2018北京清华附中初三（上）10月月考数学（教师版）

27/272018北京清华附中初三（上）10月月考数学一、选择题（本题共16分,每小题2分)1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A. B. C. D.2.一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.2，﹣3，﹣4 B.2，3，4 C.2，﹣3，4 D.2，3，﹣43.若要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度4.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是（

）A.4 B.6 C.8 D.105.点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＝y2＞y3 B.y3＞y1＝y2 C.y1＞y2＞y3 D.y1＜y2＜y36.如图，⊙O是△ABC外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A.40° B.50° C.80° D.100°7.如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【】A.2：5 B.2：3 C.3：5 D.3：28.如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共16分,每小题2分)9.点(,2)关于原点对称的点的坐标是__________.10.请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式__________．11.二次函数y＝x2﹣2x+6化为y＝（x﹣m）2+k的形式，则m+k＝_____．12.如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作以圆弧，则圆心的坐标是________.13.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：_____．14.如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为_____．15.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①b＞0；②4a+2b+c＜0；③AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是_____．16.下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：BC边上的高AD．作法：如图2，（1）分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为单位作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AC于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．请回答：该尺规作图依据是_____．三、解答题（本题共68分,第17-20,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27，28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.用适当的方法解方程x2﹣5x+6＝0．18.已知：k是方程3x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7的值．19.将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连结DC．求证：BE＝CD．20.已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．21.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．（1）在图1中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，直接写出点C的对应点C1的坐标．（2）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A2B2C2与△ABC的对应边的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点C的对应点C2的坐标．22.设二次函数y1＝x2﹣4x+3图象为C1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y轴对称．（1）求二次函数y2＝ax2+bx+c的解析式；（2）当﹣3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围．23.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD=2，求BE的长．24.如图，AB为⊙O上，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．25.如图，已知正方形ABCD，点E在BC边上，将△DCE绕某点G旋转得到△CBF，点F恰好在AB边上．（1）请画出旋转中心G（保留画图痕迹），并连接GF，GE；（2）若正方形的边长为2a，当CE＝时，S△FGE＝S△FBE；当CE＝时，S△FGE＝3S△FBE．26.已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝，点A的坐标为；（2）若二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值；（3）若二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．27.已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边△ACE，直线BE交直线AD于点F．如图，60°≤∠BAC≤120°，△ACF与△AEC,△ABC在直线AC的同侧．（1）①补全图形；②∠EAF+∠CEF＝；（2）猜想线段FA，FB，FE的数量关系，并证明你的结论；（3）若BC＝2，则AF的最大值为．28.在平面直角坐标系xOy中，中心为点C正方形的各边分别与两坐标轴平行，若点P是与C不重合的点，点P关于正方形的仿射点Q的定义如下：设射线CP交正方形的边于点M，若射线CP上存在一点Q，满足CP+CQ＝2CM，则称Q为点P关于正方形的仿射点如图为点P关于正方形的仿射点Q的示意图．特别地，当点P与中心C重合时，规定CP＝0．（1）当正方形中心为原点O，边长为2时．①分别判断点F（2，0），G（，），H（3，3）关于该正方形的仿射点是否存在？若存在，直接写出其仿射点的坐标；②若点P在直线y＝﹣x+3上，且点P关于该正方形的仿射点Q存在，求点P的横坐标的取值范围；（2）若正方形中心C在x轴上，边长为2，直线y＝与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于该正方形的仿射点Q在正方形的内部，直接写出正方形的中心C的横坐标的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分,每小题2分)1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．故选D．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．2.一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.2，﹣3，﹣4 B.2，3，4 C.2，﹣3，4 D.2，3，﹣4【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．【详解】解：一元二次方程2x2+3x-4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，3，-4．

故选D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．3.若要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【答案】A【解析】【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．【详解】∵抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标为（1，2），抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=（x-1）2+2．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．4.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是（

）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．【详解】如右图，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE=BE=AB，∵OC=5，CE=2，∴OE=3，在Rt△AOE中，AE=，∴AB=2AE=8，

故选C．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧

.5.点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＝y2＞y3 B.y3＞y1＝y2 C.y1＞y2＞y3 D.y1＜y2＜y3【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（-1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．【详解】解：∵y=-x2+2x-1=-（x-1）2，

