2021年湖北省武汉市分配生数学试卷（附答案详解）

2021年湖北省武汉市光谷第二高级中学分配生数学试卷

1.已知Q=&-1,b=y/3—c=V5—2,那么mb,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

2.若关于x的不等式g二的整数解共有4个，则〃?的取值范围是（）

A.6<m<7B.6<m<7C.6<m<7D.6<m<7

3.如图，在网格中，小正方形的边长为1,点A、B、。都在口

_____________

格点上，则sinA的值为（）；：｝1

4.同时抛掷A、3两个均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6）,

设两立方体朝上的数字分别为x、y,并以此确定点P（x,y）,那么点尸落在抛物线

y=--+3》上的概率为（）

D.7

5.设°、匕、c为实数，x=a2—2b+^,y=b2—2c+^,z=c2—2a+\则x、y、

z中至少有一个值（）

A.大于0B.等于0C.不大于0D.小于0

6.如图所示的4x4正方形网格中，41+42+43+44+45+

z6+z.7=（）

A.330°

B.315。

C.310°

D.320°

7.如图是某物体的三视图，则此物体侧面展开图的面积是（）

A.167rB.64TIC.16V57rD.32V3TT

8.如图，△ABC中，AB=AC,D、E分别为AB、AC上的点，乙BDE、4CED的平分

线分别交BC于点尸、G,EG//AB,若NBGE=100。，则NAOE的度数为（）

A.18°B.20°C.25。D.30°

9.已知二次函数y=ax?+bx+c（a#0）的图象如图所示，

有下列5个结论：

①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④2c<3b；

⑤a+b>m（am+b）（m*1的实数）.

其中正确的结论有（）

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

10.（人教版）已知：如图，AB=BC,/.ABC=90",以AB为

直径的。。交OC于点。，的延长线交BC于点E,过

。作。。的切线交BC于点F.下列结论:①CD?=CECB；

②4EF2=ED-EAI③NOCB=Z.EAB；®DF=其中

正确的有（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

11.分式方程｛-1=,二，、有增根,则％的值为_____.

x-1（x-l）（x+2）

12.如图所示，己知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地

面8c上，如果CD与地面成45。，44=60。，CD=4m,BC=(4V6-2V2)m,则

电线杆AB的长为m.

13.已知：Jl+/+]=琦,Jl+[+]=*,Jl+蠢+]=*,根据此规律

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14.y=%2+(1-a)x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是一1<%<3时，y

只在％=-1时取得最大值，则实数〃的取值范围是.

15.如图，P为双曲线y=：(x>0)上一动点，P4J.X轴于A,PB_Ly轴于8,直线y=

一江+3与x轴交于C,与_y轴交于力，与PA交于尸，与P8交于E,且=50,

则％的值为.

16.已知为抛物线y=(%-c)(x一c-1)一3与x轴交点的横坐标,则|Q—c|+|c—

口的值为.

6叫第QM。。，垮援霖的值.

18.如图，在DABCZ)中，BE1DC^E,连接AE,F为AE上一点，使

乙BFE=Z.C.

(1)求证：AABFSAEAD；

(2)若4B=2b，AD=3,/.BAE=30",求B尸的长.

19,为深入开展校园阳光一小时活动，九年级(1)班学生积极参与锻炼，每位同学从篮

球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行锻炼，训练后都进行了测试.现将

项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图：

项目选择人数情况统计图训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计数

345678进球数

请你根据上面提供的信息回答下列问题:

(1)(扇形图中)跳绳部分的扇形圆心角为度，该班共有人；训练后，

篮球定时定点投篮每个人进球数的平均数是，众数是;

(2)老师决定从选择跳绳训练的3名女生和1名男生中任选两名学生先进行测试，

请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名女生的概率.

20.已知关于x的方程kx2+(2k+l)x+2=0.

(1)求证：无论Z取任何实数，方程总有实数根；

(2)当抛物线y=kx2+(2fc+l)x+2与x轴两个交点的横坐标均为整数，且左为正

整数时，若P(a,yQ,Q(l/2)是此抛物线上的两点，且丫1>”，请结合函数图象确

定实数。的取值范围；

(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)%+2恒过定点，求出定点坐标.

21.如图，P是。。外一点，PA是。。的切线，A是切点，B是。。上一点，且PA=PB,

延长8。分别与。。、切线PA相交于C、。两点.

