2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第04讲相似三角形的判定一解析版

第4讲相似三角形的判定

N相似三角形的定义与书写

一相似三角形的传递性与预备定理

知识梳理一

J相似三角形的判定定理1：简记AA

J相似三角形的判定定理2：简记SAS

r~利用判定定理三角形相似的判断与证明

题型探究：——选条件或添条件得到相似三角形

I根据三角形相似求长度、比例等

课后作业

@知识梳理

1.相似三角形的定义

如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这

两个三角形叫做相似三角形.

由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似.用符号来表示，记作AADESAABC,其中点A与点A

、点。与点3、点E与点C分别是对应顶点：符号“S”读作“相似于”.

用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“A”后相应的位置上.

根据相似三角形的定义，可以得出:

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的

相似比（或相似系数）.

（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.

（3）设A48C与入4'。'£的相似比为％,AA7XE'与AA8C的相似比为,，当两个相似三角形的相

k

似比上1时，这两个三角形就成为全等三角形.全等三角形一定是相似三角形，全等三角形是相似三角形

的特例.

注意：两个相似三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关.

2.相似三角形具有传递性（判定方法）：

如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.

符号语言：

VAA2B2C2AAABC^AA2B2C2（相似三角形的传递性）

3.相似三角形的预备定理

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.

MBCSMDESABC^^ADEMBCSMED

4.相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.

可简述为：两角对应相等，两个三角形相似.

如图，在AABC与A4,4G中，如果Z4=NA、ZB=ZB,,那么AABCSA4SG.

5.相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这

两个三角形相似.

可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.

ARAr

如上图，在A4BC与A4,用G中，NA=乙4,，----=-----，那么AABCBC.

A4AGtt

常见模型:

题型一、相似三角形的判定与证明

【例1】(1)根据下列条件判定AABC与ADEF是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号表示出

来.

(1)ZA=/O=70°,ZB=60°,ZE=50°；

(2)ZA=40°,Zfi=80°,ZE=80°,NF=60°.

【答案】(1)相似，MBCs^DFE;(2)相似，MBCs^DEF.

【解析】(1)因为三角形内角和180。,

可得NC=50o=NE,又因为NA=ND=70。,

在AABC和M)FE中,

4=4▼

，所以AABCsADFE;

4=W

(2)因为三角形内角和18()。，

可得NC=60°=NF,又

在AA3c和△£)尸£中,

4二4

，所以A43CsADFE；

4=4

(2)如图，E是平行四边形ABCD的边54延长线上的一点，CE交AD于点、F.图中有哪几对相似三角形？

【答案】3对，AEAFs^EBC,AAEFs^DCF,AEBCs\CDF.

【解析】,."□ABCDAAB//CD,AD//BC

：.NE=NDCF,NEAF=NEBC

ZEBC=ZD

在AAEF和ADCF中,

—^X[)Qp

=.由“ADC?(两角对应相等，两个三角形相似)；

在MCE和ADFC中,

ZE-ZDCF

/皈1=//加£8WC(两角对应相等，两个三角形相似)；

:.AAFE^ACFD^ABCE

故答案为：3.

(3)如图，四边形43a)的对角线AC与度)相交于点O,04=2,03=3,OC=6,8=4.

求证：△00与AOBC是相似三角形.

【答案】证明过程见解析.

【解析】证明：04=2,OB=3,OC=6,8=4,

OA2OD42OAOC

一而一屋工一5一“一砺―历

在\OAD与\OBC中，

OA_OD

<~OB~'OC，,AOAOsA08C(两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似).

ZAOD^ZBOC

(4)如图，点。是AABC的边A5上的一点，AC2=AD»AB.求证：MCDMBC.

【答案】证明过程见解析.

【解析】证明：•.・AC?=AD.AB,

ADAC

---=---,

ACAB

在AACO与A48C中,

ADAC

,~AC~^B^OAD-\OBC（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）.

