2021北京重点校初二（上）期中数学汇编：三角形章节综合1

33/332021北京重点校初二（上）期中数学汇编三角形章节综合1一、单选题1．（2021·北京四中八年级期中）正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q2．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（）A． B． C． D．3．（2021·北京师大附中八年级期中）两根长度分别为2，10的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是（）A．12 B．10 C．8 D．64．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（）A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点C．三条高的交点 D．三边中垂线的交点5．（2021·北京·清华附中八年级期中）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．10 B．15 C．17 D．196．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的顶点均落在格点上，若点A的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为（）A． B． C． D．二、填空题7．（2021·北京师大附中八年级期中）已知等边△ABC的边长为6，点M是射线AB上的动点，点N是边BC延长线上的动点，在运动的过程中始终满足AM＝CN，作MD垂直于射线AC于D，连接MN交射线AC于E．（1）如图1，当点M为AB的三等分点（靠近点A）时，DE的长为_______．（2）点M、N分别从点A、C同时出发、分别在射线AB、边BC的延长线上以相同的速度开始运动，动点M、N在运动过程中，DE的长会________（变小、变大、不变）．8．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图，已知，点，，，在射线ON上，点，，，在射线OM上，，，，均为等边三角形，若，则的边长为______．的边长为______．9．（2021·北京八中八年级期中）如图，中，，，，，平分，如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是__________．10．（2021·北京四中八年级期中）如图，己知，添加一个条件______________，使得．11．（2021·北京四中八年级期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，，则的面积为___________．12．（2021·北京四中八年级期中）如图，是中边的垂直平分线，若，，则的周长是_________．13．（2021·北京·清华附中八年级期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为54°，则该等腰三角形的底角的度数为_______．14．（2021·北京·人大附中八年级期中）如图，△ABC为等边三角形，点D与点C关于直线AB对称，E，F分别是边BC和AC上的点，BE＝CF，AE与BF交于点G，DG交AB于点H．下列四个结论中：①△ABE≌△CBF；②AG+BG＝DG；③HG+GE＝GF；④△AHF为等边三角形．所有正确结论的序号是___．15．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，BD平分∠ABC，DE∥BC交BA于点E，若DE＝1，则EB＝_______．16．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，在△ABC中，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，若△ABC的周长是20，且OD＝3，则△ABC的面积为________．17．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，A、B、C、D四点共线，且AB＝CD，CE⊥AB于C，DF⊥AB于D，请添加一个条件使△ACE≌△BDF，并证明．添加条件____________________．证明：18．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图，在中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，若，，P是直线MN上的任意一点，则的最小值是______．三、解答题19．（2021·北京四中八年级期中）已知：如图1，在中，是的平分线．E是线段上一点（点E不与点A，点D重合），满足．（1）如图2，若，且，则________，_______．（2）求证：．（3）如图3，若，请直接写出和的数量关系．20．（2021·北京四中八年级期中）我们类比学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法，对“四边形全等的判定”进行探究．根据全等形的定义，如果四边形满足四条边分别相等，四个角分别相等，就能判定这两个四边形全等．【初步思考】一定要满足四条边分别相等，四个角也分别相等，才能保证两个四边形全等吗？能否在上述八个条件中选择部分条件，简捷地判定两个四边形全等呢？通过画图可以发现，满足上述八个条件中的四个条件的两个四边形不一定全等，举反例如图1或图2：【深入探究】满足上述八个条件中的五个，能保证两个四边形全等吗？小萍所在学习小组进行了研究，她们认为五个条件可分为以下四种类型：Ⅰ．一条边和四个角分别相等；Ⅱ．二条边和三个角分别相等；Ⅲ．三条边和二个角分别相等；Ⅳ．四条边和一个角分别相等．（1）小齐认为“Ⅰ．一条边和四个角分别相等”的两个四边形不一定全等，请你画图举反例说明，并写出分别相等的一条边和四个角．（2）小栗认为“Ⅳ．四条边和一个角分别相等”的两个四边形全等，请你结合下图进行证明．已知：如图，四边形和四边形中，，，，，．求证：四边形四边形．（3）小熊认为还可以对“Ⅱ．二条边和三个角分别相等”进一步分类，他以四边形和四边形为例，分为以下几类：①；②；③；④．其中能判定四边形和四边形全等的是__________（填序号），概括可得一个“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是_________________．21．