(1)求证：是0。的切线；

(2)。为PB的中点，QD交AB于点、E,若4Q=4,CQ=2,求崂的值.

22.某旅游胜地欲开发一座景观山.从山的侧面进行勘测，迎面山坡线ABC由同一平

面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，8C所在

的抛物线以C为顶点、开口向上.以过山脚(点C)的水平线为x轴、过山顶(点4)的

铅垂线为)，轴建立平面直角坐标系如图(单位：百米).已知A8所在抛物线的解析式

为y=-；/+8,8c所在抛物线的解析式为y=；(x—8产，且已知B(m,4).

(1)设P(x,y)是山坡线AB上任意一点，用y表示x,并求点B的坐标；

(2)从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶.这种台阶每级的高度为20厘米，

长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上(见图).

①分别求出前三级台阶的长度(精确到厘米)；

②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？

(3)在山坡上的700米高度(点D)处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站.索道

的起点选择在山脚水平线上的点E处，OE=1600(米).假设索道OE可近似地看成

一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为y=±(x-16产.试求索道的最大

悬空高度.

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23.已知AC、EC分别为四边形A8CZ)和EFCG的对角线，点E在△ABC内，4a4E+

Z.CBE=90°.

(1)如图①，当四边形A8C。和EFCG均为正方形时，连接BF.

①求证：4CAES&CBE；

②若力E=2,CE=V6,求BE的长；

(2)如图②当四边形A8C。和EFCG均为矩形,且有乙4cB=乙ECF=a,若BE=3,

AE=6,CE=5,试求tana的值；

(3)如图③,四边形A8CD和EFCG均为菱形，且=乙GEF=60。时，设BE=m,

AE=n,CE=p,试直接写出加，”，p三者之间满足的等量关系为.(不必

写解答过程.)

图①图②

图③

24.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+c与x轴交于A、8两点(月在

8的左侧)，与y轴正半轴交于C.

(1)若48=4,sin^ABC=求此抛物线的解析式；

(2)如图2,直线y=江交⑴中抛物线于S、T两点，M为抛物线上A、T之间(含4、

T两点)的动点，过用点作ME_Lx轴于点E,MFJ.ST于点F,试求ME+MF最大

值和最小值；

(3)如图3,在(1)的条件下，平移此抛物线使其顶点为坐标原点，直线/：y=kx-

2k-4交平移后的抛物线于P、Q两点，在此抛物线上存在一个定点D,使4PDQ=

90。总是成立，试求出此定点。的坐标，并写出点。到直线/的最大距离.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：•:=♦:=/1，”或+1,

aV2-1(V2-l)x(V2+l)

1=....L.=----1+企一=百+企，

bV3-V2(6-v②x(V5+v0)、3十”，

工=」=-3—=75+2,

CV5-2(V5-2)X(Vs+2)

abc

■■a>b>c,

即：c<b<a,

故选：C.

利用倒数法比较大小即可.

本题考查了实数大小比较，掌握倒数法比较大小是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：由x-m<0得，x<m,

由7-2x<1得，x>3,

故原不等式组的解集为：3Wx<m,

•••不等式的整数解有4个，

其整数解应为：3、4、5、6,

m的取值范围是6<m<7.

故选：D.

首先确定不等式组的解集，先利用含机的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪

些整数解，根据解的情况可以得到关于，”的不等式，从而求出机的范围.

本题考查了一元一次不等式组的整数解，关键是列出关于m的不等式组.

3.【答案】C

【解析】解：如图，过点B作8。14c于点。，连接8C,

•••小正方形的边长为1,

•••AB=AC=y/AE2+BE2=V32+l2=V10,

SAABC=3X3——x1x3—~x1x3——x2x2—4,

•••-2AD•BD=4,

即TxgxBC=4,

解得80=等，

4V10

BDs4

sin/l=,—=—J—-==.

ABV105

故选：C.

过点B作8。J.AC于点力，连接BC,利用AABC的面积求出BO即可解答.

本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟记正弦函数的定义，作出直角三角形.