∴对称轴为x=1，

P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，

∵3＜5，

∴y2＞y3，

根据二次函数图象的对称性可知，P1（-1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，

故y1=y2＞y3，

故选A．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A.40° B.50° C.80° D.100°【答案】B【解析】【详解】试题分析：∵OB＝OC，∠OCB＝40°，∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝100°，∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°．故选B．7.如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【】A.2：5 B.2：3 C.3：5 D.3：2【答案】B【解析】【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE∴△DEF∽△BAF∴∵，∴DE：AB=2：5∵AB=CD，∴DE：EC=2：3故选B8.如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】∵动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，∴点Q运动到点C的时间为4÷2=2秒．由题意得，当0≤t≤2时，即点P在AB上，点Q在BC上，AP=t，BQ=2t，，为开口向上的抛物线的一部分．当2＜t≤4时，即点P在AB上，点Q在DC上，AP=t，AP上的高为4，，为直线（一次函数）的一部分．观察所给图象，符合条件的为选项D．故选D．二、填空题（本题共16分,每小题2分)9.点(,2)关于原点对称的点的坐标是__________.【答案】(1,)【解析】【分析】根据关于原点对称的定义，进行解答即可.【详解】点(,2)关于原点对称的坐标是(1,)故答案为(1,)【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标，解题关键在于掌握其定义.10.请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式__________．【答案】答案不唯一（，任何，的二次函数均可）【解析】【分析】由开口向下可知二次项系数小于0，由顶点在原点可设其为顶点式，可求得答案．【详解】解：∵顶点在坐标原点，∴可设抛物线解析式为y=ax2，∵图象开口向下，∴a＜0，∴可取a=-1，∴抛物线解析式为y=-x2，故答案为：答案不唯一（，任何，的二次函数均可）．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．11.二次函数y＝x2﹣2x+6化为y＝（x﹣m）2+k的形式，则m+k＝_____．【答案】6【解析】【分析】将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．【详解】解：∵y=x2-2x+6=x2-2x+1+5=（x-1）2+5，

∴m=1，k=5，

∴m+k=1+5=6．

故答案是：6．【点睛】本题考查二次函数的解析式的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．12.如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作以圆弧，则圆心的坐标是________.【答案】（2，0）．

【解析】【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，

可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．

如图所示，则圆心是（2，0）．

故答案为（2，0）．【点睛】此题考查垂径定理的应用，解题关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分线”．13.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：_____．【答案】（4，2）．【解析】【分析】利用图象旋转和平移可以得到结果.【详解】解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°，得到△CBD′，则BD′=OD=2，∴点D坐标为（4，6）；当将点C与点O重合时，点C向下平移4个单位，得到△OAD′′，∴点D向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），故答案为（4，2）．【点睛】平移和旋转：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.定义在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.14.如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为_____．【答案】4【解析】【分析】过O作垂直于AB的半径OC，设交点为D，根据折叠的性质可求出OD的长；连接OA，根据勾股定理可求出AD的长，由垂径定理知AB=2AD，即可求出AB的长度．【详解】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，

Rt△OAD中，OD=CD=OC=2，OA=4，

根据勾股定理，得：AD==2，

由垂径定理得，AB=2AD=4，

故答案：4．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．15.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①b＞0；②4a+2b+c＜0；③AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【详解】解：①该函数图象的开口向下，a＜0，-＞0，∴b＞0，正确；

②把x=2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；

③∵AD=DB，CE=OD，∴AD+OD=DB+OD=OB=4，可得：AD+CE=4，正确．

故答案为①③．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．16.下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：BC边上的高AD．作法：如图2，（1）分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为单位作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AC于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是_____．【答案】①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线.【解析】【详解】由（1）（2）（3）可得OA=OC=OD，所以A、D、C在以O为圆心，AC为直径的圆上，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADC=90°，即AD为BC边上的高.故答案为①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线.点睛：本题考查了作图-复杂作图：复杂作图时在五种基本作图的基础上你进行作图，一般是几何了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.三、解答题（本题共68分,第17-20,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27，28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.用适当的方法解方程x2﹣5x+6＝0．【答案】x=3或x=2．【解析】【详解】试题分析：利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解，然后再来解方程．解：由原方程，得（x﹣3）（x﹣2）=0，∴x﹣3=0，或x﹣2=0，解得，x=3或x=2．考点：解一元二次方程-因式分解法．18.已知：k是方程3x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7的值．【答案】7.【解析】【分析】将一根k代入方程3x2-2x-1=0，可得：3k2-2k-1=0；再将代数式（k-1）2+2（k+1）（k-1）+7去括号，整理，问题可求．【详解】解：∵k是方程3x2-2x-1=0的一个根，

