2022年河南省商丘市高考数学三模试卷（理科）（附答案详解）

2022年河南省商丘市高考数学三模试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知非空集合M，N是全集［/的子集，MUCuN，则(CuM)CN=()

A.CyMB.CuNC.MD.N

2.已知z=l-右则£在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

04

3.已知a=log0.90.4,b=O.9,c=log40.9,贝ij()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

4.已知甲、乙、丙3名志愿者参加2022年杭州亚运会的3个比赛项目的服务工作，每

名志愿者只能参加1个比赛项目的服务工作，则乙、丙不在同一个比赛项目服务的

概率为()

c|D4

5.在正四面体48CD中，E为4B的中点，则直线CE与直线4。所成角的余弦值为()

A.3B.3C.在D.3

6432

6.已知(mx+y)(x+y)5的展开式中各项系数之和为-32,则该展开式中含/y3的项

的系数为()

A.-30B.-20C.-15

7.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为()

A.146

B.156

C.169

D.176

8.已知定义在R上的奇函数/(%)在［0,+8)上的图象如图

所示，则不等式//(X)>2/(x)的解集为()

A.(-V2,0)U(V2,2)

B.(-00,-2)U(2,+oo)

C.(-00,-2)U(-V2,0)U(V2,2)

D.(-2.-V2)U(0,V2)U(2,+oo)

9.如图，在△ABC中，点。，E分别在边AB,BC上，且均为靠A

近B的四等分点，CD与4E交于点F,若乔=x^+y彳？，

则3%+y=()\

A.-1B£C

B-

7

D-

10.已知双曲线C：/l(a>0,b>0)经过点(一1,一1),且C的实轴长大于企，则

C的离心率的取值范围为()

A.(1,V2)B.(1,V3)C.(V2,+oo)D.(V3,+oo)

11.已知函数fQ)=3cos(3%+》(3>0),若&)=0,/(x)在G，第内有最小值，无

最大值，则®的最大值为()

A.19B.13C.10D.7

12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他

的名字定义的函数称为高斯函数/(X)=[X],其中[X]表示不超过X的最大整数.已

知数列｛an｝满足的=2,a2=5,an+2+4an=5an+1,若bn=[log2an+1],Sn为数

歹U｛『｝的前兀项和，贝1JF2022]=()

°n°n+l

A.249B.499C.749D.999

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

(x—2y+2N0

13.已知x,y满足—y—3W0,则z=gx+[y的最大值为.

(x+2>0

14.写出同时满足下面两个性质的数列｛a“｝的一个通项公式即=.

①｛%｝是递增的等差数列；

②。2-。3+。4=L

15.已知体积为出兀的圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的外接球的表面积为

3

第2页，共19页

16.已知产是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，C的准线与x轴交于点2,过点A作曲线

C的一条切线4B,若切点B在第一象限内，。为C上第四象限内的一点，昱DF〃AB,

则幽=

人J|o/q------

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知AABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,4=拳8$(>。)=2sin(A+C),

△ABC的面积为2vx

⑴求。,c的值；

(2)设。为BC上一点，月5。=旧，求sin^ADB.

18.大力开展体育运动，增强学生体质，是学校教育的重要目标之一.某校组织全校学

生进行立定跳远训练，为了解训练的效果，从该校男生中随机抽出100人进行立定

跳远达标测试，测试结果(单位：米)均在［1.65,2.85］内，整理数据得到如下频率分

布直方图.学校规定男生立定跳远2.05米及以上为达标，否则为不达标.

(1)若男生立定跳远的达标率低于60%,该校男生还需加强立定跳远训练.请你通

过计算，判断该校男学生是否还需加强立定跳远训练；

(2)为提高学生的达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校男生立

定跳远的距离f(单位：米)近似服从正态分布N(2.25Q2),且P(fS2.45)=0.8.再

从该校任选3名男生进行测试，X表示这3人中立定跳远达标的人数，求X的分布列

和数学期望E(X).

19.如图，三棱柱ABC-&81cl的底面为等边三角形,

侧面BCC/i为菱形,乙CBB、=120°,AC1=巡，

ABr=VlO.

(1)证明：AABiCi为直角三角形；

(2)求直线与平面ABiG所成角的正弦值.