4.【答案】A

【解析】解：根据题意，画出树状图如下：

开始

_______

123456

y/IK

1234561?.34S6123456123456123456123456

一共有36种情况，

当％=1时，y=-x2+3x=-I2+3x1=2,

当％=2时，y=—x2+3%=-22+3x2=2,

当％=3时，y=-x24-3%=-32+3x3=0,

当％=4时，y=-x2+3x=-42+3x4=-4,

当x=5时，y=-%24-3%=-52+3x5=-10,

当％=6时，y=—x2+3%=-62+3x6=-18,

所以，点在抛物线上的情况有2种，

P(点在抛物线上)=5=白

3618

故选：A.

画出树状图，再求出在抛物线上的点的坐标的个数，然后根据概率公式列式计算即可得

解.

本题考查了列表法与树状图法，二次函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率

=所求情况数与总情况数之比.

5.【答案】A

【解析】解：x+y+z=a2—2b+^+b2-2c+^+c2—2a+^

=a2—2a+b2-2b+c2—2c+n

=(a-I)2+(fa-I)2+(c-l)2+7r-3,

v(a-l)2>0,(b-1)220,(c—1)220,TT-3>0,

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x+y+z>0,

•1.x>y、z中至少有一个正数.

故选：A.

先计算x+y+z,再利用配方法得到x+y+z=(a-1)2+(6-1)2+(c-1)2+TT-3,

根据非负数的性质和兀>3得到久+y+z>0,根据有理数的性质得到x、y、z中至少有

一个正数.

本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三项式是一个

完全平方式时所含字母系数的值.

6.【答案】B

【解析】解：由图中可知：①乙4=3x90。=45。，②乙1和47的余角所在的三角形全等

:.zl+Z7=90°

同理42+46=90°,43+45=90°z4=45°

••・41+42+43+44+乙5+46+Z7=3x90°+45°=315°

故选：B.

利用正方形的性质，分别求出多组三角形全等，如N1和N7的余角所在的三角形全等，

得到41+47=90。等，可得所求结论.

考查了全等三角形的性质与判定；做题时主要利用全等三角形的对应角相等，得到几对

角的和的关系，认真观察图形，找到其中的特点是比较关键的.

7.【答案】C

【解析】解：由三视图可知圆锥的底面半径为4,高为8,所以母线长为4西，

所以侧面积为兀仪=兀x4x4>/5=16V57T,

故选：C.

从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一

个圆锥，由三视图可知圆锥的底面半径为4,高为8,故母线长为4遮，据此可以求得

其侧面积.

本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的侧面积.牢记公式是解题的关键，难度

不大.

8.【答案】B

【解析】解：■:EG//AB,乙BGE=100°,

•••乙B=180°-4BGE=80°,乙CEG=乙4,4GED=4ADE,

"AB=AC,

Z.C=Z.B=80°,Z.A=180°一4B—乙C=20°,

•••Z.CEG=Z.A=20°,

•••EG平分“ED,

4GED=乙CEG=20°,

/.ADE=乙GED=20°,

故选：B.

根据平行线的性质得出NB=180°-乙BGE=80°,乙CEG=乙4,AGED=由等

边对等角以及三角形内角和定理求出N4=180°-ZB-ZC=20。，那么/CEG=乙4=

20。，再根据角平分线定义以及等量代换得出NAOE=20。.

本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，属

于基础题，掌握各定义与性质是解题的关键.

9.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a+0）的图象,

当a>0,开口向上，函数有最小值，a<0,开口向下，函数有最大值；对称轴为直线

x=-3a与b同号，对称轴在y轴的左侧,a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c>0,

抛物线与），轴的交点在x轴的上方；当4=。2—4ac>0,抛物线与x轴有两个交点.

【解答】

解：开口向下，a<0；

对称轴在y轴的右侧，a、b异号,贝!1b>0；

抛物线与y轴的交点在x轴的上方，贝iJc>0,

则abc<0,所以①不正确：

当x=-1时图象在x轴上，则丫=。-6+©=0,即a+c=b,所以②不正确；

对称轴为直线x=L则x=2时图象在x轴上方，

则y=4a+2b+c>0,所以③正确；

x=――=1,贝!］。=一"，

2a2

当％=—1时，图象在X轴上，即Q—b+C=O,

所以一3b—b+c=0,整理后2c=3b,所以④错误；

开口向下，当％=1时，y有最大值a+b+c；

当无=m（m丰1）时，y—am2+bm+c,

则a+b+c>am2+bm+c,即a+b>m（am+b）（m力1）,所以⑤正确.

故正确的选项为③⑤，共2个，

故选：A.

