2022-2023学年天津市高二上期末考试数学模拟试卷及答案解析

2022-2023学年天津市高二上期末考试数学模拟试卷

一.选择题（共9小题）

1.（2017•沈阳一模）抛物线，=4y的焦点到准线的距离为（）

A.1B.2C.4D.8

2.（2015•资阳模拟）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的

题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的工是

7

较小的两份之和，问最小一份为（）

A.5B.坨C.§D.H

3366

3.（2012•河北区一模）等差数列｛即｝的前〃项和为S，己知45=8,53=6,则S10-S7的值

是（）

A.24B.48C.60D.72

4.（2020秋•河西区期末）已知数列｛斯｝满足ai=2,a=2-----，则“5=（）

n^n-1

A.AB.1C.5D.5

5646

5.（2020秋•和平区期末）已知双曲线£_工£=1的一个焦点在直线x+2y=5上，则双曲线

a2°

的渐近线方程为（）

A.尸土mB.尸土&C.y=D.y—±

4334

6.（2020秋•安顺期末）如图，在四面体048c中，。是的中点，G是4。的中点，则工

等于（）

A.yOA+|oB-^OCB.yOA^OB-t^OC

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c--70A-4-0B-40Cd-颉^4■祈小前

244446

7.（2020秋•和平区校级期末）已知圆（x-1）2+（j+2）2=9的一条直径通过直线2x+y-4

=0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（）

A.x+2y-5=0B.x-2y-5—0C.x-2y+5—0D.x+2y+5—0

8.（2020秋•河西区期末）已知函数y=/（x）,其导函数y=/（x）的图象如图，则对于函

A.在（-8,0）上为减函数B.在x=0处取得最大值

C.在（4,+8）上为减函数D.在x=2处取得最小值

9.（2020秋•天津期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另

一条直线距离的最小值.在长方体中，48=1,BC=2,44i=3,则异

面直线AC与8cl之间的距离是（）

A.返B.近C.返D.反

5767

二.填空题（共6小题）

10.（2020•葫芦岛模拟）记S”为递增等比数列｛斯｝的前〃项和，若Si=l,S4=5S2，则斯

11.（2020秋•天津期末）某科技小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，

若X表示选出女生的人数，则P（X=2）=.

12.（2020秋•滨海新区期末）已知直线/与平面a平行，直线/的一个方向向量为

u=（l,3,z>向量1=（4,-2,1）与平面a垂直，则2=--------

13.（2020秋•河西区期末）已知数列｛〃“｝的通项公式aS,为其前〃项的和，则

n2工

n+n

*$99=•

14.（2020秋•天津期末）已知2两点的坐标分别是（-2,0）,（2,0）,直线4W,BM

相交于点且直线的斜率与直线的斜率的差是4,则点A/的轨迹方程为.

15.（2015•武汉模拟）若直线y=x+b与曲线夕=3-4?有公共点，则b的取值范围

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是.

三.解答题(共4小题)

16.(2020秋•天津期末)设｛斯｝为等差数列,Sa为数列｛0｝的前"项和,已知。4=1,S15

=75.

(I)求数列｛斯｝的通项公式；

S

(II)求数列卜上｝的前n项和Tn.

n

22

17.(2020秋•和平区校级期末)已知椭圆C：Fi，乃分别为椭圆的左、右焦

43

点，P为椭圆上任意一点.

(1)若|—乃|-|刊囹=1，求△尸尸1尸2的面积；

(2)是否存在直线/,使得当/经过椭圆左顶点4且与椭圆相交于点8,点D与点B关

于X轴对称，满足而•丽=-型，若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

7

18.(2020秋•和平区期末)如图，四棱锥尸-ZSC。中，/8CD为正方形，PO_L平面/BCD,

PD=DC=2,E是PC的中点.

(1)证明：以〃平面BDE；

(2)求平面3OE与平面。EC的夹角的余弦值.

19.(2020秋•河西区期末)己知函数f(x)=/-/〃(x+2).