（2021·北京师大附中八年级期中）求作一点P，使P到∠AOB两边的距离相等，且PC＝PD．（不写作法，保留作图痕迹）22．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，在所给的平面直角坐标系中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分）（1）若A（－4，1），C（－3，3），△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，直接写出△A1B1C1三个顶点坐标为A1________，B1_______，C1______；（2）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A2B2C2；（3）在DE上画出点P，使PA＋PC最小；（4）在DE上画出点Q，使QA－QB最大．23．（2021·北京师大附中八年级期中）已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点（D不与B、C重合），连接AD，以AD为边作∠ADE＝∠ADF，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图1，若点D是BC的中点，求证：AE＝AF；（2）如图2，若∠ADE＝∠ADF＝60°，猜测AE与AF的数量关系？并证明你的结论．24．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图，是等边三角形，D点是BC上一点，，于点E，CE交AD于点P．求的度数．25．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图，点C是线段AB上一点，与都是等边三角形，连接AE，BF．(1)求证：；(2)若点M，N分别是AE，BF的中点，连接CM，MN，NC．①依题意补全图形；②判断的形状，并证明你的结论．26．（2021·北京四中八年级期中）如图，已知．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以点M，N为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内部交于点C．则射线是的角平分线．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出射线（请保留作图痕迹）；（2）完成下面证明过程．（注：括号里填写推理的依据）．连接，．在和中，∵∴（），∴________（），即平分．27．（2021·北京四中八年级期中）如图，，垂足分别为E，F，．求证：．28．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，在△ABC中，AB⊥BC，DE是边AC的垂直平分线，连接AE，（1）若∠C＝20°，求∠BAE的度数；（2）若∠C＝30°，BE＝4，求AE的长．29．（2021·北京师大附中八年级期中）正方形是我们非常熟悉的几何图形，它是四条边都相等，四个角都是直角的正多边形，它是轴对称图形，有四条对称轴，正方形的一条对角线可以把它分成两个全等的等腰直角三角形（如图1），两条对角线可以把它分成四个全等的等腰直角三角形（如图2）．（1）图3中有三个正方形，正方形ABCD，正方形BEFG，正方形MNPQ，那么图中有_________对全等的三角形．（2）若正方形BEFG的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2，不通过计算，推测S1和S2的大小关系是________．A．B．C．（3）若正方形ABCD的边长为18，则正方形BEFG的面积S1＝_______；正方形MNPQ的面积为S2＝______．（4）若正方形MNPQ的面积S2＝a，则正方形ABCD的面积S＝_______．30．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图，在等边中，点D是边BC上一点，，连接AD．作点C关于直线AD的对称点为E．连接EB并延长交直线AD于点F．(1)依题意补全图形，直接写出的度数；(2)直接写出线段AF，BF，EF之间的等量关系．

参考答案1．A【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，根据角平分线的性质解答．【详解】解：如图，作的平分线，点M在该角平分线上，∴点M到两边距离相等，故选：A．【点睛】此题考查角平分线的性质，熟记性质定理并正确作出角平分线是解题的关键．2．C【分析】根据题意，可知仍可辨认的有1条边和2个角，且边为两角的夹边，即可根据来画一个完全一样的三角形【详解】根据题意可得，已知一边和两个角仍保留，且边为两角的夹边，根据两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，即故选C【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形的判定方法是解题的关键．3．B【分析】根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．【详解】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于两边之差，即10-2=8；而小于两边之和，即10+2=12，即8＜第三边＜12，四个选项中，只有B符合条件．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形中三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．4．D【分析】由题意根据线段的垂直平分线上的性质，则有三角形三边中垂线的交点到三角形的三个顶点距离相等．【详解】解：∵垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，∴到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边中垂线的交点．故选：D．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是注意掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．5．C【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．6．