10.【答案】D

【解析】解：连接8。，可得ACOESACBD,

•••CD2=CE-CB,

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还可得出EF=FB,EB2=EDEA,

EB=2EF,

2

・•・4FF=ED-EAf

•・•△CDFs^CBO,

DFCD

BOCB

—DF―_-B-O=_-1«

CDCB2

1

・•・DF=-CD.

综上正确的有①、②、④.

故选：D.

先连接8。，得ACDEs^CBD,再根据相似三角形的性质即可分析得出.

此题主要考查圆的切线，圆周角性质及三角形相似的判定.

11.【答案】3

【解析】解：方程两边都乘以(％-1)(%+2)得，

x(x4-2)—(%—1)(%+2)=m,

x2+2%—%2—x4-2=m,

m=%4-2,

•.•分式方程有增根，

:.(%-1)(%+2)=0,

A%—1=0,%4-2=0,

解得％1=1,小=-2,

当/=1时，m=x+2=l+2=3,此时原方程化为二7-1=-~~,方程确实有

x-l(x-l)(x+2)

增根，

当必=—2时,m=x+2=—2+2=0,此时原方程化为士-1=0,所以%—(x-1)=

0,此方程无解，所以m=0不符合题意，

所以〃?的值为3.

故答案为：3.

方程两边都乘以最简公分母(x-l)(x+2)把分式方程化为整式方程，再根据分式方程

的增根是使最简公分母等于0的未知数的值，求出增根，然后代入进行计算即可得解.

本题考查了分式方程的增根，增根就是使最简公分母等于0的未知数的值，确定后可按

如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的

值.

12.【答案】6V2

【解析】解：如图，延长AO交地面于E,过。

作。F1CE于F.

v^DCF=450,44=60°,CD=4m,

CF=DF=2V2m,EF=DFtan600=2遍(m).

嚏=tan3。。V3

3，

V3L

:.AB=BEx——6y2(m).

可延长4。构交地面于E,过。作OFICE于凡构造含60。的2个直角三角形，利用45。

的三角函数值可得。尸和CF长，进而利用30°的正切值可求得E尸长，再求得8E长，

再利用30。的正切值求得AB长即可.

考查解直角三角形在实际生活中的应用；注意四边形问题通常要整理为直角三角形问题

来解决.

13.【答案】T

1+n(n+lW)

【解析】解：根据前边的三个式子可以得到：所得结果的整数部分是1,后边的部分的

分母是两个相邻的整数的乘积.

故11+3:、2=1,T,、

yjn2("+1)2n(n+l)

故答案是：］+,，、,

n(n+l)

首先根据前边的三个已知的式子总结规律，根据前边的三个式子可以得到：所得结果的

整数部分是1,后边的部分的分母是两个相邻的整数的乘积，据此即可求解.

本题主要考查了二次根式的化简，正确根据已知的式子得到规律是解题的关键.

14.【答案】aZ3

【解析】解：-1WxW3时，y在x=-1时取得最大值，

l-a、-1+3

---------->----------，

22

解得a>3.

故答案为：a23.

根据二次函数的增减性利用对称轴列出不等式求解即可.

本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关

键.

15.【答案】24

第12页，共24页

【解析】解：如图，作EM1。4于点M,FN10B于点N,

设P(?n,n)(?n>0,n>0),则I=mnf

•••直线y=-：％+3与x轴交于C,与y轴交于£),

••"(4,0)、0(0,3),

・•.OC=4,OD=3,

・•・CD=V32+42=5,

vPALx^A,PB1B,

・•.E的纵坐标为小尸的横坐标为加，

vEM//OD,FN//OC,

CEEMDFFN

''CD~ODDC~OC

5n八厂5m

・•・CE=—,DF=—,

34

CE-DF=—--=50,

34

・•・mn=24,

:.k=24.

故答案为：24.

作EMJ.04于点M,FNLOB于点、N,设P(m,n)(m>0,n>0),则/c=mn,根据直线

y=+3,求出C、O坐标，再利用平行线分线段成比例得差=瞿，瞿，即

T,OLzWUL

CE•OF=子誓=50,所以nm=24,即得上的值.

此题考查了一次函数与反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象及性质，结合平行线分

线段成比例的知识解题是关键.