(1)求/(x)在(0,/(0))处的切线方程；

(2)求证：f(x)>0.

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2022-2023学年天津市高二上期末考试数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共9小题）

1.（2017•沈阳一模）抛物线/=4y的焦点到准线的距离为（）

A.1B.2C.4D.8

【考点】抛物线的性质.

【专题】计算题；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】根据题意，由抛物线的标准方程可得抛物线的焦点坐标和准线方程，进而可得

焦点到准线的距离，即可得答案.

【解答】解：根据题意，抛物线的方程为：『=令，

其焦点坐标为（0,1）,准线方程y=-l,

则其焦点到准线的距离为2；

故选：B.

【点评】本题考查抛物线的几何性质，关键是利用标准方程求出抛物线的焦点坐标以及

准线方程.

2.（2015•资阳模拟）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的

题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的工是

7

较小的两份之和，问最小一份为（）

A.5B.IP-C$

336

【考点】数列的应用.

【专题】计算题；数学运算.

【分析】设五个人所分得的面包为。-2d,a-d,a,a+d,a+2d,（d>0）；则由五个人

的面包和为100,得。的值：由较大的三份之和的工■是较小的两份之和，得d的值；从而

7

得最小的一份a-2d的值.

【解答】解：设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,（其中d>0）；

贝I」，（a-2（/）+（a-d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=100,.,.a^20；

第4页共42页

lij—（a+a+d+a+1d）—a-2d+a~d>得3a+3d=7（2a-3d）；/<24d=Ila,.'.i/—55/6；

7

所以，最小的1分为a-2d=20-出=旦.

63

故选：A.

【点评】本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易

得出结果.

3.（2012•河北区一模）等差数列｛斯｝的前“项和为S”，已知“5=8,53=6,则Sio-$7的值

是（）

A.24B.48C.60D.72

【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和.

【专题】计算题.

【分析】利用条件卷=8,S3=6,计算等差数列的首项，公差，进而可求Sio-曲的值

【解答】解：设等差数列的首项为m,公差为d

•/45=8，S3=6,

（a1+4d=8

a[+4]+d+aj+2d=6

.71=0

[d=2

.*.5io-S7=〃8+Q9+QIO=3QI+24d=48

故选：B.

【点评】本题以等差数列为载体，考查等差数列的通项，考查数列的和，属于基础题.

4.（2020秋•河西区期末）已知数列｛斯｝满足ai=2,a=2^—-—，则。5=（）

nan-l

A.AB.工C.$D.5

5646

【考点】数列递推式.

【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算.

【分析】利用题设条件逐项代入求得结果即可.

【解答】解：：ai=2,a=2——-

nan-l

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.♦.42=2-旦，03—2-44=2-3=红，怨=2-1=立,

2223A435

234

故选：A.

【点评】本题主要考查由数列的递推关系式求数列中的项，属于基础题.

5.（2020秋•和平区期末）已知双曲线与_匚=1的一个焦点在直线x+2y=5上，则双曲线

a2°

的渐近线方程为（）

A.尸土mB.尸土当C尸土婴，尸土乎

43

【考点】双曲线的性质.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【分析】根据题意，分双曲线的焦点位置以及直线的方程分析可得双曲线的焦点坐标，

结合双曲线的性质可得9+〃2=25,解可得a,即可得双曲线的方程，进而计算可得双曲

线的渐近线方程，即可得答案.

【解答】解：根据题意，双曲线/_工£=1的焦点在x轴上,

a29

而直线x+2y=5与不轴交点为（5,0）,则c=5,

进而有9+Q2=25,

解可得a2=16,

22

则双曲线的方程为：江一匚二1，

169

其渐近线方程为：y=土当；

4

故选：A.

【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线焦点的位置.

6.（2020秋•安顺期末）如图，在四面体O/8C中，。是8c的中点，G是/。的中点，则无

等于（）

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o

A-yOA+yOB-^OCB-yOA^OB-^OC

c-yOA^OB-f^OCD--10A+1-0B-f^-0C

【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示.