C【分析】到△ABC三个顶点距离相等的点是AB与AC的垂直平分线的交点，画出交点，进而得出其坐标即可．【详解】解：平面直角坐标系如图所示，AB与AC的垂直平分线的交点为点O，∴到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0），故选：C．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．7．3不变【分析】（1）过点作交射线于点，证明，根据含30度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求得的长；（2）过点作交射线于点，过点作于点，证明是等边三角形，进而证明，即可证明，从而得到结论．【详解】如图，过点作交射线于点，是等边三角形是等边三角形在与中故答案为：3（2）不变，理由如下，如图，过点作交射线于点，过点作于点，是等边三角形是等边三角形在与中是等边三角形,即故答案为：不变【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．8．2a2n﹣1a【分析】利用等边三角形的性质得到∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，利用同样的方法得到A2O＝A2B2＝2a＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4＝22a，利用此规律即可得到AnBn＝2n﹣1a．【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∠MON＝30°，∴∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，同理：A2O＝A2B2＝2＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4a＝22a，……．以此类推可得△AnBnAn+1的边长为AnBn＝2n﹣1a．故答案为：2a；2n﹣1a．【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，解题关键是掌握三角形边长的变化规律．9．4.8【分析】先作CE⊥AB交BD于点M，再作MN垂直BC，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M和N，进而求得CM+MN的最小值．【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，∵BD平分∠ABC，∴ME=MN，∴CM+MN=CM+ME=CE．∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，CE⊥AB，∴，∴10CE=6×8，∴CE=4.8．即CM+MN的最小值是4.8，故答案为：4.8．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、角分线的性质，解决本题的关键是找到使CM+MN最小时的动点M和N．10．或或【分析】根据全等三角形全等的方法判断即可．【详解】解：根据SAS判定，可以添加；根据ASA判定，可以添加；根据AAS判定，可以添加；故答案为：或或．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．11．20【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝4，然后根据三角形面积公式求得即可．【详解】解：作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，∴EF＝DE＝4，∴S△BCE＝BC•EF＝×10×4＝20．故答案为：20．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．12．9【分析】由垂直平分线的性质，得到AE=CE，然后得到BE+CE=5，即可求出答案．【详解】解：∵是中边的垂直平分线，∴，∴，∴的周长是：；故答案为：9．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，正确得到．13．72°或18°##18°或72°【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB=90°，∵∠ABD=54°，∴∠A=90°-∠ABD=36°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=×（180°-∠A）=72°（2）如图当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°，∵∠HFE=54°，∴∠HEF=90°-∠HFE=36°，∴∠FEG=180°-∠HFE=144°，∵EF=EG，∴∠EFG=∠G=×（180°-∠FEG）=18°．故答案为：72°或18°【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理，学会分类思想的应用是解题的关键．14．①②④【分析】根据SAS证明△ABE≌△CBF故可判定①正确；延长GE至H’，使GH’=GB，得到△BGH’、△ABD也是等边三角形是等边三角形，再证明△DBG≌△ABH’，即可判定②正确；连接HE，根据在△HGE中HG+GE＞HE与HE=GF即可判定③错误；连接HF，证明△ADH≌△CAE得到AH=CE，再根据AH=AF、∠HAF=60°故可判定④正确．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=60°又BE＝CF∴△ABE≌△CBF（SAS），①正确；延长GE至H’，使GH’=GB由①得△ABE≌△CBF∴∠BAE=∠FBC∴∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°又GH’=GB∴△BGH’是等边三角形∴BG=BH’=GH’，∠GBH’=60°∵点D与点C关于直线AB对称∴AD=AC，BD=BC∴AD=BD=AB∴△ABD也是等边三角形∴AB=BD，∠ABD=60°∵∠ABH’=∠BGH’+∠ABG，∠DBG=∠ABD+∠ABG，∴∠ABH’=∠DBG又DB=AB，BG=BH’∴△DBG≌△ABH’（SAS）∴DG=AH’而AH’=AG+GH’∴DG=AG+BG，②正确；连接HE，在△HGE中HG+GE＞HE∵HE=GF∴HG+GE＞GF，故③错误连接HF，∵△DBG≌△ABH’∴∠BDG=∠BAE∴∠ADB=∠BDG=∠BAC=∠BAE即∠ADH=∠GAF又AD=AC，∠ACE=∠DAH∴△ADH≌△CAE∴AH=CE又CE=BC-BE=AC-FC=AF∴AH=AF∵∠HAF=60°∴△AHF是等边三角形，④正确故答案为：①②④．