∴3k2-2k-1=0，

∴3k2-2k=1；

∴（k-1）2+2（k+1）（k-1）+7，

=k2-2k+1+2（k2-1）+7，

=k2-2k+1+2k2-2+7，

=3k2-2k+6，

=1+6，

=7．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题时，常常将其代入方程，对式子合理变形来解决问题．19.将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连结DC．求证：BE＝CD．【答案】见解析【解析】【分析】只要证明△ABE≌△ACD（SAS）即可解决问题；【详解】∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90°，即∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，∴∠BAE=∠CAD，在△ABE和△ACD中，,∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE=CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．20.已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．【答案】（1）m＜2；（2）m=1．【解析】【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根，得△=[2（m-1）]2-4（m2-3）=-8m+16＞0，然后解不等式即可；

（2）先利用m的范围得到m=0或m=1，再分别求出m=0和m=1时方程的根，然后根据根的情况确定满足条件的m的值．【详解】（1）△=[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣3）=﹣8m+16．∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0．即﹣8m+16>0．解得m＜2；（2）∵m＜2，且m为非负整数，∴m=0或m=1，当m=0时，原方程为x2-2x-3=0，解得x1=3，x2=﹣1(不符合题意舍去)，当m=1时，原方程为x2﹣2=0，解得x1=，x2=﹣，综上所述，m=1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．（1）在图1中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，直接写出点C的对应点C1的坐标．（2）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后△A2B2C2与△ABC的对应边的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点C的对应点C2的坐标．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；点C2（-6，-2）或（6，2）．【解析】【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点，然后顺次连接即可；（2）延长OB到B2，使OB2=2OB，按同样的方法得到点A2、C2，然后顺次连接，写出C2的坐标即可．（也可以反向延长）．【详解】（1）如图所示，C1（3，-1）；（2）如图所示，C2的坐标是（-6，-2）或（6，2）．22.设二次函数y1＝x2﹣4x+3的图象为C1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y轴对称．（1）求二次函数y2＝ax2+bx+c的解析式；（2）当﹣3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围．【答案】（1）y2=x2+4x+3；（2）﹣1≤y2≤3；【解析】【分析】（1）求出抛物线C1的顶点坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出抛物线C2的顶点坐标，然后利用顶点式写出解析式即可；

（2）二次函数的解析式为y2=（x+2）2-1可知最小值为-1，然后代入x为0时的函数值，即可写出y2的取值范围即可．【详解】（1）二次函数y1=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1图象的顶点（2，﹣1），关于y轴的对称点坐标为（﹣2，﹣1）所以，所求的二次函数的解析式为y2=（x+2）2﹣1，即y2=x2+4x+3；（2）由二次函数的解析式为y2=（x+2）2﹣1可知：开口向上，最小值为﹣1，把x=0代入则y=3，∴当﹣3＜x≤0时，y2的取值范围为：﹣1≤y2≤3；【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式使问题更简便．23.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD=2，求BE长．【答案】（1）证明见解析；（2）2.4【解析】【分析】（1）由题中条件可得∠B=∠C，所以由已知条件，求证∠BDE=∠CAD即可得△BDE∽△CA；（2）由（1）可得△BDE∽△CAD，进而由相似三角形的对应边成比例，即可求解线段的长．【详解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠ADE+∠BDE=∠ADB=∠C+∠CAD，且∠ADE=∠C，∴∠BDE=∠CAD．∴△BDE∽△CAD．（2）由（1）△BDE∽△CAD得．∵AB=AC=5，BC=8，CD=2，∴．∴．24.如图，AB为⊙O上，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）由垂径定理得，由两直线平行，内错角相等，得，由角边角可证得与，由全等三角形的对应边相等，即可得证；（2）连接，由直径所对的圆周角是°，得°，由垂径定理，得∴=，∥，所以四边形是平行四边形，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形，°.在中，由勾股定理得，.由此，，可得四边形CAOD的面积为.试题解析：（1）∵在⊙O中，于，∴，∵CD∥AB，∴.在与中，，∴≌∴，∴为的中点；（2）连接，∵是⊙O的直径，∴°，∵，∴°=，∴∥，∵∥，∴四边形是平行四边形∵是的中点，，∴∵，∴，∴是等边三角形，∴°，∴°°，∴在中，.∵∴.∵，∴，.∴∴.25.如图，已知正方形ABCD，点E在BC边上，将△DCE绕某点G旋转得到△CBF，点F恰好在AB边上．（1）请画出旋转中心G（保留画图痕迹），并连接GF，GE；（2）若正方形的边长为2a，当CE＝时，S△FGE＝S△FBE；当CE＝时，S△FGE＝3S△FBE．【答案】（1）见解析；（2）a;或【解析】【分析】（1）根据旋转图形的性质，点C与点B是对应点，点E点F是对应点，分别作线段BC、EF的垂直平分线的交点就是旋转中心点G．