【专题】转化法；平面向量及应用；空间向量及应用；直观想象.

【分析】在四面体。/8C中，。是8c的中点，G是/。的中点，可得0G=L（OA+OD），

2

0D=A（OB+OC）.即可得出.

2

【解答】解：在四面体0/8C中，。是8C的中点，G是的中点，

则说=工（OA»-OD）>OD=—<OB+OC）.

22

•••OG=^OA+^O^^OC.

244

故选：c.

【点评】本题考查了空间向量运算性质、平面向量平行四边形法则，考查了推理能力与

计算能力，属于基础题.

7.（2020秋•和平区校级期末）已知圆（x-I）2+（尹2）2=9的一条直径通过直线2x+y-4

=0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（）

A.x+2y-5=0B.x-2y-5=0C.x-2y+5=0D.x+2y+5=0

【考点】直线与圆相交的性质.

【专题】整体思想；设而不求法；直线与圆；数学运算.

【分析】由圆的方程可得圆心坐标，将直线与圆的方程联立可得两根之和，进而可得弦

的中点的坐标，直径过圆心和弦的中点可得直线方程.

【解答】解：由圆（x-I）2+（y+2）2=9的方程可得圆心坐标为（I,-2）,

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v=-2x+4

联立直线2x+y-4=0与圆(x-1)2+(y+2)2=9可得：＜,

(x-1)2+(y+2)2=9

整理可得：5/-26x+28=0,所以％]+x2=竺"，6+72=-2(XI+JQ)+8=-

55

所以弦的中点坐标为：(迫，一旦)，

整理可得：x-2y-5=0.

故选：B.

【点评】本题考查直线与圆的综合，及求直线的方程的方法，属于中档题.

8.(2020秋•河西区期末)已知函数y=/'(x),其导函数(x)的图象如图，则对于函

数y=/(x)的描述正确的是()

A.在(-8,0)上为减函数B.在x=0处取得最大值

C.在(4,+8)上为减函数D.在x=2处取得最小值

【考点】变化的快慢与变化率.

【专题】计算题；函数思想；数形结合法；导数的综合应用.

【分析】结合图象，求出函数的单调区间，在判断函数的最值.

【解答】解：当0<x<2或x>4时，f(x)<0,故函数/(x)在(0,2),(4,+°°)

上单调递减，

当2VxV4或xVO时，f(x)>0,故函数/(x)在(2,4)(-8,。)上单调递增，

当x=0或x=4时函数取的极大值，

，函数/(x)最大值为，max{f(0),/(4)),

无最小值，

故选：C.

【点评】本题考查了导数和函数的单调性和极值，最值的关系，属于中档题.

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9.(2020秋•天津期末)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另

一条直线距离的最小值.在长方体力88-m81。。|中，48=1,BC=2,44=3,则异

面直线/C与8。之间的距离是()

A.返B.且C.返D.A

5767

【考点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算.

【专题】计算题；转化思想；向量法；空间向量及应用；数学运算.

【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，然后再求出直线C/和8G

的公垂线的方向向量，利用异面直线/C与5Ci之间的距离公式求解即可.

【解答】解：以。为原点建立空间直角坐标系如图所示，

则O(0,0,0),A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),Ci(0,1,3),

所以以=(2,-1,0),西=(-2,0,3)，

设C4和8。的公垂线的方向向量为二=(x,y,z>

一

则有1_n_*_C__A__=.0，即1*(9yv-vu=0,

n•BC।=0l-2x+3z=0

所以W=(3,6,2)'

又屈=(0,1,0)

所以异面直线4c与BCi之间的距离d=|吗2|=/I犬

In|V32+62+227

故选：D.

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【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，涉及了异面直线之间的距离计算，

解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行研究.

二.填空题（共6小题）

10.（2020•葫芦岛模拟）记S”为递增等比数列｛斯｝的前〃项和,若Si=LS4=5S2，则即

-2"-1.

【考点】等比数列的前n项和.

【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；数学运算.