乙4=NA

“举一反三

1.如图，Z1=Z2=Z3,那么图中相似的三角形有哪几对？

【答案】AADEsA4BC,AADEA4CD,

AABCsMCD,ABCDsACDE.

【解析】因为N1=N2=N3,同时有NA公共角必相等，根据相似三角形判定定理1,可得

AADEMCD,AABCAACD;同时由N1=N3,可得：DE//BC,进而ZEDC=ZDCB,又

Z2=Z3,根据相似三角形判定定理1,

可得：ABCDsACDE.

2.根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来.

(1)ZA=45°,AB=12cm,AC=15cm，

ZD-45°，DE-16cm，DF-20cm；

(2)4=45。，AB=12CM?,AC=\5cm，

NE=45。，ED=20cm,EF=16an；

(3)Z4=45°,AB=12cm,AC=15cm,

ZD=45°,ED=16cm,EF=20cm.

【答案】（1）相似，AABCM）EF；（2）相似，\ABC^EFD■,（3）不相似

【解析】根据相似三角形判定定理2即可知对应边成比例，且夹角相等即相似，（1）（2）均

符合题意，但需确立好对应关系；（3）中相等两角非夹角，不相似.

3.（2020年九年级上课时练习）如图，BD、AC相交于点P,连接BC、AD,且N1=N2,求证：AADP^

△BCP.

【答案】证明过程见解析

【解析】证明：

在AADP和ABCP中，

fZl=Z2,

[ZDPA=NCPB

••.△ADPs^BCP（两角对应相等，两个三角形相似）.

4.如图，AA3CS点9、。分别对应点8、C.

求证：MBS'AACC.

【答案证明过程见解析.

【解析】证明：•••AABCs&钻，c,

嘿嚏―

条篝,—

AABB'sAACC.

喜题型二、选择或补充条件使三角形相似

&【例2】（1）（2020.上海九年级月考）如图，ZDAB=ZCAE,请补充一个条件：,使

△ABC^AADE.

【答案】ND=/B或NAED=NC.

【解析】解：；NDAB=NCAE

.\ZDAE=ZBAC

二当/D=/B或NAED=/C或AD：AB=AE：AC或AD・AC=AB・AE时两三角形相似.

故答案为ND=NB（答案不唯一）.

（2）（2021.北京九年级一模）如图，△A3C中，BC>BA,点。是边8c上的一个动点（点。与点民。不

重合），若再增加一个条件，就能使与△ABC相似，则这个条件可以是____（写出一个即可）.

A

BDC

【答案】答案不唯一，如：NBAD=NC

【解析】

•：ZDBA=ZCBA,根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似,

,添加的条件是BA=AB：BC；

•••根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似,

添加的条件是NBAD=ZC：

故答案为：DB：BA=AB-8c或Nfi4D=NC.

(3)(2020・上海九年级一模)如图，点D、E分别在AABC的AB、AC边上，下列条件中:©ZADE-Z

八z-xAEDE人ADAE...八,、

c：;(3)—=—.使AADE与AACB一定相似的是()

ABBCACAB

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】C

【解析】VZDAE=ZBAC,

.•.当ADE=/C时，△ADEs^ACB,故①符合题意,

当空=匹时,

ABBC

VZB不一定等于NAED,

.,.△ADE与AACB不一定相似，故②不符合题意，

Af-）Ap

当罢=嘤时,，AADE-AACB.故③符合题意，

ACAB

综上所述：使AADE与AACB一定相似的是①③，

故选：C.

（4）（2021.陕西高新一中八年级期末）如图，。是A/WC边上一点，添加一个条件后，仍不能使

△ACDsAABC的是（）

A.Z4CD=ZBB.Z.ADC=^ACBC.AC~=AD-ABD.=

ACBC

【答案】D

【解析】A、当NACE>=NB时，再由NA=NA，可得出AA8-AABC,故此选项不合题意:

B、当NADC=NACB时,，再山Z4=N4,可得出,故此选项不合题意;

AD

C、当它山•他时，即行=就，再由5"可得出AA3AABC，故此选项不合题意;

D、当第=器时，无法得出—4BC，故此选项符合题意.

