据不变原理，要求行四边形的积与平行四边形PGAE的积差，相当于求平行四边形的积与平行四边形的积差．如右上图，连接、．1由于S，以．而

11，，所以S2SS(平方分米)．【答案】16【23如图正形的积，正角BPC的面是5，求影面．

A

P

BC【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】连接交于O点并连接PO．如下图所示，

OC可得PO//DC，以DPO与面积相等同底等高)所以有：，11因为S，以．44【答案】10【固如图正形ABCD的积是12，正角BPC面是，求阴的面．A

P

A

P

DB

B【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】连接交于O点并连接PO．如右上图所示，可得//DC，所以DPO与面积相等同底等高)，所以:，1因为，以2．【答案】2【24在方内有点形等的面为16等的积长方面的18%，么影的面是少

2222

COAB【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】先算长方形面积，再其一半减去的积(长方形面积的18%)，减去的积，即可求出面积．1根据模型可知，以S，2又与面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以的积等于长方1形面积的，4所以S

12

25%18%．【答案】3.5【25如图示在形中E、F别其腰AB、CD的点G是上的任一，已ADG的面为15cm是2

2，而BCG的面恰是形面的

，梯ABCD的积AD

ADE

E

B

B

【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【关键词】省身杯，六年级【解析】如果以求出与的积之和与梯形ABCD面积的比，那么就可以知道的积占梯形ABCD面的多少，从而可以求出梯形ABCD的积．如图，连接CE、DE．S，S，于是S．要求CDE与形ABCD的积之比把梯形ABCD绕F点转1个平行四边形下图所示：1从中容易看出的面积梯形ABCD的面积的一半．(可根据，1，得)1那么，根据题意可知的积占梯形积的1，所以梯形ABCD的积是2202031520

．小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一，这是一个很有用的结论中知这一结论采用特殊点法与重

22222的面积占梯形面积的一半，那么与BCG合来占一半．22222【答案】100【26如所，边ABCD与AEGF都是行边，请证它的积等FBE

FE【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】本题要是让学生了解会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接．我通过△这两个看似无关的平行四边形联系在一起)1∵在平行四边形中，AB边的高，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)1∴．eq\o\ac(△,)同理，，平行四边形ABCD与AEGF面相等．eq\o\ac(△,)【答案】证明：连接．我们通过△把两个看似无关的平行四边联系在一起)∵在平行四边形中，∴S．eq\o\ac(△,)

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

12

AB边上的高，同理，

eq\o\ac(△,)

1，平行四边形ABCDAEGF面相等．【固如图示方ABCD的长为8厘米方的长BG为0厘米么方的为厘？

E

A

B

F

G

C

D

【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】本题要是让学生会运等底等高的两个平行四边形面积相等(长形正方形可以看作殊的平行四边形．三角形面积等于与它等底等的平行四边形面积的一半．证明：连接(们通过△ABG这两个长方形和正方形联系在一)．1∵在正方形ABCD中ABAB边的高，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)∴

1(三角形面积等于与它等底等高平行四边形面积的一)eq\o\ac(△,)同理，．eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)∴正方形ABCD与方形EFGB面相等．长形的宽(米)．【答案】6.4【27如，方边长6AE＝1.5，＝．方EFGH的积

H

D

F

C【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】走美杯，级，决赛，第题10分6年，决赛，第9题分【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的积是三角形面积的二倍。三角形的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，以长方形的面积为33。【答案】33【28如，为平四形平，如果VADE面为4平厘．三角CDF面积C

DCFA

E

B

A

E

B【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】连结、CE∴；；又∵与EF平，∴∴(平方厘米)．【答案】4

．【固如图在行边ABCD中，线CF交于，DA延长于F若，△eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)的积C

BC

BED

EDAF【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】本题要是让学生并会用等底等高的两个三角形面积相等(或在组平行线之间的三角形面积相等和等量代换的思想．连接．∵∥，∴同理∥，S又，，，即【答案】1【29梯ABCD中，AE与DC平行

15S

A

DFB

E

C

【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】走美杯，初赛，六年级，第题【解析】连结DE，为AE与平行，根据蝴蝶定理易知

，同样可知S

，

所以

，

那么

。【答案】15【30图两正形边分是6厘米厘米，图阴部三形面是少平厘．【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】4．【答案】8【31如，有个方的点D、G、K恰好同条线其正形GFEB的长厘米求影分面．

