课堂教学重难点及其处理

课堂教学重难点及其处理第一页，共四十八页，2022年，8月28日（一）数学教学重点的含义与形成数学教学重点——指课堂教学的重点内容，课堂教学中需要解决的主要矛盾，是教学的重心。教学重点形成有三个方面：从学科知识系统而言，重点是指那些与前面知识联系紧密，对后续学习具有重大影响的知识、技能，即重点是学科知识体系中具有重要地位和作用的知识、技能；从文化教育功能而言，重点是指那些对学生具有深远教育意义和功能的内容，主要指对学生终生受益的学科思想、、精神和方法；从学生的学习需要而言，重点是指学生学习遇到困难，需要及时得到帮助解决的疑难问题。一、数学教学重点第二页，共四十八页，2022年，8月28日教学重点的意义：教学重点对于学生学习的好坏和教学质量的提高具有重要作用，教学中对重点内容不仅要求学生理解，还要求学生掌握和灵活运用，即重点对于教学具有突出的地位，教学设计时不论是教学目标的确定，教学活动的安排（包括教师的分析讲解，学生的交流讨论与巩固练习等），学生练习题的设计都应围绕重点进行。对重点内容练习的设计必须给出一定数量和不同层次的练习题，既要单项练习，还要变式练习和综合练习，这样才能对重点内容的巩固、理解和灵活运用。第三页，共四十八页，2022年，8月28日（二）如何确立教学重点1.地位作用分析法教材体系中具有重要地位和作用的知识、技能是教学重点。(1)“函数单调性”是函数的重要性质，在各种函数的研究中都会涉及到，而且也是比较函数值大小，求函数极值、最值以及证明不等式的重要工具，尽管大纲和考纲都把它列为了解层次，但由于它的独特地位与作用，因而必须是重点。（2）“基本函数的图像”，它既是初等数学中研究第四页，共四十八页，2022年，8月28日函数性质的重要工具和手段，也是数学解题中“数形结合”的重要思想方法，所以它是教学重点。（3）“向量”由于其具有数与形的双重特征，利用它处理数学中的许多问题，如长度，角度，平行和垂直比传统方法快捷、方便、有效，是数学学习研究的重要工具，因而是教学重点。第五页，共四十八页，2022年，8月28日2、课题分析法即根据学习内容的标题来确定教学重点。如“反函数的概念”，课标和考纲只要求了解，因而它不是章节重点，但在学习“反函数概念”一节课时它就是教学重点第六页，共四十八页，2022年，8月28日3、例、习题分析法重点内容的学习要求学生达到理解、掌握，灵活运用，因而教材一般都配备了一定数量的例、习题供学生练习和巩固并形成技能与能力。因此分析教材中例习题的配置可以确定教学重点。如大纲教材“两角和与差的正弦、余弦、正切”教材安排了两个例题，一个是倒用公式，一个是顺用和综合运用公式解题，课后练习和习题一共配有18个顺用、逆用，变用公式的习题。教材这样的配备就是要求学习者不但要能推导公式，了解公式的来龙去脉，而且要掌握公式的结构和特征，形成熟练运用的技能并形成能力。第七页，共四十八页，2022年，8月28日4.理论分析法根据数学学习理论，数学学习的关键在于理解，只有真正理解了意义，才能感悟和体会实质，因而对数学公式、定理课的教学之前应把概念含义的理解作为教学重点。第八页，共四十八页，2022年，8月28日（三）突出重点的基本方法现代教学理论认为,为了使学生掌握数学学科的基本结构和发展数学能力,培养良好的个性品质,数学课堂必须遵循展现思维过程的原则,其中包括概念的发生、发展过程，命题的形成过程，解题思路的探索过程和解题方法的概括过程。因此数学教学要突出的重点就必须通过思维过程的充分暴露加以实现。即实施过程教学，追求过程与结果统一。第九页，共四十八页，2022年，8月28日1.让学生充分的参与设计合理的产生形成过程，让学生参与归纳与概括，参与发现与探索，做知识的研究者和发现者，通过再创造，让学生获得知识和能力。正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说:“科学的顶峰总是创造性的发现.学习的过程也必须含有直接创造的侧面,即从学生的观点看是创造,通过再创造获得的知识与能力,要比以被动方式获得的,理解得更好,也更容易保持.”第十页，共四十八页，2022年，8月28日

