高考数列万能解题方法

创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日主要创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日性等和性：等差数列an质若mnpq则aaaa之pmnq吉推论：若mn2p则aman2ap白anank2an夕k凡a1ana2an1a3an2创即：首尾颠倒相加，则和相等作m项的和，构成的新数列是等差1、等差数列中连续数列。即：

等积性：等比数列an若mnpq则amanapaq推论：若mn2p则aman(ap)2aa(a)2nknkna1ana2an1a3an2即：首尾颠倒相乘，则积相等sm,s2msm,s3ms2m,等差，公差为m2d则有s3m3(s2msm)、从等差数列中抽取等距离的项构成的数列是一个等差数列。如：a1,a4,a7,a10,（下标成等差数列）3、an,bn等差，则a2n，a2n1，kanb，panqbn也等差。4、等差数列an的通项公式是n的一次函数，即：其andnc(d0)等差数列an的前n项和公式是一个没有常数项的它n的二次函数，性即：SnAn2Bn(d0)质5、项数为奇数2n1的等差数列有：s奇ns奇s偶ana中s偶n1s2n1(2n1)an项数为偶数2n的等差数列有：s奇an，s偶s奇nds偶an1s2nn(anan1)6、anm,amn则amn0snsm则smn0(nm)snm,smn则smn(mn)证证明一个数列为等差数列的方法：明1、定义法：an1and(常数)方2、中项法：anan2an(n2)法11

1、等比数列中连续项的和，构成的新数列是等比数列。即：sm,s2msm,s3ms2m,等比，公比为qm。2、从等比数列中抽取等距离的项构成的数列是一个等比数列。如：a1,a4,a7,a10,（下标成等差数列）3、an,bn等比，则a2n，a2n1，kan也等比。此中k0n的指数函数，4、等比数列的通项公式近似于即：ancqn，此中ca1q等比数列的前n项和公式是一个平移加振幅的n的指数函数，即：sncqnc(q1)5、等比数列中连续同样项数的积构成的新数列是等比数列。证明一个数列为等比数列的方法：an11、定义法：q(常数)an22、中项法：an1an1（an）(n2,an0)创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日设三数等差：ad,a,ad三数等比：a,a,aq或a,aq,aq2元技四数等差：a3d,ad,ad,a3dq四数等比：a,aq,aq2,aq3巧1、若数列an是等差数列，则数列Can是等比数列，公比为Cd，此中C是常数，d是an的公差。联2、若数列an是等比数列，且an0，则数列logaan是等差数列，公差为logaq，此中a是常数且系a0,a1，q是an的公比。数列的项an与前n项和Sn的关系：ans1(n1)snsn1(n2)数列乞降的常常使用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，从头组合分红几组，转变为特别数列乞降。2、错项相减法：合用于差比数列（假如

an等差，bn等比，那么anbn叫做差比数列）即把每一项都乘以bn的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转变为等比数列乞降。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可乞降。合用于数列1和1（此中ananan1anan1等差）可裂项为：11(11)，anan1danan111(an1an)anan1d等差数列前n项和的最值问题：1、若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日大值。（ⅰ）若已知通项an，则Sn最大an0；an10（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最凑近q的非零自然数2p时Sn最大；2、若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最小值（ⅰ）若已知通项an，则Sn最小an0；an10（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最凑近q的非零自然数2p时Sn最小；数列通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。⑵已知Sn（即a1a2anf(n)）求an，用作差法：anS1,(n1)。SnSn1,(n2)f(1),(n1)已知a1a2anf(n)求an，用作商法：anf(n),(n2)。f(n1)⑶已知条件中既有Sn还有an，有时先求Sn，再求an；有时也可直接求a。n⑷若an1anf(n)求an用累加法：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)。⑸已知an1f(n)求an，用累乘法：ananan1a2a1(n2)。anan1an2a1⑹已知递推关系求an，用结构法（结构等差、等比数列）。特别地，（1）形如ankan1b、ankan1bn（k,b为常创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日数）的递推数列都能够用待定系数法转变为公比为k的等比数列后，再求an；形如ankan1kn的递推数列都能够除以kn获得一个等差数列后，再求an。an1的递推数列都能够用倒数法求通（2）形如ankan1b项。（3）形如an1ank的递推数列都能够用对数法求通项。（7）（理科）数学概括法。（8）当碰到an1an1d或an1q时，分奇数项偶数项议论，an1结果可能是分段形式。数列乞降的常常使用方法：1）公式法：①等差数列乞降公式；②等比数列乞降公式。2）分组乞降法：在直接运用公式法乞降有困难时，常将“和式”中“同类项”先归并在一同，再运用公式法乞降。3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数有关系，则常可考虑采用倒序相加法，发挥其共性的作用乞降（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.4）错位相减法：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常采用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.5）裂项相消法：假如数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后有关系，那么常采用裂项相消法乞降.常常使用裂项形式有：①111；②1k)1(1n1)；n(n1)nn1n(nknk③111(11，k2k2121)kk11111111；kk1(k1)kk2(k1)kk1k创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日④11[11)(n1]；⑤n11；n(n1)(n2)2n(n1)(n2)(n1)!n!(n1)!⑥2(n1n)2112n2(nn1)nnnn1二、解题方法：求数列通项公式的常常使用方法：1、公式法2、由Sn求an3、求差（商）法解：n11a215a14211［练习］4、叠乘法解：a2·a3an1·2n1an1a1a2an123na1n5、等差型递推公式［练习］6、等比型递推公式［练习］7、倒数法数列前n项和的常常使用方法：1、公式法：等差、等比前n项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。11111解：由a