20.在平面直角坐标系xOy中，已知4(一4,0),8(4,0),M是一个动点，C,。分别为线

段AM,BM的中点，且直线0C,。。的斜率之积是记M的轨迹为E.

4

(1)求E的方程；

(2)若过点尸(2,0)且不与x轴重合的直线与E交于P,Q两点，点P关于x轴的对称点为

与Q不重合)，直线PiQ与％轴交于点G,求黑的值.

第4页，共19页

21.已知函数/(%)=Q/-2e"(a£R),/'(%)为f(%)的导函数.

(1)讨论函数，(%)的单调性；

(2)当Q<1时，函数g(%)=/(%)+2s山》,证明：g(x)在x=0处取得极大值.

%="+6

22.在直角坐标系%0y中，直线/的参数方程为2(t为参数).以坐标原点为极点,

(y=-3-2

X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2=7Tl■片.

(1)求直线/的普通方程和曲线c的直角坐标方程；

(2)若直线(与x轴、y轴的交点分别为4B两点，P为曲线C上的任意一点，求AABP

的面积的最小值.

已知函数f(x)=|x-2|-|x+1}|,不等式/(x)>m的解集为(一8,1].

(1)求实数m的值；

(2)若正实数a,b满足;+；=m,证明：VH+VF<^ad.

第6页，共19页

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解:由题意作Venn图如下,

故(CuM)nN=N,

故选：D.

作Uenn图，从而直接写出答案即可.

本题考查了集合的运算的应用，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：Z=1—4=1+-=1+^7=1-1,

I3I-II

则W=1+i在复平面内对应的点(1,1)位于第一象限.

故选：A.

利用复数的四则运算法则、几何意义即可得出结论.

本题考查了复数的四则运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：•••a=log090.4>log090.9=1,

0<b=O.904<0.9°=1,

c=log40.9<log4l=0,

c<b<a,

故选：C.

利用对数函数和指数函数的性质求解.

本题考查对数函数和指数函数性质的运用，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：甲、乙、丙3名志愿者参加2022年杭州亚运会的3个比赛项目的服务工作，

有33=27种安排方法；而乙、丙在同一个比赛项目服务，有32=9种安排方法，所以

乙、丙不在同一个比赛项目服务的概率为P=1-捺=|.

故选：C.

首先计算总的安排方法种数，再计算乙、丙在同一个比赛项目服务的安排方法种数，然

后用作差法可解决此题.

本题考查古典概型应用，考查数学运算能力及抽象能力，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：如图，设正四面体4BC0的棱长为2,设BD的

中为F,连接EF,

E为4B的中点，••・。，且EF=\AD=1,

又EC=FC=痘，：SFEC=。即为所求，

在等腰三角形CEF中，cos。=沌=工=q，

ECV56

故选：A.

先将两异面直线平移成相交直线，再在三角形中求相交直线成的的角.

本题考查异面直线所成的角，考查了化归与转化思想，属基础题.

6.【答案】D

【解析】解：令％=y=l,则各项的系数和为(加+1>25=-32,解得?n=-2,

所以(—2x+y)(x+丫户的展开式中含％3y3的项的系数为一2底+鬣=-10,

故选：D.

令x=y=l,则各项系数和即可求出，由此建立方程可得m的值，再根据二项式定理求

出含一y3的系数即可求解.

第8页，共19页

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：根据程序框图知，S=l,i=l<6；

执行第1次循环：i=l+2=3,S=1+23=9；3<6,

执行第2次循环：i=3+2=5,S=9+25=41；5<6,

执行第3次循环：i=5+2=7,S=41+27=169；7>6,

结束循环，输出S=169.

故选：C.

模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值.

本题考查了程序的运行与应用问题，是基础题.

8.【答案】C

【解析】解：由已知图象可得当0<x<2时，/(%)>0；当久>2时，/(X)<0；

由/'(%)为R上的奇函数，可得当一2<x<0时，/(x)<0；当％<—2时，/(%)>0.

由*2/(尤)>2/(%)BP/(x)(x2—2)>0,

等价为£工。或/（X）<0%<-2或0cx<2或|-2<x<0或x>2

.%2-2<0.x>&或x<-V2'1-V2<x<V2

解得x<-2或-或<x<0或/<x<2，

故选：C.