故选：D.

（5）（2021・广西九年级期末）如图，AD,BC相交于点O,由下列条件仍不能判定AAOB与ADOC相似的

是（）

AB

>OAAB

A.AB〃CDB.ZC-ZBC丝=丝D.-----=-----

,ODOCODCD

【答案】D

【解析】A、由AB〃CD能判定AAOBsaDOC,故本选项不符合题意.

B、tllZAOB=ZDOC,NC=NB能判定AAOBs^DOC,故本选项不符合题意.

C、由器=器、NAOB=NDOC能判定AAOBsaDOC,故本选项不符合题意.

nAAft

D、已知两组对应边的比相等：—=—,但其夹角不•定对应相等，不能判定ZiAOB与aDOC相似，故

本选项符合题意.

故选：D

举一反三

1.（2021.湖南九年级期末）如图，点尸在A4BC的边AC上，要判断AABP-AACB,还请你添加一个条件:

【答案】ZABP=NC

【解析】-：ZA=ZA

.••要使得AABPS^ACB,只需要利用三个角都相等的方法即可

可以添加的条件为：ZABP=ZC

故答案为：ZABP=ZC.

2.（2021.上海九年级一模）如图，点D在AABC的AB边上，当——=______时，与相似.

AC

【答案】瓦

【解析】由NBAC=/CAD共用,

当处=处0寸,

ACAB

/\ACD-4ABe.

AT

故答'案为：——

AB

AR

3.（2019・上海）如图所示，给出下列条件：①NB=/ACD；②/ADC=/ACB；（§）—=—；④

CDBC

AC2=AD-AB,其中单独能够判定AABCS^ACD的个数为（)

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

解：：①・・・N8=NACD,NA为公共角，/.AABC^AACD；

(2)VZACB=ZADC,为公共角，Z.^ABC^ACD；

ACAR

③虽然缶=器，但NA不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似;

AR

®VAC2=AD.AB,又・・ZA为公共角，••.△MCS38.

综上，单独能够判定的个数有3个，故选B.

4.（2021•北京清华附中九年级期末）如图，点。在△ABC的边AC上，要判定△AD3与aABC相似，需添加

一个条件，则以下所添加的条件不正确的是（）

ADAB、ABDB

A.ZABD=ZCB.ZADB=ZABCC.D.——=——

~AB~~ACACBC

【答案】D

【解析】解：VZABD=ZC,ZBAD=ZCAB,

〜AAC8,故A正确；

♦：ZADB=ZABC,ABAD二/CAB,

：.AABD-zMCB,故B正确;

A/^ABD~/\ACB,故C正确:

D选项的条件不可以证明，它不满足相似三角形的判定条件.

故选：D.

题型三、利用相似三角形证线段成比例、求长度、角度等

瓦【例3】（1）如图，D、E分别是AA8C的边AB、AC上的点，且/A£D=N8.

求证：AE>AC=AD»AB.

【答案】证明过程见解析.

【解析】证明：•.•NAE£)=ZB,ZA=NA,

.\AA£DsAABC,

.AD_AE

,•就一罚’

即AE・AC=AD・AB.

(2)如图，&AABC在中，ZC=90°,CD上AB于点D,且AD:30=9:4,

求AC:3c的值.

【答案】3:2.

【解析】■■ZACB=90°,BPZACD+ZBCD=90°,

又C£>J_AB,可得NACZ)+NA=90°.

：.ZA=NBCD.

又ZADC=ZBDC=90°,/.MCDs^CBD，

ADDCAC

"~DC~~BD~^C

■：AD:BD=9:4,设">="(%>0),则比>=4Z,代入可得：DC=6k.

:.AC:BC=AD:DC=9k:6k=3:2.

