2021北京工大附中高二（上）期中数学（教师版）

17/172021北京工大附中高二（上）期中数学命题人：谢辉审核人：肖志军（考试时间120分钟，总分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为A．30° B．45° C．60° D．120°2．已知点和点，且，则实数的值是A．或B．或C．或D．或3．过点且垂直于的直线方程为A．B．C．D．4．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为A．B．C．D．5．点为圆上的动点，是圆的切线，，则点的轨迹方程是A．B．C．D．6．椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则椭圆的离心率是A． B． C． D．7．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则A．B．C．D．8．若椭圆：（）满足，则该椭圆的离心率A．B．C．D．9．设表示的是椭圆；，则是成立的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10.正方体的棱长为1，则集合中元素的个数为A.4B.3C.2D.1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，则的周长为___________．12.已知平面α和平面β的法向量分别为，，且α⊥β，则=________.13.直线与圆交于点A，B两点，则线段的长___________.14.如图，在直三棱柱中，，，点E是棱上一点，且，则异面直线与AE所成角的余弦值为________.15.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为______．16.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，则______．三、解答题（本大题共5个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分15分）已知圆，直线过点.（Ⅰ）求圆的圆心坐标及半径长；（Ⅱ）若直线与圆相切，求直线的方程；（Ⅲ）当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求.

18.(本小题满分13分)已知长轴长为的椭圆的一个焦点为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若斜率为l的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程．19．（本小题满分15分）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，E、F分别是棱、的中点.（Ⅰ）求证：平面AEF；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点F到平面的距离.20．（本小题满分13分）已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆交于点，，记直线，的斜率分别为，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的值.

21．（本小题满分14分）等边三角形的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求平面和平面夹角的余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使？若存在，请指出P点的位置，若存在，请说明理由.

2021北京工大附中高二（上）期中数学参考答案1．B【分析】首先根据斜率公式求出斜率，再根据倾斜角与斜率的关系计算可得；【详解】解：因为，，所以，设直线AB的倾斜角为，则，因为，所以故选：B2．A【分析】利用空间两点间的距离公式求解.【详解】点和点，且，，化简得，解得或，实数的值是或．故选：A3．B【分析】求出直线l的斜率，再借助垂直关系的条件即可求解作答.【详解】直线的斜率为，而所求直线垂直于直线l，则所求直线斜率为，于是有：，即，所以所求直线方程为.故选：B4．C【分析】求出实半轴的长、虚半轴的长后可得双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的方程为：，半焦距为.则，，则，故，所以双曲线的标准方程为．故选：C.5．B【分析】由圆的切线性质，结合已知有和圆心的距离恒为，设即可写出的轨迹方程.【详解】∵，∴点和圆心的距离恒为，又圆心，设，∴由两点间的距离公式，得.故选：B6．D【分析】设椭圆半焦距为c，根据给定条件可得b=c，再确定a与c的关系即可得解.【详解】设椭圆半焦距为c，因椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则有b=c，而，于是得，所以椭圆的离心率是.故选：D7．A【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为在四棱锥中，底面是正方形，，，，，所以．故选：A．8．C【分析】由题意构建齐次式即可得到结果.【详解】由题意知，又，∴∴，即或（舍），故选:C．9．A【分析】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果.【详解】若表示的是椭圆，则且，即成立；反例：当时，表示的是圆，即不成立；即p是成立的充分不必要条件，故选：A.10.D【解析】熟悉向量数量积的几何意义的话，这道题就很简单，∵在方向上投影始终是1，，选D11．12【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】因为过点的直线交椭圆于两点，由椭圆的定义得：，所以的周长为,故答案为：1212．【分析】根据法向量垂直即可求出的值.【详解】∵α⊥β，∴，即，解得.故答案为：.13．.【分析】求出圆的圆心和半径，结合点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后结合圆的几何性质即可求出结果.【详解】圆的圆心为，半径为4，则圆心到直线的距离为，所以线段的长为，故答案为：.14．【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设异面直线与所成角为，则故答案为：15．【分析】由题意可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合，【详解】解：由图可知四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，所以面角和为，故总曲率为．故答案为：．16.【解析】设正方体的棱长为1，以

为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，的中点，，，则，设，，由与共线，可得，所以，所以，其中，因为，，所以，所以，即是动点到直线的距离，由空间两点间的距离公式可得，所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点．17.（本小题满分14分）已知圆，直线过点.（1）求圆的圆心坐标及半径长；（2）若直线与圆相切，求直线的方程；（3）当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求.（1）圆心坐标是（3，4），半径长是2；（2）或；（3）4.【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径；（2）分直线斜率不存在和存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，可设直线的方程是，再利用圆心到直线的距离等于半径，求得斜率，即可得解；（3）由（2）得切线的方程，设圆的圆心是点，求出的长度，在利用勾股定理即可得解.【详解】解：把圆的方程化成标准式方程，为.（1）圆的圆心坐标是（3，4），半径长是2.（2）当直线的斜率不存在即其方程是时，满足题设.当直线的斜率存在时，可设直线的方程是即0.由圆心（3，4）到直线的距离等于圆的半径长2，即，解得，进而可得此时直线的方程是.综上所述，可得直线的方程是或.（3）由（2）的解答可得直线的方程是.设圆的圆心是点，则，所以.18.已知离心率的椭圆的一个焦点为．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为l的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程．【答案】（1）；（5分）（2）或（10分）(1)由题意，……1分∴，∴，……3分∴；……4分∴椭圆的方程为．……5分(2)设直线的方程为，点，……6分联立方程组化简，得……7分由已知得,即,……9分且，……11分∴=……12分==解得，符合题意……14分∴直线的方程为或……15分19．（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面AEF.（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小.（3）求出平面的法向量1，，利用向量法能求出点F到平面的距离.【详解】（1）三棱柱的侧棱垂直于底面，，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，，E、F分别是棱C、BC的中点，0，0，1，，1，，，，，AE，平面AEF，平面AEF.（2），0，1，，设平面的法向量y，，则，取，得1，，设平面的法向量b，，则，取，得1，，设二面角的大小为，则，依图得二面角为锐角，二面角的大小为.（3）解：平面的法向量1，，点F到平面的距离：.21．（1）平行（2）（3）靠近B的三等分点【解析】试题分析：（1）判定线面关系，可从线线关系寻找，由线段中点，可利用中位线性质得线线平行，再利用线面平行判定定理确定，（2）求二面角，一般利用空间直角坐标系，结合空间向量的数量积解决：先以点D为坐标原点，直线DB、DC、DA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，再分别计算平面CDF及平面EDF的法向量，其中平面EDF的法向量需列方程组求解，最后利用空间向量数量积求夹角的余弦值，经判断所求二面角为锐角得结论（3）确定点的位置，一般利用空间直角坐标系求出点的坐标，再明确位置关系.要求点P的坐标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直：可设,再转化条件为，解得，即可确定P位置.试题解析：（1）如图，在中，由E、F分别是AC、BC中点，得，又平面DEF，平面DEF，∴平面DEF.（2）由题知，，平面平面BDC，且交线为DC，∴平面BDC，∴，，又已知，∴两两垂直，以点D为坐标原点，直线DB、DC、DA为x轴、y轴、z轴