数学第六章实数总复习

第18-页共18页第六章实数总复习本章的知识网络结构：知识梳理：一．数的开方主要知识点：【算术平方根】：1.如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。【1】平方根：1.如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：。因此：2.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；3.当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：。当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。4.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。例1.（1）的平方是64，所以64的平方根是；（2）的平方根是它本身。（3）若的平方根是±2，则x=；的平方根是（4）当x时，有意义。（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是_____.例2.（1）下列说法正确的是（）A．1的立方根是B．C.的平方根是D.0没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A.B.C.D.（3）的算术平方根是。（4）若有意义，则___________。（5）已知△ABC的三边分别是且满足，求c的取值范围。（6）已知：A=是的算术平方根，B=是的立方根。求A－B的平方根。（7）（提高题）如果x、y分别是4－EQ\R(,3)的整数部分和小数部分。求x－y的值.【立方根】1.如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。2.平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例3.（1）64的立方根是

（2）若，则b等于（）

A.1000000B.1000C.10D.10000（3）下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个【无理数】1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如：2.01001000100001…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：2.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有()个A2B3C【实数】1.有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。2.实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。3.实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例5.（1）下列说法正确的是（）；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、1和2之间的无理数只有；D、不带根号的数都是有理数。（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()b0a b0aA、B、C、D、（3）比较大小(填“>”或“<”).3，，，，（4）数的大小关系是()A. B.C. D.（5）将下列各数：，用“＜”连接起来；______________________________________。（6）若，且，则：=。（7）计算：（8）已知：，求代数式的值。6.（提高题）观察下列等式：回答问题：①②③，……（1）根据上面三个等式的信息，请猜想的结果；（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。课后练习一、考查题型：－1的相反数的倒数是已知｜a+3|+EQ\R(,b+1)＝0，则实数（a+b）的相反数数－3．14与－Л的大小关系是和数轴上的点成一一对应关系的是和数轴上表示数－3的点A距离等于2．5的B所表示的数是在实数中Л,－EQ\F(2,5),0,EQ\R(,3),－3．14,EQ\R(,4)无理数有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（）（A）非负数（B）非正数（C）负数（D）正数8．若x＜－3，则｜x＋3｜等于（）（A）x＋3（B）－x－3（C）－x＋3（D）x－39．下列说法正确是（）有理数都是实数（B）实数都是有理数带根号的数都是无理数（D）无理数都是开方开不尽的数10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：c-b和d-abc和ad二、考点训练：*1．判断题：（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（）（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（）（3）两个无理数之和一定是无理数；（）（4）两个无理数之积不一定是无理数；（）（5）任何有理数都有倒数；（）（6）最小的负数是－1；（）（7）a的相反数的绝对值是它本身；（）（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（）2．把下列各数分别填入相应的集合里－|－3|，21．3，－1．234，－EQ\F(22,7),0，－EQ\R(,9),－EQ\R(3,\f(－1,8)),－EQ\F(Л,2),EQ\R(,8),(EQ\R(,2)－EQ\R(,3))0，3－2，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中无理数集合｛｝负分数集合｛｝整数集合｛｝非负数集合｛｝*3．已知1<x<2，则|x－3|+EQ\R(,(1-x)2)等于（）（A）－2x（B）2（C）2x（D）－24．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？－3,EQ\R(,2)－1，3，－0．3，3－1，1+EQ\R(,2)，3EQ\F(1,3)互为相反数：互为倒数：互为负倒数：*5．已知ｘ、ｙ是实数，且（x－EQ\R(,2)）2和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值6.ａ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，求EQ\F(|a+b|,2m2+1)+4m-3cd=。*7．已知EQ\F(（ａ－3ｂ）2＋｜ａ2－4｜,\R(,a+2))＝0，求ａ＋ｂ=。三、解题指导：1．下列语句正确的是（）（A）无尽小数都是无理数（B）无理数都是无尽小数（C）带拫号的数都是无理数（D）不带拫号的数一定不是无理数。2．和数轴上的点一一对应的数是（）（A）整数（B）有理数（C）无理数（D）实数3．零是（）最小的有理数（B）绝对值最小的实数（C）最小的自然数（D）最小的整数4.如果a是实数，下列四种说法：（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，（3）ａ的倒数是EQ\F(1,a)，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的（）（A）0（B）1（C）2（D）3*5．