【分析】利用等比数列前“项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出通项公

式.

【解答】解：为递增等比数列｛“”｝的前〃项和，Si=l,54=552,

，al=Sl=1

a.（1-q4）ai（1-q2）'旦夕

—-----=5X—-----

1-q1-q

解得m=l,q=2,

n

.".an=2

故答案为：2"I

【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查

运算求解能力，属于基础题.

II.（2020秋•天津期末）某科技小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，

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若X表示选出女生的人数，则尸（x=2）=_芯」.

56

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【分析】基本事件总数〃=C3,X表示选出女生的人数，则X=2包含的基本事件个数机

=以吗由此能求出P（X=2）.

【解答】解：某科技小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，

基本事件总数n—「3=56,

若X表示选出女生的人数，则X=2包含的基本事件个数w=c!cg=15，

uJ

则尸（X=2）=史=型.

n56

故答案为：15.

56

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

12.（2020秋•滨海新区期末）已知直线/与平面a平行，直线/的一个方向向量为

u=（l,3,z>向量1=（4,-2,1）与平面01垂直，贝lz=」.

【考点】共线向量与共面向量.

【专题】方程思想；定义法；空间位置关系与距离；数学运算.

【分析】推导出向量工二（1,3,z）与向量1二（4,-2,1）垂直，从而u・v=0，由此能

求出Z.

【解答】解：・・•直线/与平面a平行，直线/的一个方向向量为三二（1,3,z>

向量［二（4,-2,1）与平面a垂直，

u*v—4-6+z—0,

解得z=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

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13.(2020秋•河西区期末)己知数列｛“”｝的通项公式aS,为其前〃项的和，则

n2工

n+n

S99=_其一

100

【考点】数列的求和.

【专题】转化思想：综合法；等差数列与等比数列：点列、递归数列与数学归纳法；逻

辑推理；数学运算.

【分析】直接利用数列的通项公式，利用裂项相消法的应用求出数列的和.

【解答】解：数列｛斯｝的通项公式aq^=工」_,

n2,口n+1

n+n11

所以S=1」+^--"■-=1—=n>

n223nn+1n+1n+1

9999+1100

故答案为：

100

【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，裂项相消法在求和中的应用，主要考

查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

14.(2020秋•天津期末)已知/,8两点的坐标分别是(-2,0),(2,0),直线BM

相交于点〃，且直线4W的斜率与直线8〃的斜率的差是4,则点M的轨迹方程为上

=4-F(xW±2).

【考点】轨迹方程.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【分析】设尸(X,了)，kAM-kBM-4,由此能求出动点P的轨迹方程.

【解答】解：设"(x,y),

贝11kBM-kAM=------=-4,

x-2x+2

整理得y=4-/(x#±2),

，动点尸的轨迹方程是y=4-x2(xW±2).

故答案为：y^4-x2(xW±2).

【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，注意直线的斜率公式的合理运用，是中档题.

15.(2015•武汉模拟)若直线y=x+8与曲线y=3-^4x-x2有公共点'则人的取值范围是

3.1..

【考点】直线与圆的位置关系.

第12页共42页

【专题】数形结合；直线与圆.

【分析】曲线即(x-2)2+(厂3)2=4(lWyW3),表示以4(2,3)为圆心，以2

为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2,解得6=1+2近6=1-

2亚.结合图象可得b的范围.

【解答】解：如图所示：曲线》=3-4不，即了-3=-优二I

平方可得(%-2)2+(j-3)2=4(lWyW3,0WxW4),

表示以4(2,3)为圆心，以2为半径的一个半圆.

由圆心到直线y=x+6的距离等于半径2,可得11学吐=2,；.6=1+2&,或6=1

-2瓜

结合图象可得1-

故答案为：[1-25/2,3].

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的

数学思想，属于中档题.

三.解答题(共4小题)

16.(2020秋•天津期末)设｛即｝为等差数列,a为数列｛斯｝的前〃项和，已知04=1，515

=75.