【点睛】此题主要考查等边三角形与全等三角形综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理与作辅助线的方法．15．1【分析】利用角平分线的定义以及平行线的性质证明∠EDB=∠EBD，即可求解．【详解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠EBD，∵DE∥BC，∴∠DBC=∠EDB，∴∠EDB=∠EBD，∴ED=EB，∵DE=1，∴EB=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．16．30【分析】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，连接AO根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=OD=OF，然后根据三角形的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，连接AO∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD=OF=3，∴，∵△ABC的周长为20，∴AB+AC+BC=20，∴，故答案为：30．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．17．∠E＝∠F（不唯一）【分析】添加条件∠E=∠F，利用AAS证明两个三角形全等即可．【详解】解：添加条件：∠E=∠F，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠ACE=∠BDF=90°，在△ACE和△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（AAS），故答案为：∠E=∠F（不唯一）．【点睛】本题主要考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件．18．8【分析】如图，连接PB．利用线段的垂直平分线的性质，可知PC＝PB，推出PA+PC＝PA+PB≥AB，即可解决问题．【详解】解：如图，连接PB．∵MN垂直平分线段BC，∴PC＝PB，∴PA+PC＝PA+PB，∵PA+PB≥AB＝BD+DA＝5+3＝8，∴PA+PC≥8，∴PA+PC的最小值为8．故答案为：8．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．19．（1）36，126；（2）见解析；（3）【分析】（1），且，再结合三角形的外角定理即可求，，且，是的平分线，再结合三角形内角和定理即可求解；（2）在上截取，连接，可证，故，，从而可得，所以进而可证得：（3）由，可得，，，又是的平分线，可得，故是的平分线，所以是的平分线，故，又，所以和的数量关系即可求解．【详解】（1）∵，且，∴∠EAC=∠ACE=18°，∴∠DEC=∠EAC+∠ACE=36°，又∵是的平分线，∴∠BAD=∠CAD=18°，∵，∴∠ABE=36°，∴；故答案为：36，126（2）在上截取，连接，又∵AE=AE，，∴，∴，∵∠AFE=∠ACE+∠FEC，∠ABE=2∠ACE，∴，∴∴；（3）∵，∴，∵，，∠CAD=∠BAE，∴∠ACD=∠ABE，∵∠ABE=2∠ACE，∴∠ACD=2∠ACE，∴CE平分∠ACB，∴点E到CA、CB的距离相等，又∵是的平分线，∴点E到AC、AB的距离相等，∴点E到BA、BC的距离相等，∴是的平分线，∴∠ABE=∠CBE，∴，又∵，∴，即．【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形的内角和定理、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握各知识点，准确作出辅助线，熟练运用数形结合的思想．20．（1）见解析；（2）见解析；（3）①②③，有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等【分析】（1）可以利用正方形与矩形进行说明；（2）根据四条边对应相等，和一个角对应相等，结合图形即可写出已知与求证．证明时可以连接AC、A1C1，转化为证明△ABC≌△A1B1C1，和△ACD≌△A1C1D1．即可证得；（3）根据条件能证明①②③中△ABD≌△A1B1D1（SAS），和△BCD≌△B1C1D1（AAS或ASA），从而利用全等三角形的性质与等式的性质得出两个四边形四条边对应相等，四个角对应相等，因而这两个四边形全等．【详解】解：（1）如正方形与矩形有一条边对应相等，但显然不一定全等．如图，已知AB=A1B1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1，正方形ABCD和矩形A1B1C1D1不一定全等；（2）已知：如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，AB=A1B1，BC=B1C1，CD=C1D1，DA=D1A1，∠B=∠B1．求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．证明：连接AC、A1C1．∵AB=A1B1，∠B=∠B1，BC=B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1，∴AC=A1C1，∠BAC=∠B1A1C1，∠BCA=∠B1C1A1．又∵CD=C1D1，DA=D1A1，∴△ACD≌△A1C1D1．∴∠D=∠D1，∠DAC=∠D1A1C1，∠DCA=∠D1C1A1，∴∠BAD=∠B1A1D1，∠BCD=∠B1C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；（3）①②③；①已知：如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1．求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．证明：连接BD、B1D1．∵AB=A1B1，A=∠A1，AD=A1D1，∴△ABD≌△A1B1D1，∴BD=B1D1，∠ABD=∠A1B1D1，∠ADB=∠A1D1B1，又∵∠ABC=∠A1B1C1，∠C=∠C1，∴∠DBC=∠D1B1C1，∴△BCD≌△B1C1D1．