G

P

G

PO

OQ

K

Q

KAA

E【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】对于种几个正方形并放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接FK、GE、BD，BD/GE//，据几何五大模型中的面积比例模型，可得S，，所以阴影部分的面积就等于正方形FEB的面积，即为10方厘米．【答案】100【固右是大小个方组的小方的长是厘，三形面．A

100平

4

4

【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】这道似乎缺少大正方的边长这个条件上题的结果与大正方形的边长没关系AD见右上图)，可以看出，三角形ABD三角形的都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形GD是角形与三角形ACD的共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG三角形面仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的积，等于4．【答案】8【固如，ABCD与AEFG为方，角ABH面为平方米图阴部的积为．

DC

CF

E

EH

G

AB

A

B【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】城实验【解析】如图，接AF，较与，于ABAD，FGFE，即与的与高分别相等，所以ADF面积相等，那么阴影部分面积与的面积相等，为平方厘米．【答案】6【固正形和正形CEFG，正方ABCD边长厘，则中影积多平厘？A

G

DFHB

C

E

C

【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】方法：三角形的面积梯形EFDC的积CDBEEF角形BEF的积，而四边形CEFH是们的公共部分，所以，三角形DHF的积角的面积，进而可得面积角形的面积角的面积50(方厘米．方法二：连接，那么行，所以，阴影面积角的积角形的面积平方厘)【答案】50【固已正形ABCD边长0，正方BEFG边长6求阴部的积

F

F

I

I

C

E【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】大附中考题【解析】如果意到为个正方形的对角线或者说一个等腰直角三角形的斜边)，么容易想到DF与是行的．所以可以连接CI、，上图．由于与平，所以DFI的积与DFC的积相等．而DFC的面积为0以DFI的积也为20【答案】20【32于CF的三之，角CHG的积于6平厘，五形ABGEF的积

12

20，

EFEA

DH

A

DHB

GB

G【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】杯赛，决赛【解析】连接、GF，由于ACGF平行，可知四边形构一个梯形．由于HCG面为平方厘米且CH等CF的分之一所CH等FH的根梯形蝴蝶定理或相似三角形性质可的积为平厘米，AHF的面积为平方厘米，AHC的面积为方厘米．那么正方形CGEF的积为方米，所其边长为6厘．又AFC的积为平厘米，所以(厘米)，即正方形的边长为厘米．那么，五边形ABGEF的积为：2

49.5平方厘．【答案】【33如图、分别梯的下BC和腰CD上点DF，并甲乙丙个三角面相．知形ABCD的面是平方厘．图阴部的积A

D乙甲

丙B

E

C【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】数报，决赛【解析】因为、丙两个三角形积相等，底F．以A到的离与到CD的离相等，即与CD平行，四边形ADCE是行边，阴影部分的面积行四边形ADCE面积的，所以阴影部分的面积的积．设甲、乙、的面积分别为份则阴影面积为2份梯形的面积为份从阴影部分的面积(平方厘米．【答案】【34如，知方的面，三角的积3，三形ACF的积，那三形ABC的积多？AF

AF

AFCB【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】方法：连接对角线AE．∵ADEF是方形

E

2246eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)824eq\o\ac(△,)2246eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)824eq\o\ac(△,)3∴DB3FC1∴，DE2BEDB5CE1∴，DEDE21∴S213∴S．方法二：连接，图知，所以，由4，好是AEF面积的一半，以C是EF的点因S，所以2.5【答案】6.5【35如，平四形中，FD．阴面与白面的．A

D

HF【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】方法：因为BEECFD，所以

1S，S．eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)四eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)四因为AD，以AGGE，12所以S，S．3361同理可得，S，．eq\o\ac(△,)ADHeq\o\ac(△,)四边111因为，以空白部分的面积)，221224831所以阴影部分的面积是．12:2，以阴影面积与空白面积的比1．3【答案】【36如所三形，是AB边的中，E是边的点AE，O为与BE的点若CEO面为a平方米面为平厘．b是平方米那么角的面是平方米

【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【关键词】机灵杯，五年级，复赛111【解析】，，所以SS2.5(平方厘224米．所以(平厘米．【答案】10

44【37如，梯ABCD中，ADBE，:EC2:3，且BOE的面比AOD面小10平方米梯的面是平厘．OEC【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答8【解析】根据意可知ADBE:8:6:9，，SS，41而S平厘米，所以S，则S40平厘米．9又，所以平厘米．88所以4075115(方厘米．梯【答案】115【固如，是梯形的条对线线与DC平行AE与BD相于点已三形的面比三形AOD的面积平方，且