(I)求数列｛斯｝的通项公式；

S

(II)求数列卜二)的前«项和Tn.

n

【考点】数列的求和.

【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算.

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【分析】（I）首先利用等差数列的定义求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项

公式；

（II）利用（I）的结论，和构造的新数列求出数列的和.

【解答】解：（1）设首项为0,公差为d的等差数列，满足44=1，515=75,

'aI+3d=lf

所以：，15X14，解得1>

15a/2d=751d=l

所以a=n-3,

ns

（H）由（I）得：-^-=aj+^（n-l）d=-2+^~（n-l）,

由于2生金k=L（常数），

n+1n2

所以数列｛金巴｝是以-2为首项，工为公差的等差数列.

n2

所以Tn

【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，主要考查

学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

22

17.（2020秋•和平区校级期末）已知椭圆C：=上=1,Fi，尸2分别为椭圆的左、右焦

43

点，尸为椭圆上任意一点.

（1）若|尸Fi|-|尸尸2|=1，求△尸尸1尸2的面积；

（2）是否存在直线/,使得当/经过椭圆左顶点/且与椭圆相交于点8,点。与点8关

于X轴对称，满足而•丽=-型，若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

7

【考点】椭圆的性质；直线与椭圆的综合.

【专题】计算题：整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【分析】（1）根据椭圆的定义可求出1PB尸尸2|的值，得到△尸尸1尸2为直角三角形，从而

求出的面积；

（2）直线/的斜率显然存在，设直线/的方程为：y=k（x+2）,与椭圆方程联立，利用

韦达定理求出点8的坐标，进而得到点。的坐标，代入丽•丽=-型，求出发的值，

7

从而求出直线/的方程.

第14页共42页

|PF/+|PF2l=4

【解答】解:(1)由题意可知.

iPFj-lPFshl'

解得：i|=a,\PF2\=1,

22

又•••|尸1五2|=2,

•••|PF1|2=肘2产+恒江2I,即尸产」F1尸2,

.".RtAPFiF2的面积为/X2X-1=-|-

(2)由题意可知/(-2,0),

直线/的斜率显然存在，设直线/的方程为：y=k(x+2),

'y=k(x+2)

联立方程1/2，消去y得：(3+4、)f+16Fx+16F-12=0,

I--4--4---3--=11

•门16k2-12.6-8k2

•--2X=----------^-，"Xp=----5，

BR3+4k2B4k2+3

.,6-8k2

z12k

,,y=k(~~2-+2)=

B4k?+34k2+3

：.D(且邛k<--12k

4k2+34k2+3

,­,05-00=>

7

2

...(6-8k)2,-144k2h_20

4k2+3(4k2+3)27

整理得：16抬-25/+9=0,

解得：k=±l或4=+3,

一4

"-y=±(x+2)或尸+—(x+2)，

即存在直线/满足题意，直线/的方程为:x->+2=0或x+j，+2=0或3x-4y+6=0或3x+4y+6

=0.

【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，是中档题.

18.(2020秋•和平区期末)如图，四棱锥中，4BCD为正方形,P£)_L平面N5CZ),

PD=DC=2,E是PC的中点.

第15页共42页

(1)证明：必〃平面BDE；

(2)求平面8OE与平面。EC的夹角的余弦值.

【考点】直线与平面平行；二面角的平面角及求法.

【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角：数学建模；数学运算.

【分析】(1)连接ZC,交BD于点O,连接0E,推导出OE〃必，由此能证明以〃平

面BDE.

(2)以。为原点，。/为x轴，。。为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向

量法能求出平面8DE与平面。EC的夹角的余弦值.

【解答】解：(1)证明：连接/C,交8。于点O,连接OE,

•.738为正方形，是4C的中点，

是PC的中点，J.OE//PA,

:以C平面8DE,OEu平面

〃平面BDE.

