八年级数学竞赛例题专题讲解5：和差化积

aa和差化积——因解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的力工具，在以后的学习中，因式分解是学习式、一元二次方程等知识的基础，其应用主体现在以下几个方面：1．杂的数值计算；

2．数式的化简与求值；3．单的不定方程（组．代数等式证明.有些多项式分解因式后结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结：1.

x2)(xx2)

;

2

x4x

;3.

；

4

1)(

；5.

3

3

3

)(

2

2

2

ab

．例题与求解【例1】

ab

0，a2

，那么

aa

的值为___________.【例2】，，是整，a，且

2

ab7，a等于

).A1

B－或－C1D.17【例3】：1

19971997219973

2）

)(4)(64)41(1)(3)(54)(74)(9)【例4】列方程的整数解．(1)

xy

;

(2)

x

2007

.【例5】

，ab2，下列各式值：(1)

2ab

2

；(2

a

2

2

；()

1a2

．【例6】一个自然数

a

恰等于另一个自然数的方，则称自然数为全立方数，如3

27就个全立方数．若＝1995199519951992，：

a

是一个完全立方数．abB2Ca，abB2Ca，1如，有三种片，其中边长为

a

A级的正方形卡片1张边长分为，的长方形卡片张边长为的正方形卡片9张用这16张片拼成一个正方形，则个正方形的边长为________．2.已

x

yxyxy4，4yxy

的值为_________

a3方程

x

2

的整数解_．

bb

4.如

x

2

m

是完全平方式，那么值为__________．5已

x

2

y

2

(

xy

)，

yx

的值()．A．2，

D

6当

x

y，

4

xy

3

3

yx

2

yxy

2

4

的值为．A1B0C2．7已知

a＞b＞c，M

2

2

c

2

，Nab

2

2

ca

2

，则M与的小()．A＜NB．＞N．M＝N不能确定8

n

为某一自然数，代入代式

n

中计算其值时，四个同算出如下四个结果，其中正确的结果只能)．A.CD9．算：1000999

3

2222311112

3(1)

1999

)

2222310.一自数

a

恰好等于另一个自然数

的平方，则称自然数

a

为完全平方数，如64＝8就一个完全平方数，若＝1998＋1998×＋，：

a

是一个完全平方数．11.知个实数

，b，，

，且

d

，若四个关系式

2

ac4,b

2

，

，

2

，同时成立(1求

a

的值；)分别求

，b，，d的．，，，，，，B级1．知

n是整数，且n

4

2

是质数，那么n____________.2．知三个质数

,

的乘积等于这三个质数和的5倍则

p

＝________3.已知正数

，，c满足ac

，则(＝.4．日常生活中如取款、上网等需要密码，有一种用“因式分解”法产生的码，方便记忆．原理是：如对于多项式

x

，因式分解的结果是

(xy)(xy)(x)

，若取

x

＝9，

y

＝9

时，则各个因式的值是：(xy)0,(x)18,(

2

y

2

)

，于是就可以把62作为一个六位数的密码对于多项式

x

xy

，取

x＝，

y

＝时，用上述法产生的密码是__________出一个可5．知

，b，是个三角形的三边，则

a

b

b

c

a

的值(．A恒

B恒负

C．可正可

D非负6．

x

是自然数，设

y4x3x

，则)．A

y

一定是完全平方数

B．在有限

x，y是全平方数C

y

一定不是完全平方数

D存在无多个

x，y是平方数7．程

x

2

2

的正整数解有()组．A3B．D8．程

x

的整数解有组．A2B．D89．＝

＋×

＋×69＋69＋569＋.试问有多少个正整数是的因数？．当我看到面这数学

33

3243

24

时，大会觉算题人用了运算法吧，因们知a3a3c

．但是，如果你动手计一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我还可以写出任意多个这种算式：33533371033333310你能发现以上等式的规吗？

，…kaka11按下面规则扩充新数已有

a，两，规则

cab

扩充一个新数，而以，，c三中任取两数，规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次.现和4，：按上述规则操作三次得扩充的最大新数；能否通过上