∴BC=B1C1，CD=C1D1，∠BDC=∠B1D1C1，∴∠ADC=∠A1D1C1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；同理可证明②③成立；④如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，已知AB=A1B1，CD=C1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1．显然四边形ABCD和四边形A1B1C1D1不一定全等．概括可得一个“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是：有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等．故答案为：①②③；有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等．【点睛】本题考查了四边形综合题，涉及的知识点有：四边形的全等，三角形全等的判定与性质，解题的关键是注意：多边形的全等可以通过作辅助线转化为证明三角形全等的问题．21．见解析【分析】以为圆心，任意长度为半径，交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半在的内部作弧，过点和两弧的交点作射线，此射线即为的角平分线，分别以为圆心，大于为半径在的两侧作弧，交于两点，过这两点作直线，此直线为的垂直平分线，则的垂直平分线和的角平分线的交点即为所求．【详解】如图所示，作的角平分线，和的垂直平分线，则的垂直平分线和的角平分线的交点即为所求．【点睛】本题考查了基本作图-作角平分线、作垂直平分线，掌握角平分线和垂直平分线的性质是解题的关键．22．（1）（4，1），（2，0），（3，3）；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析．【分析】（1）由图像可知坐标为，求出点关于轴对称的点的坐标即可；（2）分别求出点关于对称的点的坐标，描点，连接对应线段即可；（3）由轴对称的性质可得，即可求得当三点共线时，最小；（4）由三角形三边关系可得，，当三点共线时，，此时最大．【详解】解：（1）由图像可知坐标为又∵∴点关于轴对称的点的坐标分别为，，故答案为，，（2）∵，，直线为∴点关于对称的点的坐标分别为、、如下图，即为所求：（3）由轴对称的性质可得，由三角形三边关系可得当三点共线时，，此时最小，连接，与交点即是点，如下图：（4）由三角形三边关系可得，，当三点共线时，，此时最大，延长，与交点即是点，如下图：【点睛】此题考查了轴对称变换，涉及了轴对称变换的性质，以及三角形三边关系，解题的关键是掌握轴对称变换的性质以及三角形三边关系的应用．23．（1）见解析；（2）AE＝AF，证明见解析．【分析】（1）根据三线合一可得，结合已知条件证明即可得证；（2）在上截取，证明，进而可得，，，设，根据三角形的外角性质以及角度的计算可得，进而根据等角对等边即可得证．【详解】（1）是等边三角形，点D是BC的中点，，又，∠ADE＝∠ADF，（2），理由如下，如图，在上截取，∠ADE＝∠ADF，，，是等边三角形，设,∠ADE＝∠ADF＝60°，,【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三线合一，等边对等角，三角形全等的性质与判定，第二问中添加辅助线是解题的关键．24．【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而可证，则有，最后问题可求解．【详解】解：∵是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴（SAS），∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．25．(1)证明见解析；(2)①补全图形见解析；②是等边三角形，证明见解析．【分析】（1）由等边三角形的性质可知，，．结合题意易得出．即可利用“SAS”证明，即得出；（2）①根据题意补全图形即可；②由全等三角形的性质可知，．再由题意点M，N分别是AE，BF的中点，即得出．即可利用“SAS”证明，得出结论，．最后根据，即得出，即可判定是等边三角形．(1)∵与都是等边三角形，∴，，，∴，即，在和中，∴，∴，∴．(2)①画图如下：②是等边三角形．理由如下：∵，∴，．∵点M，N分别是AE，BF的中点，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，即，∴是等边三角形．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的中点．利用数形结合的思想是解答本题的关键．26．（1）见解析；（2），，全等三角形的对应角相等【分析】（1）根据题目中的作图步骤画图即可；（2）根据全等三角形的判定定理和性质，补充完整即可．【详解】（1）如图所示，射线即为所求；（2）连接，．在和中，∵∴（SSS），∴∠BOC（全等三角形对应角相等），即平分．【点睛】本题考查了角平分线的画法和全等三角形的判定与性质，解题关键是明确角平分线画法，熟练运用全等三角形的判定与性质进行证明．27．见解析【分析】利用HL证明，即可得到结论．【详解】证明：∵，∴，在和中，，，∴，∴．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．28．（1）50°：（2）8【分析】(1)根据直角三角形的性质求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，求出∠EAC=∠C=20°，再求出答案即可；(2)根据直角三角形的性质求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，求出∠EAC=∠C=30°,可求出∠BAE=30°,BE＝4，即可求出AE的长．【详解】解：(1)∵AB⊥BC，∠B=90°，∠C＝20°，∴∠BAC=90°−20°=70°，∵DE是边AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C=20°，∴∠BAE=70°−20°=50°.(2)∵AB⊥BC，∠B=90°，∠C＝30°，∴∠BAC=90°−30°=60°，∵DE是边AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C=30°，∴∠BAE=60°−30°=30°，∵在Rt△ABE中，BE＝4，∴AE=2BE=8.【点睛】本题考