(3)(2020・上海市静安区实验中学)己知：在AABC中，点D、E分别在AC、AB边上，且NADE=/B,

若AE=2,BE=3,AD=3,求CD的长.

【答案】CD的长为g

【解析】；NADE=NB,ZA=ZA

AAADE^AABC

.AE_AD

**AC-AB

•・.A-!

AC5

(4)(2020.上海市静安区实验中学)在aABC中，D为AB上一点，过点D作一条直线截aABC,使截得

的三角形与AABC相似，这样的直线可以作（）

A.2条B.3条C.4条D.5条

【答案】C

【解析】

满足条件的直线有4条，如图所示：

如图1,过D作DE〃AC,则有△BDEs/xBAC；

如图2,过D作DE〃BC,则有AADES^ABC；

如图3,过D作NAED=NB,又NA=NA,则有AADES^ACB；

如图4,过D作NBED=/A,又NB=NB,贝lj有△BEDs/\BAC,

故选：C.

（5）（2020・上海市位育初级中学九年级期中）如图，在AABC中，AB=6cm,AC=8cm,。是AB上一点且

AD=2cm,当AE=cm时，使得AADE与AAfiC相似.

【答案】《或1.5

【解析】解：分两种情况:

第一种情况：如图，过D作DE||AC于点E,

则AE=^AC=2X8=§；

AB63

第二种情况：如图，AADE-AACB

An2

贝ljAE=——AB=-x6=1.5

AC8

Q

故答案为§或1.5.

（6）（2021•天津九年级期末）如图，F为四边形ABCC边CQ上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E,

已知N£>=NDCE.

（1）求证：AADFs八ECF；

（2）若A8C。为平行四边形，AB=6,EF=2AF,求尸。的长度.

【答案】（1）证明过程见详解；（2）2

【解析】（1）证明：VZD=ZDCE,ZAFD=ZEFC,

:.Z^ADFs/^ECF；

（2）解：•・•四边形ABCD是平行四边形,

AAD/7BE,AB=CD=6,

AAF：EF=DF：CF,

又,.,EF=2AF,

ADF：CF=1：2,BPDF=-DC=2.

3

“举一反三

1.如图，在矩形"8中，点E是边8C的中点，且。E_LAC,

那么C£>:AD=.

【答案】x/2:2.

［解析】四边形是矩形,

:.AD=BC,AD!IBC,ZADC=ZBCD=90°.

DELAC,:.ZEDC=ADAC.

.,.AADCsADCE,—

CDCE

设M=a,则CE=,8C=La,由此可得：CD=^a,CD:AD=-a:a=>/2:2.

2222

2.（2020.上海市静安区实验中学）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,点E是DC上一点，ZDAE=

ZBAC,则EC的长为

【答案】|3

【解析】

解：矩形ABCD中，DC=AB=2,AD=BC=\.又；/ZME=/8AC,ZD=ZB,：./\ADE^^ABC,：.AB：

AD=BC：DE,.•.£>£：=!，：.EC=DC-DE=-.

22

3.（2020・上海市静安区实验中学）在AABC中，D为AB上一点，且AD=1,AB=4,AC=7,若AC上有一

点E,且AADE与原三角形相似，则AE=.

7〉

【答案】I或7

【解析】

AD

解：（1）如图1,当△ADEs^ABC时，—=—

ACAB

.AE

H即r：—=

AE=-

4

ApAn

(2)如图2,当^ADEsaACB时，=一二,

ABAC

AE1

H即n：

二叫

7.4

故答案为：1或'

4.(2021・四川九年级一模)在Rt^ABC中，NC=90。，ZA=30。，点P为AC中点，经过点P的直线截^ABC,

使截得的三角形与AABC相似，这样的宜线共有.条.

【答案】3

【解析】解：过点P作交A8于点E,△CPEs/XCAB.

过点P作PF//BC交AB于点F,

过点。作PG_LA8交A8于点G,hPGAs丛BCA.

故满足条件的宜线有3条，

故答案为：3.