25

BC．梯的面．A

DA

D

BECB【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】数报，初赛【解析】连接．据差不变原理可知三角形的面积比三形大平方米，而三角形ABD与角形ACD面相等，因此也与三角形面相等，从而三角形ABE的面积比三角形的大平方米．22但ECBC，以三角形的积是三角形的，从而三角形ABE的积是52(平方米，梯形ABCD的积为：12128(平方米)．3【答案】28【38如图示在方内出些线，知上三面分是13，，49．那图阴部的积多？49

A

35

E

13B

【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】三角形的积角形的积49)方面积影分面积；又因为三角

形ABC的面积角形面积阴影部分面积．

12

长方形面积，所以可得：【答案】97【39图是个条分为厘、12厘米13厘的角角．它的直边折斜上去斜相合那图的影分(即未被住部的面是少方米【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】如下，为了方便说明将某些点标上字母．C

有为角，而，以为直角VADE与VCED同，8所以面积比为底的比==的积为8的积为5VCEDEC5是由折叠而成，所以有VCED、VCDB面相等，由VADE、VCED、VCDB组，所以SV

5=“8“5“5”=“18”对为30，所以“1”份应为，么△ADE的面积为31平方厘米．即阴影部分的面积为13平方厘米．【答案】13

【40如，方的积平厘，ECDEF是的中．影部的积多平厘？

C【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】如下，连接，、VBFG的积相等，设为平厘;、的积相等，设为y平厘米，那么VDEF的积A

y方厘米．

DxF

y

EB

x

y

CSV

1xyV=x+y=l333

y0.5．所以有．较、①式，②式左边比①②式左边多x，②式右边比①式右边大有20.5，,．而阴影部分面积为

2y22y2

2y0.25平方厘米．312【答案】

512【41如三形地有条路AE和CF交处D张大常这条路知DFDC且ADDE．两地ACFCFB的面比是．

E

B

E

B

E

B

F

F

G

FA【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【关键词】年级，希望杯，复赛，试题【解析】方法：连接．

A设△的积为1，△的积x则根据题上说给出的条件由DFDC得S即△BDF的面积为、S;又有ADDE，S、Sx，x；得，以S:(22):(1．△

，y方法二：连接，设(份，则,设S有，解得，所以::(42△方法三：过F点∥BC交于点，由似得::DG1:1,又为ADDE，所以AG:GEAF:FB，以两块田地ACF和CFB的积比AF:2【答案】【42如，BC，21，被成个积等小三形那DID

．

H

IG

F

K

C【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【关键词】而思杯，六年级第题【解析】由题意可知，BD:BC

BAD

:S

ABC

2:9，所以BD

29

BC，BCBD35；又DI:DC

DIF

:

:，以DI

25

DC，同样分析得，DI24．【答案】24【固如，角MON的两边分有A、C、E、D、F六点并且、、BCDCDE、面都于，面等．

D

BACE

【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】华附中入学测试题【解析】根据意可知，:

:

1:1，以DFOD，．4444【答案】

34【43别直梯两边的且DQCP彼平若ADBC，，EB．阴部的积．Q

DM

Q

DM

CB

C【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】连接CE、．由于DQ、、彼平行，所以四边形C是形，且ME与梯形的两个底平行，那么三角形QME与DEM三形PME与CEM的面积分别相等所以三角形的面积与三角形DE的面积相等．而三角形CDE的积根据已知条件很容易求出来．由于ABCD为角梯形，且，BC，AE，以三角形DE的积的面为：15525．所以三角形PQM的面积为25．22【答案】25【44已为等边角，积400，、E、F分别三的点已甲乙丙面和143，求影边的积(丙三形HBC)A甲IJB

E

丙

【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【关键词】大附中分班考试题【解析】因为D、、F分别为三边的中点，所以、EF是角形ABC的位线，也就与对应的边平行面比例模型形和角形AMC面积都等于三角形ABC的半．根据图形的容斥关系，有，200，所以丙

．又S

，所以S阴影

甲乙

．【答案】43

【45如，知CD，DE，EF15，FG，线段将形成部，边分积，边分积65，么角ADG面是．

ACD

G

CD

E

G【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【关键词】四中入学测试题【解析】连接AF，．

B根据题意可知，CF27；DG28；所以，

1512217，S，S，S，27272821712于是：；；2827可得S40故三角形的积是．【答案】40【固如，D、E、F在线CG上已厘米DE厘，EF厘米厘米将整个形成下部，下部面是方米上部面是平厘米则三形的面是少方米