比较下列各组数的大小：EQ\F(3,4)EQ\F(4,5)(2)EQ\F(3,2)EQ\R(,3)EQ\R(,12)(3)a<b<0时,EQ\F(1,a)EQ\F(1,b)6．若a,b满足EQ\F(|4-a2|+\r(,a+b),a+2)=0,则EQ\F(2a+3b,a)的值是*7．实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c|判定a+b,a+c,c-b的符号化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8．数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x，－x，－|y|，y。10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？12．把下列语句译成式子：（1）a是负数；（2）a、b两数异号；（3）a、b互为相反数；（4）a、b互为倒数；(5)x与y的平方和是非负数；（6）c、d两数中至少有一个为零；（7）a、b两数均不为0。*13.数轴上作出表示EQ\R(,2)，EQ\R(,3)，－EQ\R(,5)的点。四．独立训练：1．0的相反数是，3－л的相反数是，EQ\R(3,－8)的相反数是；－л的绝对值是，0的绝对值是，EQ\R(,2)－EQ\R(,3)的倒数是2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是。A表示的数是－EQ\F(1,2)，且AB＝EQ\F(1,3)，则点B表示的数是。3－EQ\R(3,3),л,(1－EQ\R(,2))º,－EQ\F(22,7),0．1313…,－3-1,1．101001000…(两1之间依次多一个0),中无理数有，整数有，负数有。4.若a的相反数是27，则｜a|＝；5．若|a|＝EQ\R(,2)，则a=5．若实数x，y满足等式（x＋3）2＋｜4－y｜＝0，则x＋y的值是6．实数可分为（）（A）正数和零（B）有理数和无理数（C）负数和零（D）正数和负数*7．若2a与1－a互为相反数，则a等于（）（A）1（B）－1（C）EQ\F(1,2)（D）EQ\F(1,3)8．当a为实数时，EQ\R(,a2)=－a在数轴上对应的点在（）(A)原点右侧（B）原点左侧（C）原点或原点的右侧（D）原点或原点左侧*9．代数式EQ\F(ａ,｜ａ｜)＋EQ\F(ｂ,｜ｂ｜)＋EQ\F(ａｂ,｜ａｂ｜)的所有可能的值有（）（A）2个（B）3个（C）4个（D）无数个10．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图（1）比较a－b与a+b的大小（2）化简|b－a|+|a+b|11．实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜*12．已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0。求它的周长。＊13．若3，ｍ，5为三角形三边，化简：EQ\R(,（2－ｍ）2)－EQ\R(,（ｍ－8）2)课外训练：1、2的平方根是；125的立方根是____;的算术平方根是；的平方根是；=；的平方根是；的立方根是；的平方根是；如果的平方根是±3，则a=。2、若，则化简的结果是__________3、大于－小于的所有整数的和是。4.有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0.⑤无限小数就是无理数;⑥0.101001000100001是无理数.其中假命题有(填序号)5.;=.6.比较大小：___;___;(填“＞”“<”或“=”符号)7、已知实数满足，则的取值范围是___________。8、如果a<0,那么|-2a|可化简为____________.9、一个自然数的立方根是x，则下一个自然数的立方根是_________.10、的两个平方根是方程的一组解，则=_______,的立方根是11、若和都有意义，则的值是（）12、如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（）13、已知a满足|2008-a|+=a，则a-=___________.14、边长为1的正方形的对角线长是（）15、已知x、y、z满足|x+y|+2+=0，则x+y+z的平方根是______.16、若y＝++10,则yx =17、若，则a的取值范围是；18、若，则=；19、阅读下列材料：设…①，则…②，则由②－①得：，即。所以…。根据上述提供的方法把下列两个数化成分数。=，=；20、已知x、y互为倒数，c、d互为相反数，a的绝对值为3，z的算术平方根是5，求：4×（c+d）+xy+的值。21、已知是小于的整数，且，那么的所有可能值是____22、若和都是5的立方根，则+=22、大于小于的整数是；23、如果一个数的平方根是和，则这个数为；24.一个正方形的面积变为原来的倍，则边长变为原来的倍；一个立方体的体积变为原来的倍，则棱长变为原来的倍。25、对于实数，若有，则———————．26.若，，则27、若有意义，则=,若，则±=28、已知5+的小数部分为a，5－的小数部分为b，求：（1）a+b的值；（2）a－b的值.29.已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根.30、若则，化简=（）31、若=3,=2,且，则a－b=；32、若5+的小数部分为a,5-的小数部分为b,则a+b=____________________.33、如果+2=0，则x+17的平方根是__________________.34、已知m是的整数部分，n是的小数部分，计算m-n=______.35、已知一块长方形地长与宽的比是3:2，面积为3174平方米，则这块地的长为______.使式子有意义的x的取值范围_________.设A=+,B=+,则A_________B(填>、<、=)知实数a满足a++=0,那么|a-1|+|a+1|=_____________.已知x、y是实数，且与互为相反数，则=。已知与互为相反数，求=_____已知y=,则=____________.已知x、y、z满足关系式，试求x+y+z的值为__.43在实数范围内，设a=,则a的个位数字是__.44、已知的算术平方根是3，的平方根是±4，是的整数部分，求a+2b-c2的平方根。45、实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简11146、如果A=为的算数平方根，B=为的立方根，求A+B的平方根。47、阅读下列解题过程：，，请回答下列回题：（1）观察上面的解答过程，请写出；（2）利用上面的解法，请化简：48、已知，为实数，且满足，则的值时多少？49、计算下面各题。（1）（2）-=1（3）、-(4)、（5）、||+||+|2-|50．如图，在数轴上1，的对应点A、B，A是线段BC的中点，则点C所表示的数是()A．B．C．D．51.已知，求的平方根.52、已知与互为相反数，求的值。53、已知是的算术平方根，是的立方根的平方根。54、已知x、y都是实数，且，求的平方根55、如果一个数的平方根是和，求这个数。56、已知a、b满足，解关于的方程。综合训练一、选择题1．在3.14，，，，π这五个数中，无理数的个数是（）A．1B．2C．3D．42．一个数的平