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1.3.1函数的单调性与导数(一)1.单调性的定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．

当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．一、知识回顾：2.判断函数单调性的方法比如：判断函数的单调性。xyo函数在上为____函数，在上为____函数。图象法定义法减增如图：发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更为简捷的方法呢？下面我们考察单调性与导数有什么关系?这表明：导数的正、负与函数的单调性密切相关2yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：

分析:该函数在区间（－∞，2）上切线斜率小于0,即其导数为负,这时函数在（－∞，2）上单调递减；在区间（2，+∞）上切线斜率大于0,即其导数为正，这时函数在（2，+∞）上单调递增。而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.函数单调性与导数正负的关系

一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,例1、已知导函数的下列信息：当1<x<4时，>0;当x>4,或x<1时，<0;当x=4,或x=1时，=0.则函数f(x)图象的大致形状是(）。xyo14xyo14xyo14xyo14ABCDD例2.确定函数f(x)=x2-4x-5在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？2xyo例3、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=x3+3x;解：=3x2+3=3(x2+1)>0从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上单调递增，见右图。(2)f(x)=x2-2x-3;(3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;(2)f(x)=x2-2x-3;解：=2x-2=2(x-1)图象见右图。当>0，即x>1时，函数单调递增；当<0，即x<1时，函数单调递减；(3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解：=cosx-1<0从而函数f(x)=sinx-x

在x∈(0,)单调递减，见右图。(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4)当>0，即时，函数单调递增；图象见右图。当<0，即时，函数单调递

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