(2)以。为原点，为x轴，。。为夕轴，D尸为z轴，建立空间直角坐标系，

则8(2,2,0),D(0,0,0),E(0,1,1),C(0,2,0),

DB=(2,2,0),DE=<0,1,1),

设平面8DE的法向量口=(x,y,z),

则=2x+2y=0,设尸］,则若=⑷…

,n*DE=y+z=0

平面。EC的法向量7=(1,0,0),

设平面BDE与平面DEC的夹角为仇

mWn

则cos6"•J；J—=_^=义?，

ImITnIV33

平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值为返■.

3

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E

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线

面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

19.(2020秋•河西区期末)已知函数/(x)=/_/〃(x+2).

(1)求/(x)在(0,/(0))处的切线方程；

(2)求证:f(x)>0.

【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算.

【分析】(1)求出函数的导数，计算/(0),f(0),求出切线方程即可；

(2)求出函数的导数，根据导函数的单调性得到存在冲€(-1,0),使得/(xo)=0,

x

求出e、°=---，xo=-In(xo+2),求出/(x)而〃=/(xo)=eo-In(xo+2)=―-■+xo,

x0+2x0+2

结合基本不等式的性质证明即可.

【解答】解：⑴V/(x)(x+2),

：.f(x)1,/(0)=A,/(0)=1-Ini,

x+22

故切线方程是：y-1+/〃2=工;，

2

即、=工丫+1-/〃2；

2

(2)证明：函数/(%)的定义域是(-2,+8),

f(x)=产-——,f”(x)=产+------->0,

x+2(x+2)2

故/(x)在(-2,+8)单调递增，

而/(0)=工/(-1)=-1-1<0,

2e

故存在xow(-1,0),使得/Go)=0,

故“0=_1,比=-in(xo+2),

x0+2

故/(x)在(-2,xo)递减，在(xo,+°°)递增，

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故f(x)min—f(xo)=xo-In(xo+2)=—--H-XO+2-2>2-2=0,

Xo+2

故原命题得证.

【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以

及不等式的证明，考查转化思想，是一道中档题.

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考点卡片

1.变化的快慢与变化率

【知识点的知识】

1、平均变化率：

我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y=/（x）来说，当自变量x由不变化

到X2时,其函数y=«x）的函数值由火XI）变化到火X2），它的平均变化率为——2-------1—.把

x2~xl

（X2-XI）叫做自变量的改变量，记做△》；函数值的变化/（X2）-/（XI）叫做因变量的改

变量，记做函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即

△y=f（x2）-f（XI）

Axx2~xl

2、瞬时变化率：

变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x=X2-XI，△y=/（X2）-/（XI）,则函数的平

均变化率为：二"上1）.、当趋于0时，平均变化率就趋于函数在XI

△xAx

点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率.

3、导数的概念：

函数/（X）在x=xo处时的瞬时变化率是函数（X）在x=xo处的导数，记作/（X0）

或V,[*=0，即

f(x0+Ax)-f(XO)

(xo)=li=li

m△x企

X-*Ox-*02-iX

【典例例题分析】

典例1：一质点的运动方程是5=5-3落则在一段时间［1,内相应的平均速度为（）

A.3A?+6B.-3A/+6C.3A?-6D.-3A?-6

分析：分别求出经过1秒种的位移与经过秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均

速度=位移+时间，建立等式关系即可.

［53（1+At）］［53><12］

解：V=-2；--6-3Af

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故选D

点评：本题考查函数的平均变化率公式：f(x+Ax)-f(x).注意平均速度与瞬时速度的区

Ax

别.

典例2：一质点运动的方程为s=8-3?.

(1)求质点在口，"△A这段时间内的平均速度；

(2)求质点在(=1时的瞬时速度(用定义及求导两种方法).

分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题.在解答时：

(1)首先结合条件求的然后利用平均速度为A且进行计算即可获得问题的解答；

At

(2)定义法：即对平均速度为&■当△/趋向于0时求极限即可获得解答；求导法：1=1

At

时的瞬时速度即s=8-3於在f=l处的导数值，故只需求f=l时函数S=8-3户的导函数值

即可获得问题的解答.