F

FA

E

B

A

E

BDC

DC【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【关键词】望杯【解析】连接AF设的面积x由于FEED8所以AFE的面积x△的是x由半部分的面积是166平方以的是(x)平方厘米下部分的面积是6平厘米所以△EBC的积是()平方厘米，因为FE是2倍以可以列方程为：(67)解，的面积为xxx平方厘米【答案】128【46如，方的长10，四形的积，么影分面是．A

A

N

E

G

E

GB

BFC【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答

【关键词】华考题【解析】如图示，设上的两个点分别为M、N．连接．根据面积比例模型CMF与CNF的积是相等的与BNF的积之和CNF与的积之和，即等于BCN的积．而BCN的面积为正方形面的一半，为

又的积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个边形的积，所以阴影部分的面积为：50．【答案】40【固如，方的长，影分面为，那么边的面是．A

A

N

E

G

E

GB

BFC【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】如图示，设上的两个点分别为M、N．接．根据面积比例模型CMF与CNF的积是相等的与BNF的积之和CNF与的积之和，即等于BCN的积．而BCN的积为正方形ABCD面的一半，为1122．2又的积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个边形的积，所以四边形EFGH的积为：【答案】6【47如所，方内阴部的积和70，，AD，四边EFGO的面积．AE

BF

【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】美杯，六年级，初赛【解析】利用形中的包含关系以先求出三角形AOE、和边形EFGO面积之和，以及三角形DOG的积之和，进而求出四边形EFGO的积．1由于长方形ABCD的积为15120三角形的积为三角形和43DOG的面积之和为；41又三角形AOE、和边形EFGO的积之和为120，所以四边形EFGO的积4为．另解体来看形EFGO的面积三角形面三角形BFD积色部分的面积，而三角形AFC面角形BFD面为长方形面积的一半，即，色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即12070，所以四边形的面积为．

形【固如所，形ABCD的积为24平方米三形与角的面之为平方厘，四形PMON的积平方厘．D

P

C

NOA

B【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】杯赛，初赛【解析】因为角形与三角形的面积之和是矩形ABCD的积的一半，12平厘米，又三角形与三角形BCN的积之和为7.8平方厘米三形AMO与三角形的面积之和是4.2平方厘米四形PMON面积角形ABP面角AMO与三角形BNO的积之和角形ABO面1.8(平厘)．【答案】1.8【固如所，形ABCD的积为36平方米四形PMON的面是3平厘，阴部的面是平厘．

P

A

B【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】因为角形ABP面为矩形ABCD的积的一半，即18平厘米，三角形ABO面为矩形ABCD1的面积的9平厘米边形PMON的积为3平方厘米以三角形AMO与角形BNO4的面积之和是1平厘米．又三角形ADO与角形BCO的面积之和是矩形的面积的一半，即平厘米，所以阴影部分面积为8(平厘)．【答案】12【固如图长方形ABCD的面积36E的三分，AE，则阴部分面为．

D

C【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】华附中【解析】如图连接OE．1根据蝴蝶定理，ONND::，以；22OM:MA::4，以S．111又，2，以阴影部分积为：32.7．32

【答案】2.7【48如，果方ABCD的面是平厘，么边MNPQ的面积多平厘？D

C

D

CN6

6

【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】清华附中，分班考试【解析】如图过M、分作长方形的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘积等于9平厘米NAMPBNQCP的积之和为边MNPQ56的面积等于，，解得x(方厘米)【答案】【49如，影分边的接形边长

10cm的正形则影部四形面是cm

2．

G

PQ

NM

A

E

B【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】日本，小学算术奥林匹克大赛，初赛【解析】如图示，分别过阴影边形EFGH的个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形M，知长方形MNPQ的面积为平厘．从图中可以看出图中四个空三角形的面积之和的2于AENHDHPG四个长方形的面积之和，等于正方形ABCD的积加上长方形的积，为1104平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和104平厘米，那么阴影四边形的积为10048平方厘米．【答案】48【固如，影分边的接形边为米正形则影分边的积多平方厘？

GC2

4

PNQMA

B【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】如图示，分别过阴影边形E的个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形M，

知长方形MNPQ的面积为4平厘米．从图中可以看出图中四个空三角形的面积之和的2于AENHBFMECGQFDHPG四个长方形的面积之和，等于正方形ABCD的积加上长方形的积为152平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和152平厘米，那么阴影四边EFGH面积为平方厘米．【答案】68【固已正形边为，EC，，SDDF

N

．

CE【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】如图作BMAE于M，BM于则四边形分为个角三角形和中间的一个长方形，其中的个角三角形分别与四边形周围的三角形相等所以它们的面积和相等而中间的小长方形的面积为所