16.【答案】V13

【解析】解：当y=0时，。一c)(%-c-1)-3=0,(设aVb),

整理得/—(2c+1)%4-c2+c—3=0,

4=(2c+I)2-4(c2+c—3)=13,

2c+l±V13

AX=----------

2

匕仁i、［I1-113.1+V13

所以Q=C+-------,b=c+-------

22

由NiI।IklI1-V13I,।1+V13।V13-1.1+V13g

所以|a-c|+\c-b\=|-^—|+|—|+~^—=V13,

故答案为：V13.

利用抛物线与x轴的交点问题，利用公式法解方程(x-c)(x-c-1)-3=。(设a<b)

得a=c+上咨，b=c+上/，然后代入|。-可+,一〃计算即可.

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=aM+bx+c(a,b,c是常数，a#0)

与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.

4x—3y=6z①

17.【答案】解：方程组整理得:

x+2y=7z②

①X2+②X3得：llx=33z,即x=3z,

把尤=3z代入②得：y=2z,

222

则原式=18Z+12Z+6Z

9Z2+20Z2+7Z2

【解析】把Z看作已知数表示出方程组的解，代入原式计算即可得到结果.

此题考查了分式的化简求值，以及解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关

键.

18.【答案】(1)证明：••・四边形ABC。为平行四边形,

.-.AB//CD,AD//BC,

:.Z.BAE=Z.AED,ZC+乙D=180°,

•・・Z,AFB+乙BFE=180°,乙BFE=ZC,

v乙AFB=Z.D,

:・&ABFs卜EAD；

(2)解:vBE1CD,

・•・乙BEC=90°,

-AB//CD,

••・/.ABE=乙BEC=90°,

・・•/.BAE=30°,

ABV3

・•・cons3o0=—=—,

AE2

・・•AB=2V3,

・•・AE=4,

•・,△ABFs〉EAD,

BFAB

:.—=—,

ADAE

BF_273

•**—=-，

34

BF=-y[3.

2

第14页，共24页

【解析】⑴根据平行四边形性质得48〃CD,推=再根据乙4FB=ZD,

证三角形相似，用的是两角对应相等两个三角形相似；

（2）先根据AB〃CD,推々1BE=4BEC=90。，在直角三角形A8E中，用三角函数求出

4E的长，再根据△4BFSAE4O,推比例线段，把已知的线段代入计算即可.

本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的

性质和相似三角形的判断，三角函数的应用与相似比例线段的结合是解题关键.

19.【答案】364055

【解析】解：（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为360°x（l-50%-20%-10%-

10%）=36°；

该班共有学生（2+5+7+44-1+1）^50%=40人；

训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是点x（3x2+4x5+5x74-6x4+

20'

7+8）=5,

故答案为：36,40,5,5.

（2）列表如下:

男女1女2女3

男一（女，男）（女，男）（女，男）

女1（男，女）（女，女）（女，女）

女2（男，女）（女，女）一-一（女，女）

女3（男,女）（女，女）（女，女）一

•••共有12种等可能的结果，抽到的两名学生都是女生的结果有6种.

二恰好选中两名女生的概率为器=j.

（1）用360。乘以跳绳部分对应的百分比可得其圆心角度数，篮球人数除以其所占百分比

即可得总人数，再根据众数和中位数的概念求解可得；

（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到两名女生的情况数，即可求出所

求的概率.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃，再从

中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也

考查了统计图.

20.【答案】解：（1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0,所以％=-2,方程有实数

根，

②当k*0时，•••△=（2k+I）2-4fcx2=（2k-l）2>0,即△引0,

无论k取任何实数时，方程总有实数根；

(2)解：令y=0,则)％2+(2k+l).+2=0,

解得=-2,%2=一/

・.•二次函数的图象与X轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数,

fc=1.

由图象得到：当月>为时，Q>1或QV—4.

(3)依题意得Ze/+(2fc+1)%+2—y=。恒成立，即4(/+2%)+%—y+2=0恒成立,

则仁十曾”。，

所以该抛物线恒过定点(0,2)、(-2,0).

【解析】本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特

征，解答(1)题时要注意分类讨论.

(1)分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况.当该方程为一元二次

方程时，根的判别式ANO,方程总有实数根；

2

(2)通过解k/+(2k+1)X+2=0得到k=1,由此得到该抛物线解析式为y=x+

3x+2,结合图象回答问题.

(3)根据题意得到k/+(2k+1)久+2—y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，

通过解方程组求得该定点坐标.

