高考文科数学椭圆课时跟踪练

高考文科数学椭圆课时跟踪练A组基础巩固1•直线y=kx—k+1与椭圆+¥=1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定解析：由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),又(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆相交．答案：A2•已知椭圆蛊+b2=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x—y+5=0,弦的中点坐标是M(—4,1),贝Q椭圆的离心率是()B.D.B.D.解析：设直线与椭圆交点为A%,解析：设直线与椭圆交点为A%,yj,B(x2,y2)，分别代入椭圆方程，由b2b21点差法可知yM=—顾％，代入k=1,M(-4,1),解得帀=4,e=2，2，故选C.答案：Cx23・(2019・吕梁模拟)设F],F2分别是椭圆兀+y2=1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P,使得(op+of2)・pf2=o(o为坐标原点，则△f1pf2的面积是()A・4B・3C・2D・1解析：因为(OP+OF2)・PF2=(OP+FO)・PF2=Fp・PF2=0,所以PF^PF，ZFPF=90°•设IPF」=m,IPF」=“，贝Um+n=4,m2+n2=12,2mn=4,所1212

以S^FPF=2加"=1•故选D.122答案：D4•若直线ax+by—3=0与圆x2+y2=3没有公共点，设点P的坐标为(a,时，则过点p的一条直线与椭圆x4+聲=1的公共点的个数为()A.A.0B.1C.2D・1或23_解析：由题意得，圆心(0,0)到直线ax+by-3=0的距离为二护>\3,所以a2+b2v3・又a,b不同时为零，所以0<a2+b2<3•由0<a2+b2<3,可知Ial<y3,lblv、：3，由椭圆的方程和其长半轴长为2,短半轴长为勺3,所以P(a,b)在椭圆内部，所以过点P的一条直线与椭圆¥+聲=1的公共点有2个•故选C.答案：Cx25•斜率为1的直线l与椭圆忑+y2=1相交于A,B两点，则IABI的最大值为(为()A.2b.455c竽d響x25解析：设直线l的方程为y=x+t,代入4+y2=1,消去y得4X2+2tx+t2—1=0,由题意知A=(2t)2—5(t2—1)>0,即t2<5,IABI=寸(1+1)[(X]+x2)2—娥再=響J5—W4510(当且仅当t=0时取等号)•故选C・答案：C6•已知椭略+^=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为•解析：因为椭圆話+養=1的右顶点为A(1,0),所以b=1,焦点坐标为(0,c),因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1所以子=1,a=2,所以椭圆方程为a普+x2=1.答案：号+x2=17・(2019・赣南五校联考)椭圆E：X2+||=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2,焦距为2c・若直线y=.3(x+c)与椭圆E的一个交点M满足ZMF1F2=2ZMF/；,则该椭圆的离心率等于・解析：由已知得直线y=j3(x+c)过M、F］两点，所以直线MF1的斜率为*3,所以ZMF1F2=60°,则上皿尺/\=30。，上比啤=90。，则MF=c,MF=3122112128•已知直线l过点P(2,1)且与椭圆普+罟=1交于A,B两点，当P为AB中点时，直线AB的方程为・解析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，因为A,B两点在椭圆上，所以#+¥=1,①舟1，②①－②得,(x1_x2)9(x1+x2)+(y1—y2)4(y力2)=0,又AB的中点为P(2,1),所以屮’2=4,儿+丿2=2,即芈冷+咛丄=0,所以仏=昌12

88=—9，故AB的方程为y~1~~9（X~2），即8X+9y_25=0.答案：8X+9y-25=09•已知椭圆C：扫+^=1（a＞〃＞0）的离心率为普，其中左焦点为F（-2,0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值.1=迟Ja2，解：（1）由题意，得（=2,a2=b2＋c2，解得;解得;b=2.所以椭圆c的方程为X2+y2=i.(2)设点A,B的坐标分别为(X],y>(x2,y2),线段AB的中点为M(x0，y0)，(兰+艺=1由]84'消去y得，3r2+^+2m2-8=0,®=x+m,A=96—8m2>0，所以一23<m<23,x+x2mm因为％=七^=—3,所以yo=xo+m=3，因为点M（x0，y0）在圆x2+y2=1上,所以m=所以m=10・（2019・衡阳模拟）已知椭圆C：：|+貫=1（0＞〃＞0）的左、右焦点分别为F］、

F2,离心率为2直线y=1与C的两个交点间的距离为響・(1)求椭圆C的方程；⑵分别过F］、F2作小l2满足片〃々，设人、lF2,离心率为2直线y=1与C的两个交点间的距离为響・(1)求椭圆C的方程；⑵分别过F］、F2作小l2满足片〃々，设人、l2与C的上半部分分别交于A、B两点，求四边形ABF2F］面积的最大值.解：(1)易知椭圆过点呼，1)所以島+吉=1,①又c=］②又a2，②a2=b2+c2,③由①②③得a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为#+聲=1・(2)设直线1］的方程为x=my—1,它与C的另一个交点为D.将直线11与椭圆C的方程联立，消去x,得(3m2+4)y2—6my—9=0,A=144(m2+1)>0.爼+m，又F2到l1的距离d=212L；1+m2'所以SAADF2=212^i+m23m2+4*121，

3t+t当t=1时，S^ADF2取得最大值，为3.2

又S四边形ABF2F1=2(IBF2I+IAF1I)•d=1(IAF1I+\DF^・d=2|^|・d=SADF2，所以四边形ABFF1面积的最大值为3.21B组素养提升11.已知椭圆E的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若APFF?为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A專B.；C.冷D.J又IPF1I+IPF；I=2«,所以貯尸害，IPF2I=4a.根据勾股定理得筒2根据勾股定理得筒2+（款=(2c)2，所以离心率e=a=書.答案：A12•过椭畴+曽=1内的一点卩（2，—1）的弦，恰好被点P平分，则这条弦所在的直线方程是（）A.5x－3y－13=0B.5x+3y－13=0C.5x－3y+13=0D.5x+3y+13=0解析：设弦的端点为A（叫，儿），B（x2,y2）,则

出=1,加=出=1,加=1,出箱怜竿；=0又X]+x2=4,y]+y2=_2，故斜率氐=3・故这条弦所在直线方程为y+1=3(x_2)，即5x_3y_13=0.答案：A13.已知直线l：y=kx+2过椭圆£+普=1@＞〃＞0)的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为厶若L^455，则椭圆离心率e的取值范围是解析：依题意，知b=2，kc=2.设圆心到直线l的距离为必则L=24^^455,解得d2W^・21214又因为吐卄所以1+戸5解得于是e2=a=b^^+'所以osw；，解得gw空答案:(o,255]14.(2018・天津卷)设椭圆話+器=1(0＞〃＞0)的右顶点为A,上顶点为B,已知椭圆的离心率为容，ABI=/13・求椭圆的方程；设直线l：y=kx(k＜0)与椭圆交于P,Q两点，l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限•若ABPM的面积是ABPQ面积的2倍，求k的值.c25解：⑴设椭圆的焦距为2c,由已知有云=9，又由a2=b2+c2,可得2a—3b.又直81=-.Ja2+b2=".」13，从而a=3,b=2.所以，椭圆的方程为x+y=i.(2)设点P的坐标为(X]，yj,点M的坐标为(x2,y2)，由题意知，x2>X]>0,点Q的坐标为(—X]，—『])・由A/PM的面积是△〃PQ面积的2倍，可得IPMI=2IPQI,从