5.(2019・上海浦东新区・)如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O,OD=2OA,OC=2OB.

(1)求证：△AOBsaDOC；

(2)点E在线段OC上，若AB〃DE,求证：OD2=OE«OC.

D

【答案】证明过程见解析

【解析】证明：(1)V0D=20A,0C=20B,

.OA__1

,OD~'OC~29

XZAOB=ZDOC,

.,.△AOB^ADOC.

(2)由(1)得：△AOBs^DOC.

AZABO=ZDCO.

•・・AB〃DE,

AZABO=ZEDO.

AZDCO=ZEDO.

VZDOC=ZEOD,

AADOC^AEOD,

ODOC

OEOD

.・.OD2=OEOC

eu业

1.（2020.上海市静安区实验中学）如图，ZADE=ZACD=ZABC,图中相似三角形共有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

【答案】D

【解析】

试题分析：VZADE=ZACD=ZABC,，DE〃BC,/.AADE^AABC,VDE/7BC,/.ZEDC=ZDCB,

VZACD=ZABC,.•.△EDC^ADCB,同理：ZACD=ZABC,NA=NA,AABC^AACD,「△ADE

^△ABC,AABC^AACD,.•.△ADEsaACD,共4对，故选D.

2.（2019•上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，在四边形ABC。中，AD//BC,如果添加下列条件,

不能使得△ABCs^OCA成立的是（）

一DCAB

A.ZBAC=ZADCB.ZB=ZACDC.A(?=AD'BCD.-----------

ACBC

【答案】D

【解析】解：A.VAD//BC,：.ZDAC=ZBCA9当N5AC=NA£>C时，则AA3cs

B.VAD//BC,:・/DAC=/BCA,当NB=/ACD时，则△ABCS/XOCA；

ACAn

C.•:AD//BC,：.ZDAC=ZBCA由Ad=AO・8C变形为一-=—,则△/WCSAOCA；

fBCAC

D.,:AD〃BC,：.ZDAC=ZBCA,当---=---时，，不能判断△ABC's△OCA.

ACBC

故选择：D.

3.（2019・上海九年级期中）如图，在^ABC与aADE中，ZBAC=ZD,要使aABC与^ADE相似，还需满

足下列条件中的（)

E

ACAB「ACBC「ACABcACBC

A.-B.-(-------=--------L).-----------

ADAEADDE,ADDEADAE

【答案】C

ArAR

【解析】解：.ZBACND,--

AAABC^AADE.

故选C.

4.（2019•上海市嘉定区怀少学校）下列命题中，错误的结论是（）

A.如果两个三角形都是等腰三角形且顶角为100%那么这两个三角形相似

B.如果两个三角形都是直角三角形，那么这两个三角形相似

C.如果两个三角形都是等腰直角三角形，那么这两个三角形相似

D.如果两个直角三角形都有一个内角等于30。，那么这两个三角形相似

【答案】B

【解析】解：A.两个顶角为100°的等腰三角形是相似三角形，故正确，

B.两个直角三角形的锐角不一定相等，那么这两个三角形不一定相似，故错误,

C.两个等腰直角三角形都是相似三角形，故正确，

D.有两组角相等的三角形是相似三角形，故正确，

故选：B.

5.（2019・上海九年级期末）如图，如果/84£）=/。1£,那么添加下列一个条件后,仍不能确定人/18。和449£

相似的是（）.

A.ZB=ZDB.ZC=ZAED

-ABDE-ABAC

(----=-----D.—=—

•ADBCADAE

【答案】C

【解析】VZBAD=ZC4E,AZZM£=ZBAC,

:,A,B可由两角对应相等的三角形相似，判定△ABCS^ADE,D可据一角对应相等夹边成比例判定aABC

s^ADE.

选项C中不是夹这两个角的边，所以不能判定相似.

故选：C.