21.【答案】(1)证明：连接OA,如图,

•••P4是。。的切线,

•••OA1.PA,

第16页，共24页

・・・〃MP=90°,

^.^POA^^POB^,

PA=PB

OA=OB，

(P0=po

・•△POAdPOB(SSS),

・・・乙OBP=Z.OAP=90°,

:.OB1PB,

•・•。8是O。的半径，

・・・「8是。。的切线；

(2)解：A3与。尸交于“，连接O”，如图,

22

在RtZkOQA中，OQ=y/OA+AQfAQ=4,CQ=2,

•••OQ=0C+CQ=0A+2,

0A=3,

设PA=x,贝i]PB=x,PQ=4+x,

在RtAPBQ中，BQ2+BP2=PQ2,BQ=BC+CQ=6+2=8,

82+x2=(%+4)2,解得x=6,

PA=PB=6,

•••P4与PB为O。的切线，

OP^-^^BPA,

•••OP垂直平分AB,即点，为48的中点，

•••。为P8的中点，

•••DH为4B4P的中位线，

DH=^PA=3,DH//PA,

--DH//AQ,

•••△DHEs&QEA,

AEAQ4

:.——=——=

HEDH3

设AE=4t,HE=3t,贝Ij/”=4E+HE=73

・•・BE=BHHE=AH+HE=7t+3t=lOt,

.AE_4t_2

**BE-lOt-5"

【解析】(1)根据切线的性质由PA是O。的切线得到4MP=90。，再利用“SSS”判断

△POA^LPOB,则NOBP=^OAP=90°,然后根据切线的判定定理即可得到结论；

(2)先用勾股定理计算出04=3,再计算出4P=6,利用切线长定理可得到H点为AB

的中点，易得。〃为ABAP的中位线，则。"=3「力=3,DH//PA,利用DH〃4Q得到

△DHES^QEA,所以些=丝=&,设4E=4t,HE=33贝〃”=4E+HE=7t,于

HEDH3

是BE=BH+HE=AH+HE=lOt,最后计算得解.

本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂

直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质.

22.【答案】解：(1)•••P(x,y)是山坡线AB上任意一

点，：

•••y=--x2+8,x>0.'_______________________2^51

4RQ\

:.x2=4(8—y),x=2^/8—y

vB(m,4),Am=2,8-y,

...B(4,4)(4分)

(2)在山坡线AB上，x=2,8-y,4(0,8)

①令y0=8,得出=0；令%=8-0.002=7.998,

得匕=270^002工0.08944

•••第一级台阶的长度为与一%。=0.08944(百米)x894(厘米)(6分)

同理，令丫2=8-2x0.002,丫3=8-3x0.002,

可得小«0.12649、x3x0.15492

.••第二级台阶的长度为%2=0.03705(百米)«371(厘米)(7分)

第三级台阶的长度为巧一出=0.02843(百米)x284(厘米)(8分)

②取点B(4,4),

又取y=4+0.002,Wijx=273^98«3.99900

v4-3.99900=0.001<0.002

二这种台阶不能从山顶一直铺到点8,从而就不能一直铺到山脚.(10分)

(3)0(2,7)、E(16,0)、8(4,4)、C(8,0)由图可知,

只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值(11分)

索道在BC上方时，

悬空高度y=~(x-16)2-；(X-8)2=2(-3%2+40%-96)=-(x-Y)2+I(13

分)

第18页，共24页

当X=T时，ymax=1

•••索道的最大悬空高度为等米.(14分)

【解析】(1)设P的坐标为(x,y)代入公式求出尤与y的等式关系，然后再把B的坐标代

入即可求解.

(2)分别求出前三级台阶的长度，按此推理.解题时要注意题目的开放性.

本题属二次函数应用中的难题.

解决函数应用问题的一般步骤为：

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；

(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型：

(3)求模：求解数学模型，得到数学结论；

(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题.

23.(答案］37n2+n2=p2

【解析】⑴①证明：,•・四边形ABC。和EFCG均为正方形，

ACCE片

•••——v2,

BCCF

・•・乙ACB=乙ECF=45°,

:.Z.ACE=乙BCF,

・•・△CAE^LCBF.