案例：“虚数i开方运算”教学课例

师：我们对-1进行开平方运算时，引入了新数i，从而将实数集扩充到复数集。现在要对虚数i开平方，①是否又会出现别的新数呢？②如何对i开方呢？我们先解决问题②，如何对i开方？回到定义去，求i的平方根的意义是什么？生：在复数范围内求平方为i的数师：请把这个问题用一个数学式表达出来（数学化）生：设z=x+iy为i的平方根，其中x+iy∈C，那么有第十一页，共四十八页，2022年，8月28日师：这就回到我们熟悉的问题了，这是用代数形式的表述，如果用复数的三角形式又该如何表达这个问题呢？…注意：让学生充分参与，就不应是老师包办，教师要通过精心设计的问题链来实现。第十二页，共四十八页，2022年，8月28日2.有步骤的引入在体现必要性的前提下，逐步引入新知识，揭示引入的合理性，使之与学生的认知水平同步进行。即“知其然，知其所以然”。注入式教学正是忽视了这一环节，缩减了由感性到理性的过程如：“反正弦函数的引入”若上课一开始就讲反函数的定义，并引入“arcsin”，学生会毫无心理准备，感觉太突然，理解也不会透彻。参考设计：1、函数有反函数吗？能否缩小其定义域使其具有反函数？

2、函数在其定义域内有反函数吗？在怎样的区间上可使其有反函数？

3、正弦函数在的反函数叫反正弦函数第十三页，共四十八页，2022年，8月28日若记反正弦函数为，则问：它们存在吗？等于多少，在此基础上自然引出记号“”3.全方位的审视要使学生深刻理解，掌握重点知识，就必须引导学生从各个侧面对其进行深入认识。第十四页，共四十八页，2022年，8月28日案例：“反函数”审视1：反函数是函数，应满足函数的定义与特征要素审视2：反函数中的“反”如何体现：表达式；定义域；值域审视3：如何求一个函数的反函数？审视4：两个都是函数，函数有图象，图象有什么关系？审视5：两个都是函数，函数有性质，性质有什么关系？第十五页，共四十八页，2022年，8月28日案例2：函数的单调性审视1：增函数与减函数的定义差别？审视2：增函数与减函数的定义中关键字：任意、区间审视3：增函数与减函数的图象特点？审视4：如何判断一个函数是增函数还是减函数？审视5：如何证明一个函数是增函数还是减函数？第十六页，共四十八页，2022年，8月28日（4）多层次的练习对既是重点又是难点的概念、定理等教学内容，不仅要重视其形成、发现过程的教学，也要通过循环反复的螺旋递进的方式进行练习，使学生充分地领会，并学会应用。案例：“反函数”当看似孤立的问题运用“知识的重点”加以串联以后，就形成了具有密切联系的问题链，随着逐层深入的思考，对重点知识的认识就越加透彻，对知识的运用就更加灵活。第十七页，共四十八页，2022年，8月28日（5）变式运用