分别求得/Q)>0,/。)<0的解集，由分类讨论思想和二次不等式的解法，可得所求

解集.

本题考查函数的奇偶性的图象和性质，以及不等式的解法，考查转化思想和运算能力、

推理能力，属于基础题.

9.【答案】A

A

【解析】解：连结DE,

由题意知，警=霹=：

BAEC4

Di

B

所以DE//4C,贝嗤嚏/

,^iDFDE1

所rr以而=k=£

故而=-DC=-（AC--AB）=-AC-—AB,

554520

故丽=前+而=_1荏+g而—高南

=-^AB+^AC,

又；BF-xAB+yAC,

21

x=—,y=-,

5J5

故3%+y=-1,

故选:A.

连结DE,结合图形可得而=2而一高理而前=前+市=一：宿+：南从而求

x,y即可.

本题考查了平面向量的线性运算及数形结合的思想方法，属于中档题.

10.【答案】D

【解析】解：由题意可知，力-9=1，所以b2—a2=(12b2,

又/=c2—a2,所以c?—2a2—a2(c2—a2),

所以。2=守=手〉(立)2,解得e>Vl

c2-a2e2-l'2'

故选：D.

先将点(-L-l)点代入双曲线方程得到关于a,b的一个方程，然后再根据实轴长大于近

列出关于a,c的不等式即可得出答案.

本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率取值范围的求解等知识，属于中等题.

11.【答案】B

【解析】解一由题意可得打"<票—牌打号

9

结合

解得zO

-<3<(-

2-v

所以=k&Z,co=6fc4-1,kWZ,

3bZ

第10页，共19页

所以3的最大值为13.

故选：B.

在©，芍)内有最小值，无最大值，则说明最小值点落在该区间内，最大值点未落在区间

内，由此构造关于3的不等式，再结合/©)=0求出3的最大值.

本题考查三角函数的性质，属于中档题.

12.【答案】A

4a

【解析】解：由即+2+n=5an+「得a“+2-an+1=4(an+1-an),

又。2-%=3,所以数列｛an+i—an｝是以3为首项，4为公比的等比数歹(J,

则an+i―即=3-4九-1,①

a

由即+2+^n=5即+1得，&i+2—4即+1=%i+i—4an,

又g-4%=-3,

所以数列｛an+i—4an｝是常数列，

则即+i—4an=。2-4al=-3,②

由①②联立可得Qn+i=4九+1,

因为4n<4n+1<2x4n,

nnn

所以Log24<log2(44-1)<log2ax4),

n

即：2nVlog2(4+1)V2几+1,

n

所以bn=[log2an+1]=[log2(4+1)]=2n,

,,10001000l1、

故-----=--------ncn/

人如如+i2n-2(n+l)=250(-%------n--+-1-7),

所以S2022=250[(1_4+(»》+…+岛-康)]=250(1-康)，则[S2022]

249.

故选：A.

利用已知关系式构造两个新数列，求出an+i=4n+1,利用放缩技巧，可得到数列｛%｝

的通项公式，再利用裂项相消法求数列｛普J｝前n项和后，带入函数解析式即可得到答

DnDn+l

案.

本题考查了由递推式求通项公式，裂项相消求和以及放缩法的应用，属于中档题.

13.【答案】\

【解析】解：由约束条件作出可行域如图,

联立｛3%-y-3=0解得联,|),

%—2y+2=O'

由z=Tx+[y,得y=-：x+3z,由图可知，当直线y=-gx+3z过4时,

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为+=(

故答案为：

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最

优解的坐标代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题.

14.【答案】n-2

【解析】解：设等差数列｛而｝的公差为小由。2-。3+。4=1得，%+2d=1；

由①可知d>0,取d=l,则的=—1；

所以数列｛an｝的一个通项公式为每=-1+(n-1)=n-2.

故答案为：n—2(答案不唯一，满足d>0,。3=1即可).

设等差数列似九｝的公差为d,由题意得出的与d的关系，由此写出满足条件的一个通项公

式即可.

本题考查了等差数列的通项公式与应用问题，是基础题.