②解：•:&CAEs〉CBF,

Z.CAE=/.CBF,—,

BFBC

又・・•ACAE+乙CBE=90°,

:•乙CBF+乙CBE=90°,

:.乙EBF=90°,

又•.•野=丝=&，AE=2,

BFBC

BF=42

EC=V6,

EF=CF=V3,

•••BE=>JEF2-BF2=V3^2=1；

(2)解：如图②，连接BF,

图②

,:Z.ACB=乙ECF=a,

・•・tan乙4cB=tanz.FCF,

AB_EF

BC-FCf

设tana="=^=k,BB=a,FC=b,则AB=ka,EF=kb,

BCFC

・・・AC=7AB2+BC2=a•7k?+1,

CE=y/EF2+CF2=b•Vfc24-1,

^=£|=VFTI,^ACE=^CF,

•••△ACE^LBCF,

票姿=灰中，皿E="BF,

XvAE=6,

・••B昨高，

v/.CAE=ZCBF,乙CAE+4CBE=90°,

:•乙CBE+乙CBF=90°,

・・・乙EBF=90°,

加=8尸+叱=9磊,

•・•=A/H+1,

ECVFTIu仁

一■,C£-5,

EFk

门口

"EF~5k

c,3625k2

:.9H----------=---------

H+iH+I

.卜2_£

••rv—

16

・・•fc>0,

•.•kK.--逗-

4

遍

vt4ana=——3

4

(3)解：连接BF,同理可得/EBF=90。，过C点作CHL4B延长线于凡

第20页，共24页

•••四边形ABC。为菱形，

•••AB=BC,设4B=BC=x,

•••Z.CBH=乙DAB=60°,

•••BH=2-x2,CH=­x

AC2=AH2+CH2=(x+|x)2+(yx)2=3M,

.■■AB2：BC2-.AC2=1：1：3,

同理可得/片：FC2,EC2=1：1：3,

VEC=p,

：•EF2——,

3

VBC—=FC—=V3,/.ACE=乙BCF,

・•・△ACE^LBCF,

Ap2

・••丝7=R=3,Z-CAE=Z.CBF,

BF2CB2

又•・•AE=n,

BF2=—,

3

.:乙CAE=(CBF,zCi4E+zCBE=90°,

・・・4CBE+4C8F=90°,

・•・乙EBF=90°,

/.EF2=BE2+BF2,

P22_LM

33

・•・3m2+n2=p2,

即〃z,n,〃三者之间满足的等量关系是：3m24-n2=p2.

故答案为：37n2+n2=22

⑴①首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形,可得登=%=a,4ACE=乙BCF；

BCCF

然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAEs&CBF即可；

①首先根据△C4ESACBF,判断出N&4E=NCBF,再根据NC4E+47BE=90。，判

断出NEBF=90。；然后在BE尸中，根据勾股定理，求出EF的长度，可得结论；

(2)设tana=铝=罢=k,BB=a,FC=b,则4B=ka,EF=kb,首先根据相似三

BCFC

角形判定的方法，判断出△ACESABCF,即可判断出笠=M=据此求出所

BFBC

的长度是多少；然后判断出NEBF=90。，在RtABEF中，根据勾股定理，求出EF的

值是多少，进而求出女的值是多少即可；

(3)首先根据4D48=60",可得乙4BC=180°-60°=120°,在44BC中，根据勾股定

理可求得4加、BC2,AC?之间的关系，EF\FC2,EC?之间的关系；然后根据相似三

角形判定的方法，判断出△ACEs^BC尸，即可用〃表示出B尸的值；最后判断出EBF=

90。，在RtaBEF中，根据勾股定理，判断出相，〃，p三者之间满足的等量关系即可.

本题属于相似形综合题，考查了特殊四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角

三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，

属于中考压轴题.

24.【答案】解：(1)抛物线y=ax2-2ax+c的对称轴为直线％=1,

vAB=4,

由对称性可得4(-1,0),6(3,0),

vsinz/lBC=y,

tanZ.OBC=-y=——，

2y/5OB

co=

2

L2o.3

Ay=ax—2ax+

/2

将点4(-1,0)代入y=ax2-2ax+1,

得Q=，

・•・函数解析式为y=—浮+%+|；

(2)联立—+%+1=|x,

解得％=2或%=-1,

・••M为抛物线上A、T之间(含A、T两点)的动点，

设+t+|)(-1<t<2),

vME1x轴，

1c3

ME=--t2+t+~,

22

由题知

OG=-