6.（2018・上海九年级期中）如图，在AABC中，点。、E分别在边48、AC上，DE//BC,ZACD=ZB,那

么下列判断中，不正确的是（）

A.△ADEs/MBCB.ACDE^ABCDC.AADE^AACDD.LADE^/\DBC

【答案】D

【解析】•.,点D、E分别在边AB、AC上，DE〃BC,

.-.△ADE^AABC,故A正确：

：DE〃BC,

.,.ZBCD=ZEDC,

VZB=ZDCE,

.,.△CDE^ABCD,故BiE确；

VZACD=ZB,ZA=ZA,

.".△ACD^AABC,

.".△ADE-AACD,故C正确；

△ADE与ADBC不一定相似，

故D不正确；

本题选择不正确的，

故选D.

7.(2020・上海市静安区实验中学)已知一个三角形的两个内角分别是30,70,另一个三角形的两个内角

分别是70。,80,则这两个三角形()

A.一定相似B.不一定相似C.一定不相似D.不能确定

【答案】A

【解析】解：：一个三角形的两个内角分别是3(T，70。，

/.另一个内角的度数是i8(r-3(y-70"=8(y,

...一个三角形的三个内角分别是30。,70。,80。

,这两个三角形有两角对应相等

•••这两个三角形一定相似.

故选：A.

8.(2020・上海市静安区实验中学九年级专题练习)如图：在AAfiC中，点。在边A3上，且NACD=N8,

过点A作A£〃。交CO的延长线于点E,那么图中相似三角形共有（)

A.6对B.5对C.4对D.3对

【答案】C

【解析】

解：依题意得NEAD=NACD=NB,

VAE/7CB,

.,.△AED^-ABCD,

VZCAD=ZBAC,

.,.△ACDcoAABC,

VZAED=ZCEA,

.,.△AED^ACEA,

由相似三角形的传递性，得/kBCDs^CEA.

故有4对相似三角形.

故答案为：C.

9.（2018•上海黄浦区•中考模拟）如图，在AABC中，ZB=80°,ZC=40°,直线1平行于BC.现将直线1

绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N,若AAMN与^ABC相似，则旋转角为（）

A.20°B.40°C.60°D.80°

【答案】B

【解析】

因为旋转后得到与"3C相似，则/C=40。,因为旋转前/4MN=80。*所以旋转角度为40。,故选

B.

10.（2020・上海九年级三模）如图，已知与ABOE都是等边三角形，点。在边AC上（不与点A、C

重合），OE与AB相交于点F,那么与相似的三角形是（）

A.&BFE；B.xBDC；C.aBDA；D.&AFD.

【答案】C

【详解】解：•••AABC与ABOE都是等边三角形，

/.ZA=NEDB=60°,

NDBF=ZABD,

:.^BFD^^BDA,

故选C.

11.（2019.上海市育才初级中学九年级月考）已知“ABC中，D、E分别在A8、AC上，下列条件中，能推

断AADE与AASC相似的有（）个

AnAR

①N6OE+NC=180。；②ADAB=A£・AC；③ADBC=ABDE；@ZA=90°,且一=一

DEBC

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【解析】由图可知,

ZA是AADE与4ACB的公共角，

①：NBDE+NC=180°,NADE+NBDE=180°,

ZADE=ZC,

利用“两组角对应相等，两三角形相似''得到AADE与AACB相似;

②由AD-AB=AE・AC得到通=益，可以利用“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”得到“ADE与

△ACB相似：

AR

③由AD.BC=AB・DE可得到5r前，公共角不是夹角，不能得到AADE与AACB相似;

AB

④.・噌~BCZA=90°,

利用“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”得到AADE与AACB相似,

综上所述，能判断AADE与AACB相似的是①②④，共3个.

故选：C.