第12页，共19页

15.【答案】詈

【解析】解：设圆锥的底面半径为r,母线长为I,

由题意得2仃=nl,所以］=2r,

则圆锥的高为八=V/2—r2=V3r,

由V=-nr2h=-nr2-V3r=—7r,

333

解得丁=则I=2>/2,h=瓜,

设圆锥的外接球的半径为R,

由球的性质可知，R2=(/i-/?)2+r2,

_4

即R2=(乃一R)2+2,解得R=再，

所以该圆锥的外接球的表面积为S=4M?2=等.

故答案为：等.

先求得圆锥的外接球的半径，再去求该圆锥的外接球的表面积.

本题考查了圆锥的外接球的表面积的计算，属于中档题.

16.【答案】V2+1

【解析】解：由题意可知，4(一30)，Fg,O).设切点B的坐标为(曲,%)。0>O,yo>。)，

又、=/而，则y'=患，所以4B的方程为y—丁徜=底(x—x0),将4(一表0),

代入得，一四焉=低(栏一与)，解得通=今则y0=P，即Bg,p).由DE〃4B,

当。在第四象限内时，设荏=m而：(m>0)，。(右,一丫1)(%>0)，

m(2m

又荏=(p,p)，DF=(^~x1,y1),则k=2-”1)解得1-,,

lp=”，H

将点。代入c：y2=2px^m2-2m-1=0,解得m=加+1(负值舍去)，

故照=迎+1.

故答案为：&+1.

J^(x-xo)，依据4点坐标,

设切点B的坐标为(&,yo),表示出的方程y-J2px()=

可求得B的坐标，进而求得。的坐标，可求结论.

本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属中档题.

17.【答案】解：(1)由条件与诱导公式可知，sinC=2sinB.

由正弦定理得，c=2b.

又AAB。的面积为2w，所以Tx2bxbx?=2V5，解得6=2(负值舍去),

所以c=2b=4,

故b=2,c=4.

(2)由余弦定理得，a2=4+16-2x2x4x(-}=28,解得a=2夕.

在△4BC中，由正弦定理得号=白，得誓=品，所以s讥8=叵.

sinAsinB—sina14

2

在△ABC中，由正弦定理得^=^而，所以sin440B=^=土

sinbsin"1"VH7

【解析】(1)由条件与诱导公式化简已知等式可得sinC=2sinB,由正弦定理得c=2b,

利用三角形的面积公式可求b的值，即可得解.

(2)由已知利用余弦定理可求a的值，在AABC中，由正弦定理可得sinB的值，在△4BD

中，由正弦定理即可求解sin^AOB的值.

本题考查了诱导公式，正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，

考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

18.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，男生立定跳远的达标率为0.2x(1.0+0.75+

0.50+0.25)=0.5,

因为50%<60%,所以该校男生还需加强立定跳远训练.

(2)因为f近似服从正态分布N(2.2542),且P&<2.45)=0.8,

所以P(f>2.05)=0.8,

由题意可知，X〜B(3,》，

P（X=0）=以00（1-$3=p（x=1）=废③】（1一=言，p（x=2）=

废(乎(1一i)i=黑，P(X=3)=旗阳1_$。=赛，

所以X的分布列为

X0123

1124864

P

125125125125

第14页，共19页

则E(X)=3X^=y.

【解析】(1)根据频率分布直方图计算出男生立定跳远的达标率，与60%比较即可作出

判断.

(2)根据正态分布曲线的对称性可得P(f22.05)=0.8,所以X〜B(3,》，再利用二项分

布的概率公式和期望公式求解.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布曲线的对称性，以及二项分布

的概率公式，属于中档题.

又4clu平面AC；。，所以BC1AG，

又所以BiGlACi，所以AABiCi为直角三角形.

(2)解：由(1)及4cl=V6,力/=VTU可知，BiG=2,则

在ABCG中，CrD=V3.同理4。=旧，

22

又AC】=V6,所以Z仃=CjD4-AD,所以AD1CXD.

以。为原点，直线ZM,DB,DC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系

D-xyz,则4(8,0,0),B(0,1,0),G(0,0,®8式0,2,6),

所以”=(0,1,—遮)，ACi=(-V3,0,V3).CTBT=(0,2,0)，

设平面力BiG的一个法向量为记=(x,y,z),

由伫-色=0,B|j[-V3x+V3z=0,取x=i,得沆=(1,0,1),

设直线BQ与平面ABiG所成的角为仇

贝心加。=|cos(鼐洞|=尚器=,=也

故直线与平面4B1G所成角的正弦值为三.