重要公式的教学，可以通过公式的正用、逆用、变用、连用等方式，在加强记忆同时增强思维的灵活性。案例：“两角和与差的正切公式”重要例题的讲授，可以通过对例题条件增减、或条件与结论的交换、或特殊到一般的推广、或几个例题的共性分析，促进思维的深刻性。第十八页，共四十八页，2022年，8月28日（6）多角度的联系通过知识内在联系的揭示，在拓展思维空间的同时进一步强化对新知识的认识。如：数列通项的理解——函数理解对概率古典概型的理解——集合理解指数与对数关系的理解——加与减、乘与除直线与圆的关系理解——几何（距离）、代数（方程组的解）数学知识的内在联系广泛存在于数学知识结构之中，重视其挖掘，在促进数学理解的同时，有利于培养思维的广阔性。第十九页，共四十八页，2022年，8月28日（7）适度的引申引申作为一种教学手段，能有效促进对重点知识的理解。例如正弦、余弦函数的奇偶性是该界教学的重点，如果蜻蜓点水般的得到结果，难以对三角函数图象形成充分的认识，应更深入揭示其一般规律：①函数奇偶性的实质是反映函数图象的对称性。②正弦、余弦函数的奇偶性分别说明它们是中心对称图形和轴对称图形。第二十页，共四十八页，2022年，8月28日可设置以下问题：①正弦还有别的对称中心吗？②余弦函数还有别的对称轴吗？③正弦函数的图形是轴对称图形吗？④余弦函数的图形中心对称图形吗？需要指出的是：重点内容的挖掘不是越深越好，要弄清教学要求的层次，有时挖掘得过深学生难以理解，反而削弱或淡化了重点。第二十一页，共四十八页，2022年，8月28日（8）分阶段巩固对于重点的教学内容，不能“毕其功于一役”，应该分阶段完成。如立体几何公理2（如果两个面有一个公共点……）就可以分成4个阶段完成：——首先用它指导作面面的交线和证明点共线——在讲空间直线位置关系时指导画线面的交点问题——在讲面面位置关系时介绍证明线共点问题——在讲多面体时用它指导作多面体的截面分阶段巩固还表现为对重点内容的一种定期检测、训练。第二十二页，共四十八页，2022年，8月28日二、关于教学难点(一)对教学难点的认识1.教学难点的含义：难点是指那些太抽象、离学生生活实际太远的、过程太复杂的、学生难以理解和掌握的知识、技能与方法。难点形成原因：一是该知识远离学生生活实际，学生缺乏相应的感性知识；二是该知识较为抽象，学生难以理解；三是该知识包含多个知识点，知识点过于集中；四是该知识与旧知识联系不大，旧知识掌握不牢或因大多数学生对旧知识遗忘所致。第二十三页，共四十八页，2022年，8月28日集合概念是难点：一是集合是原始概念，它不是由已有的其它概念来定义，因而学生头脑缺乏帮助其理解集合的其它概念；二是集合涉及的知识面广，所涉及的初中数学知识学生已有所遗忘；三是集合有关的新概念相应的符号、术语较多，这些新概念、新符号学生容易混淆，接受和理解都要困难。第二十四页，共四十八页，2022年，8月28日基本策略：对于原因一，应通过利用学生生活经验，充实感性知识得以突破；对于原因二，则应利用直观手段，尽量使知识直观化、形象化，让学生看得见摸得着。如数学归纳法理解用多米诺排骨形象化；对于原因三，则应分散知识点，各个击破；对于原因四，则应查漏补缺，加强旧知识的复习。第二十五页，共四十八页，2022年，8月28日（二）正确的估计难点教学难点因人而异，教师必须在研究教学对象的基础上正确估计难点。一般可以从以下几个方面去认识与估计难点：1.教学内容的抽象性与学生思维形象性之间的矛盾产生难点案例1：初二代数“无理数”一节无理数的概念是本节教学难点。主要原因是：无理数的概念十分抽象，需要有一定的抽象思维能力和初步的极限思想。而初中学生的抽象思维能力弱，主第二十六页，共四十八页，2022年，8月28日要还是以经验型的形象思维为主。案例2：高中“函数”一节。本节的教学难点是函数的概念。主要原因是：由于函数的概念涉及集合语言，其实质是集合之间元素的对应。教材采用了映射语言进行叙述，但在本节之前却没有先讲映射作为铺垫。因此需要学生具备一定的抽象思维与辨证思维能力。同时学生还要注意初高中函数概念的整合，这些特点对抽象思维能力较弱的高一学生而言确实较难理解。第二十七页，共四十八页，2022年，8月28日案例3：高中“双曲线的几何性质”一节。本节教学难点是双曲线的渐进线。主要原因：双曲线的渐进线看似形，却难以用形来描述，同时渐进线概念包含着极限思想。案例4：高中“极限的定义”一节。本节教学难点是极限的定义。主要原因：极限概念中ε—N的辨证关系难以让人理解，其次有限与无限的关系让人难以捉摸。第二十八页，共四十八页，2022年，8月28日2.教学内容的深化和学生思维定势之间的矛盾案例1：初中“一元一次方程的应用”一节。受小学定势思维——算术法解方程的影响，因而常想到列算式而忽视建立等量关系，从而成为教学难点。案例2：初中“不等式的性质”一节。受方程解法的影响，忽视不等号的变向而成为教学难点。案例3：高中“逻辑连接词”一节。难点为：对“或”的含义的理解。主要是容易与日常用语中“或”的含义混淆。第二十九页，共四十八页，2022年，8月28日3.教学内容之间的关系复杂案例1：“交集并集”一节。本节教学难点是交集并集的概念及它们之间的区别与联系。因为逻辑中的“且”与“或”只是一字之差，关系却很复杂。而且这种理解与日常理解有别。案例2：“一元二次不等式的解法”一节。本节教学难点是三个二次之间的关系。三个二次紧密联系，相辅相成，而且运用中又需要灵活处理第三十页，共四十八页，2022年，8月28日4.问题的解决途径难以探索案例1:“函数的单调性”.本节的教学难点是利用单调性的概念证明或判断函数的单调性.因为证明中需要通分、提取公因式等变形技巧，还需要分类讨论等思想方法，灵活性强。案例2:“四种命题”.本节的教学难点是反证法的理解与应用。因为反证法的理解虽说与逆否命题有密切联系，但也仅仅是浅层理解，而且推导矛盾的方式、方法多种多样，灵活性强。第三十一页，共四十八页，2022年，8月28日案例3:“两角和与差的余弦”.本节教学难点有2：其一是余弦和角公式的推导——证明思路难以探索；其二是和与差余弦公式的灵活应用——应用的方法、技巧很多。案例4:“正弦定理”.本节教学难点有2：其一是正弦定理的推导——证明思路难以探索；其二是正弦定理公式的灵活应用。第三十二页，共四十八页，2022年，8月28日（三）突破难点的策略1.发现性策略即将克服难点的过程组织成教师引导下的学生独立发现的过程,这样能较好发挥难点促进学生思维发展的作用。使用这一策略的条件是学生具备较好的基础知识、能力准备和较充裕的时间。案例1:“圆的切线的作法”.教学难点：切点的确定解决该问题可以设置以下启发问题：问题1：过P点的直线无数条，任作一条可以吗？第三十三页，共四十八页，2022年，8月28日问题2：设PA为切线，A为切点，则OA与AP有何关系？问题3：本题转化为在圆上找一点A，使OA⊥PA，怎样确定A点？问题4：在ΔOAP中，OP是已知的，要使∠OAP为直角，怎么办？