2

53．【答案】53【50如，角AEF的面是7，DE、BF的度别1、3．长形的面．AB

A

BD

E【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】如图过作FH∥，E，FH、于M，接．则矩

AGAHSDEBF67

S

S

另解：设三角形ADE、CEFABF面积之和为s，则正方形ABCD面积为s．从图中可以看出，三角形ADE、CEF、ABF的积之和的2倍等于正方形ABCD的面积与长方形AGMH面积之和，即s50，所以正方形的面积为5067．【答案】67【51如长形中ABE分别、边的点那么三形DEF面的最值．CF

FBEB

22322232【关键词】两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛【解析】由于方形ABCD的积是一定的，要使三角形DEF面最小，就必须使、、CDF的面积之和最大．由于、BEFCDF都直角三角形，可以分过E、F作、CD的行线，可构成三个矩形ADME、CDNFBEOF，图所示．容易知道这三个矩形的面积之和等于BEF、CDF面积之和倍，而这三个矩形的面积之和又等于长方形ABCD的积加上长方形的积．所以为使、、的面积之和最大，只需使长方形的积最大．长方形MDNO的积等于其长与宽的积，而其长DM，宽DNCF，题知CF

BC

49，两个数的和定，差越小，积越，所以当与CF的0即AE与CF相时它们的积最大时长方形MDNO的积也最大所此时三角形面最小．当与相时，AECF48，时三角形的积为：

1717(也可根据2

43

得三角形DEF的积【答案】717【52ABCD是边为的正形如所，是部意点DM、DN那么影分面是．

A(P)L

K

KKDMC

D

DM

【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【关键词】资优杯【解析】（法1特殊点法．由是部任意一点，不妨设点A重合(上中图)，那么阴影部分就是和．AMN的积为，ALK的面积为20所以阴影部分的面积为120．（法）寻找可以利用的条件，连接AP、、、DP可右上图所示：11则有S

72同理可得：72;而:DMDC1:3即

1S；155同理：S,S;31212所以：

5())()(S)而(S

)

)S))141；所以阴影部分的面积是：

1()())3

2222即为：72242034．312【答案】34【53如所，四形中，E，F，，H分是ABCD各的点求影分四形PQRS

的积比D

DH

HA

AP

PE

R

Q

G

E

R

Q

GBF

CF

C【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】(法1)设S，S，S，．1连接知，，，；2所以

11SS；1同理．是；注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形；因此四块阴影的面积和就等于四边形的面积．(法2)特殊值法(只用于填空题、选择题，将四边形画成正方形，很容易得到结果．【答案】1:1【固如，E、F、G、分别四形ABCD各边中，FGFH于点，S、、分表四小边的积试较与的小

SS

GO

CSS

SS

GO

CSS

A

B

AE

B【考点】三角形的等高模型【度3星【型】解答【关键词】希望杯，二试，六年级【解析】如右，连接AO、、CO、DO则可判断出，每条边与O点构成的三角形都被分为面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于、这个不同的组合，所以可知．【答案】相等【54如，边ABCD中，DE::FC2:1，BG:GH:AH2:1，AD:2，知边形ABCD面等4则边形EFHG的面积

．

2222222BMD2222222BMD32E

F

C

E

F

CD

DA

H

A

HB【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】运用角形面积与底和的关系解题．连接、、、，为EF:FC3:2:1，:GHAH3:2:1，所以，1在ABC中SS，1在ACD中，1在中，S，1在CEG中，S．111因为SSS，222所以S．又因为

11所以4【答案】3

3，34．23【展如，于意边ABCD，通各边等点相连，到间边EFGH，四边EFGH的面是边ABCD的几分之？

BAE

KD

HP

【考点】三角形的等高模型【度5星【型】解答【解析】分层来考虑：2⑴如下左图，，，32所以SS)．又因为S，，1所以SS；

eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)

1．2

A

ME

F

B

K

J

A

E

N

F

B

KH

GD

P

O

P

C12⑵如右上图，已知BD，OKBD；以MJ:BD2；3所以:EO2，是等分点；同理，可知、、H都三等分点；所以再次应用⑴的结论，可知，S1【答案】9

11．33【55有三形，在AB、、CA的正间别点L、M、N，在、、上分取P、、R使，PM和、PM、QN的交分是、Y时使．时三形X的面积三形ABC的面的分几请出思过．

Z

R

【考点】三角形的等高模型【度4星【型】解答【关键】日本小学算数奥林匹克，决赛【解析】连接LN、、ML，然，是三角形将放至如图