4

【解析】(1)通过线面垂直的判定定理，性质即可证明；

(2)建系，将线面角转化为直线的方向向量与平面的法向所成角，再利用空间向量夹角

公式求解.

本题考查线线垂直，线面垂直的判定与性质，线面角，空间向量夹角公式，属中档题.

20.【答案】解：(1)山题意可知，直线OC,。。的斜率存在，且BM//OC.

由直线。C，℃的斜率之积是-河知，直线BM,4M的斜率之积是/

设则直线4M的斜率为土，直线BM的斜率为三，

所以言£=-：，整理得各哈=1”。)，

故石的方程就+白1(产。)•

(2)由题设条件知，过点尸的直线的斜率存在且不为0,设其方程为％=my+2(mH0),

x=my+2,

立+竺=1整理得(3m2+4)y2+12my-36=0.

1612

设P(X1，%)，Q(x2,y2)>则P1(X1,-%)，%+为=一非息，y/2=一肃二•

直线PiQ的方程为:y+%_"Xi

yz+yi%2-%1

令y=。，wljx=^+X1=-^+myi+2=

+2=+2=8,

所以直线BQ与x轴的交点G的坐标恒为(8,0),

所以14Gl=4+8=12,|BG|=8-4=4,故黑=3.

【解析】(1)根据题意，设MQ,y),得到直线4M的斜率为£,直线BM的斜率为匕，

2

结合三••1=-=，即可求得E的方程；

X+4X-44

(2)设直线方程为x=my+2(mH0),联立方程组，设PQi，yi)，Q(x2,y2)＞得到外+

丫2=一悬，加为二一磊，求得直线BQ的方程，令y=o,求得x=8,得到直线

P1Q与％轴的交点G的坐标恒为(8,0),进而求得|/G|,|BG|的长，即可求解.

本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识,

属于中等题.

第16页，共19页

21.【答案】解：(1)因为/(%)=a%?-2e*(aWR),所以尸(%)=2a%-2e”,

设无⑺=f(x),则九'(%)=2a-2ex,

当Q40时，¥(%)<0,所以h(©在R上为减函数,即广㈤在R上为减函数.

当Q>0时，令"(%)=0,解得％=Ina,

当x£(-8,伍0)时，h!(x)>0,当％£(伍a,+8)时,h!(x)<0,

所以/i(x)在(-8/几a)上为增函数，在("a,+8)上为减函数.

即((x)在(-oo,Ind)上为增函数，在(Ina,+8)上为减函数.

2xx

(2)证明：g(x)=ax-2e4-2sinx9则g'(%)=2ax-2e+2cosx,

xx

设8(x)=2ax-2e+2cosx,则w'(x)=2a—2e—2sinxf

易知工£(-］，］)时，y=-2ex,y=-2sinx均为减函数,

所以“(乃在(一如今上为减函数.

(J)当中'(一］)—2a—2e2+240,即Q<e-5—1时，则”(工)40,

所以9(%)在(冶《)上为减函数，

又@(0)=0,当久£(-］,())时，</>(%)>0,当工€(0弓)时，(p(x)<0,

所以g(x)在(*,0)上单调递增，在(0弓)上单调递减，

所以函数9(%)在％=0处取得极大值.

②当初(一今=2a-2eV+2>0,即e后一1<QV1时，"(0)=2a—2<0,

又“(X)在(―上为减函数，

所以存在唯一的殉6(一^0),使得@'(Xo)=0,则xe(Xo《)时，”。)<0,

所以0。)在(%。,多上单调递减，

又“(0)=0,所以当％e(沏,0)时，0(x)>o,当xe(o,1)时，(p(x)<0,

所以g(x)在(x0,0)上单调递增，在(0《)上单调递减，

所以函数g(x)在％=0处取得极大值.

综上可知，当a<l时，函数g(x)在x=0处取得极大值.

【解析】(1)对函数f(x)求导，W//W=2ax-2ex,再对a分aS0、a>0两类讨论,

可得f(x)的单调性;

(2)求