解答：由题意可知：

(1)。=8-3»

.,.△5=8-3(1+A/)2-(8-3X12)=-6A/-3(Ar)2,

质点在［1,这段时间内的平均速度为：~=,A|.=_6_3Af

(2)定义法：质点在f=l时的瞬时速度为丫=卜皿半巨=lim(-6-3At)=-6.

求导法：质点在f时刻的瞬时速度v=s'⑺=(8-3於))=-63

.,.当1=1时，v=-6Xl=-6.

点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系.对位移s与时间，的

关系式求导可得瞬时速度与时间/的关系.根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，消

按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求.值得同学们体会和反思.

【解题方法点拨】

瞬时速度特别提醒：

①瞬时速度实质是平均速度当△/-()时的极限值.

②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限,

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函数y=/（x）在x=xo处的导数特别提醒：

①当△》一（）时，比值第的极限存在，则/（x）在点刈处可导；若冬的极限不存在，则

f（x）在点x（）处不可导或无导数.

②自变量的增量△x=x-xo可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△xWO.而函数

的增量可正可负，也可以为0.

③在点x=xo处的导数的定义可变形为：

f（X）f（Xo）

f（xo）=lim（x）或/（xo）=lim­

导函数的特点：

①导数的定义可变形为：f（X）=lim（X）；

Ax~*-Q-△x

②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；

③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；

④并不是所有函数都有导函数.

⑤导函数，（X）与原来的函数/（X）有相同的定义域（a,b）,且导函数，（X）在X0

处的函数值即为函数/（X）在点划处的导数值.

⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）.

2.利用导数研究函数的最值

【利用导数求函数的最大值与最小值】

1、函数的最大值和最小值

观察图中一个定义在闭区间［。，3上的函数/（X）的图象.图中/（XI）与/（X3）是极小值，

/（X2）是极大值.函数/（X）在［a,&上的最大值是/（6）,最小值是/（XI）.

一般地，在闭区间口，6］上连续的函数/（x）在［a,6］上必有最大值与最小值.

说明：（1）在开区间（a,b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值.如函数/（x）

=工•在（0,+8）内连续，但没有最大值与最小值；

X

（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的：函数的极值是比较极值点附近函数

值得出的.

（3）函数/（x）在闭区间口，包上连续，是fG）在闭区间［a,a上有最大值与最小值的充

分条件而非必要条件.

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(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，

也可能没有一个

2、用导数求函数的最值步骤：

由上面函数/(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进

行比较，就可以得出函数的最值了.

设函数/(x)在口，可上连续，在(a,b)内可导，则求/(x)在［a,々上的最大值与最小

值的步骤如下：

(1)求/(x)在(a,b)内的极值；

(2)将/(x)的各极值与/(〃)、/(6)比较得出函数/(x)在口，0上的最值.

【解题方法点拨】

在理解极值概念时要注意以下几点：

(1)按定义，极值点xo是区间口，切内部的点，不会是端点a,b(因为在端点不可导).

(2)极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的

连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能

大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比

极小值大，极小值不一定比极大值小.

(3)若/(x)在(a,b)内有极值，那么/(x)在(a,b)内绝不是单调函数，即在区间

上单调的函数没有极值.

(4)若函数f(x)在句上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个

极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，

当函数/(x)在口，切上连续且有有限个极值点时，函数/(X)在口，村内的极大值点、极

小值点是交替出现的，

(5)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的

点也可能是极值点，也可能不是极值点.

3.利用导数研究曲线上某点切线方程

【考点描述】

利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能

力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的

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基本点，所以在高考出题时备受青睐.我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切

线的斜率：第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式

把直线方程求出来.

【实例解析】

例：已知函数y=x/〃x,求这个函数的图象在点x=l处的切线方程.

解：k—y'\x=\—ln\+\—\

又当x=l时，y=0,所以切点为(1,0)

,切线方程为y-0=1X(x-1),

即y=x-1.

我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三

步利用点斜式求出直线方程.这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结.

4.等差数列的性质

【等差数列】

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差

数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示.等差数列的通项公式为：an