（2）由旋转的性质可以得出FG=EG，∠FGE=90°，设EC=x，利用勾股定理及三角形的面积公式建立等量关系，就可以求出结论．【详解】（1）如图：分别作线段BC、EF的垂直平分线的交点就是旋转中心点G．（2）∵G是旋转中心，且四边形ABCD是正方形，

∴FG=EG，∠FGE=90°

∵S△FGE=,且由勾股定理，得2FG2=EF2，

∴S△FGE=,设EC=x，则BF=x，BE=2a-x，在Rt△BEF中，由勾股定理，得

EF2=x2+（2a-x）2，

∴S△FGE=,∵S△FBE=,①当S△FGE=S△FBE时，则,解得：x=a；

∴EC=a．

②当S△FGE=3S△FBE时，则,∴2x2-4ax+a2=0，

解得：x=或x=,∴EC=或EC=.考查了旋转对称图形的性质，正方形的性质，三角形的面积及勾股定理的运用．【点睛】考查了旋转对称图形的性质，正方形的性质，三角形的面积及勾股定理的运用．26.已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝，点A的坐标为；（2）若二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值；（3）若二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．【答案】（1）c=0，点A的坐标为（4，0）；（2）a=0.5；（3）a的取值范围是．【解析】【分析】（1）根据题意和题目中的函数解析式可以求得c的值和点A的坐标；

（2）根据（1）中点A得坐标和二次函数y=ax2-（2a+1）x+c的图象经过点A，可以求得a的值；

（3）根据题意可以求得点B的坐标，然后根据二次函数与x轴的两个交点坐标为（0，0）和（，0），二次函数y=ax2-（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，可以求得a的取值范围．【详解】（1）∵二次函数y=ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，∴当x=0时，c=0，将y=0代入y=﹣x+4，得x=4，即点A的坐标为（4，0）；（2）∵二次函数y=ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，点A的坐标为（4，0），∴0=a×42﹣（2a+1）×4，解得，a=0.5；（3）将x=0代入y=﹣x+4，得y=4，即点B的坐标为（0，4），∵点A（4，0），点O的坐标为（0，0），二次函数y=ax2﹣（2a+1）x的图象与△AOB只有一个公共点，，解得，-≤a＜0．即a的取值范围是，-≤a＜0．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．27.已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边△ACE，直线BE交直线AD于点F．如图，60°≤∠BAC≤120°，△ACF与△AEC,△ABC在直线AC的同侧．（1）①补全图形；②∠EAF+∠CEF＝；（2）猜想线段FA，FB，FE的数量关系，并证明你的结论；（3）若BC＝2，则AF的最大值为．【答案】（1）①图形如图1所示；②结论：∠EAF+∠CEF=60°，理由见解析；（2）结论：FA=FE+FB．理由见解析；（3）AF的最大值为．【解析】【分析】（1）①根据要求画出图形，如图1所示；

②结论：∠EAF+∠CEF=60°如图1中，以A为圆心，AB为半径画圆．作AH⊥BE于H．首先证明∠EBC=∠FAH=30°，根据三角形的内角和定理和外角的性质即可解决问题；

（2）结论：FA=FE+FB．如图2中，在FA上取一点K，使得FK=FE，连接EK．只要证明△AEK≌△CEF（SAS），即可解决问题；

（3）因为60°≤∠BAC≤120°，所以观察图象可知，当∠BAC=60°时，AF的值最大，求出AD，DF即可解决问题；【详解】（1）①图形如图1所示；②结论：∠EAF+∠CEF=60°理由：如图1中，以A为圆心，AB为半径画圆．作AH⊥BE于H．∵AB=AC=AE，∴B，E，C在⊙A上，∵△AEC是等边三角形，∴∠EAC=60°，∴∠EBC=EAC=30°，∵AB=AE，AH⊥BE，∴∠EAH=∠BAE，∵∠BCE=∠BAE，∴∠BCE=∠EAH，∴AD⊥BC，∴∠BDF=∠AHF=90°，∠BFD=60°，∴∠HAF=30°，∴∠EAF+∠CEF=∠EAF+∠EBC+∠BCE=∠EAF+∠EAH+∠EBC=30°+30°=60°．（2）结论：FA=FE+FB．理由：如图2中，在FA上取一点K，使得FK=FE，连接EK．∵FE=CK，∠EFK=60°，∴△EFK是等边三角形，∴EK=EF，∠EKF=∠KEF=60°，∵∠AEC=∠KEF=60°，∴∠AEK=∠CEF，∵AE=EC，EK=EF，∴△AEK≌△CEF（SAS），∴AK=FC，∵AD垂直平分线段BC，∴FB=CF，∴FA=FK+AK=FE+FC=FE+