12.（2021•天津九年级期末）下列条件中可以判定△ABC的是（）

ABA'B',DABA'B'

A-就=后B-AC=AC「a”

ABA'B'、ABAC

D.—

'AC"A'CA'B'A'C

【答案】A

【解析】A、对应边成比例，且夹角相等，所以可判定△MCs/xAB'C'相似，故选项正确；

B、对应边成比例，但DB不是43、AC的夹角，不能判定相似故选项错误;

C、只有对应边成比例，但夹角不确定，不能判定相似故选项错误;

D、只有对应边成比例，但夹角不确定，不能判定相似故选项错误:

故选：A.

13.（2021,河北九年级一模）已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）

中48、CD交于。点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）

A.只有（1）相似B.只有（2）相似C.都相似D.都不相似

【答案】C

【解析】解：对于图（1）：180。-75。-35。=70。，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（D图中的两

个三角形相似；

对于（2）图：由于■^=。，2^=2=。，^=NAOC=NZ）OB,所以△AOCs/\£）OB.

OD3ODO5UUUD

故选：c.

14.如图，。是AABC的AB边上的一点，在直线AC上找一点E,使得与AABC相似，则满足这样

条件的E点有（）

A.0个B.1个C.2个D.1个或2个

【答案】D

【解析】解：情况（1）：如图，当A3RAC时,

D

根据题意得：当OE〃BC时，丛DEsARC•.

当NAQE=NC时，由NA=NA,可得

所以当A3KAe时，满足这条件的E点有2个.

情况（2）：当相=AC时，情况（1）中两点重合，此时满足这条件的E点只有1个.

综上所述：使得AADE与“8C相似，则满足这样条件的E点有1个或2个.

故选：D.

5（2021.北京九年级期末）如图，点。，E分别在AABC的AB,AC边上.只需添加一个条件即可证明

、ADES/\ACB,这个条件可以是.（写出一个即可）

AnAr

【答案】NADE=NC或/AED=NB或一=—

ACAB

【解析】

VZA=ZA,

・••当NADE二NC或NAED=NB时，ADE^^ACB；

AnAF

当就=而时’3s△人';

AnAF

故答案为：ZADE=ZCngZAED=ZB^―=—

ACAB

16.（2020・上海市静安区实验中学）点D在AABC的边AB上，且AC'AOAB,则A45C~AAC。，理由

是.

【答案】有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

【解析】依题意，画图如下:

,用A8AC

■■-^-=ADAB,即就=而

X-.-ZA=ZA,

:.^ABC~^ACD（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）,

故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

17.（2021・上海九年级二模）如图，在矩形ABC。中，AB=3,8c=4,点P为射线BC上的一个动点，过

点P的直线PQ垂直于AP与直线C。相交于点Q,当8P=5时，CQ=

【答案】|

【解析】

解：如图,

*：BP=5,BC=4,

：.CP=\,

'/PQ1.AP,

：.ZAPQ=90°=ZABCf

：.NAPB+/BAP=900=/APB+NBPQ,

:・/BAP=/BPQ,

又；ZABP=ZPC（2=90°,

:.XABPsXPCQ,

.ABBP

••而一&'

35

AI=ce

.•.ce=|,

故答案为：g.

18.（2019•上海第二工业大学附属龚路中学九年级月考）AABC中，AB=10,AC=6,点。在AC上，且">=3,

若要在A8上找一个点E,使AWE与A4BC相似，则AE=_.

9

【答案】5或（

【解析】

•••NA是公共角,

ApAnApq

.把=把即生二三时AAOKSA4c5

ABAC106

解得：AE=5

当会=当，即丝=二时，MDE^MBC

ACAB610

Q

解得：AE=|

故答案为：5或（

19.（2021•吴江市实验初级中学八年级月考）如图，四边形ABEG、GEFH、HF、C£＞都是正方形.请你在图

中找出一对相似比不等于1的相似三角形，并说明理由.

【答案】△AEFsaCEA,理由见详解

【解析】解：/\AEF^/\CEA，理山如下：

:四边形ABEG、GEFH,8都是正方形,

AAEB=45°,BE=EF=CF,

：.AE=历BE=&EF,CE=2EF