评注：上述问题设置：学生不但掌握了切线的作法，而且培养了分析、归纳、综合等逻辑思维能力。从技术层面而言，可归结为递推假设发现突破难点。第三十四页，共四十八页，2022年，8月28日2、举例归纳突破（从特殊到一半）案例1：“等差数列前n项和”教学难点：求和公式的推导；解决方法：高斯故事，钢管堆放……案例2：“二元一次不等式表示的平面区域”(必修5)问题1：将点(一1，3)，(2，2)，(3，一1)，(1，一2)，(4，1)，(O，4)代人直线L的方程2x+y-4=0的左边，其值是大于零?等于零?小于零?问题2：在直角坐标系中画出这些点和直线L，观察这些点是否在直线L上或在直线L的哪一侧?第三十五页，共四十八页，2022年，8月28日问题3：请你再取一些点试一试，你能得出哪些结论问题4：直角坐标系中，2x+y-4>0，2x+y-4<0表示的图形是什么?为什么?通过学生的尝试操作，举例归纳得出二元一次不等式表示平面上的一个区域，通过师生的共同探究，突破教学中的难点：为什么要分类?这样分类合理吗?第三十六页，共四十八页，2022年，8月28日3、操作演示突破案例：“圆周角定理”教学难点：定理的发现；解决方法：教师设置问题：一个圆周角所对应的弧有几条？一段弧所对应的圆周角有几个？圆心角有几个？第三十七页，共四十八页，2022年，8月28日（启发学生认识二者有某种关系）学生操作：自己画图，自己测量教师利用几何画板拖动A点，让学生观察圆心角和圆周角的变化情况（得到结论：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半）第三十八页，共四十八页，2022年，8月28日教师启发：由于有限次的实验得到的结论不一定可靠，更不能作为定理。我们不能逐一验证，有无办法证明？请大家观察演示，注意圆周角与圆心角有几种位置关系。从技术层面可归结为实验操作演示的观察突破第三十九页，共四十八页，2022年，8月28日4、类比迁移突破案例：“一元二次不等式的解法”教学难点：三个二次之间的关系解决方法：与三个一次关系类比，借助于图形……从技术层面可归结为类比突破、图形直观突破、特殊到一般归纳突破。第四十页，共四十八页，2022年，8月28日案例：二面角概念问题l：你能说出角的定义吗?你能说出几种?问题2：两个半平面之间有“夹角”吗?你能否类比角的两种定义分别给它下一个定义?问题3：如何刻画或度量二面角的“大小”?本例中的难点就是二面角、二面角的平面角概念的形成过程，教师在教学中正是通过类比迁移的方法，将新旧知识联系起来，使得难点不攻自破，当然这其中还需要辅之于实例演示、图形观察、方案论证、联系生活举出应用的例子等等。第四十一页，共四十八页，2022年，8月28日5、层层铺垫策略(阶梯式突破）层层铺垫策略并不是等难点充分暴露时才设法破解，而是采取有目的、有计划地进行分化、铺垫、分解等措施缓解问题的难度，使学生有序地度过思维障碍。采用这种方式，有时需要有意设计递进式教学环节；有时需要因势利导，旁敲侧击。第四十二页，共四十八页，2022年，8月28日案例1：再将上述推广到一般从技术层面可归结特殊到一般归纳突破。从本质上将单调性的定义、等差数列、等比数列的定义也是一种铺垫第四十三页，共四十八页，2022年，8月28日案例2：铺垫1：问题：已知A（1，1）和B（2，3），试在X轴上求一点P，使|PA|+|PB|最小.几何意义

从技术层面可归结为图形直观突破6.提示性策略即在解决问题的过程，教师适当提示解决问题