高考数学理科必考题型：第26练-递推公式问题的破解方略

nn第26练常考的递推公式问题的破解方略［内容精要］数列的通项公式可以说是数列问题的核心问题，如果可以由题目条件求得通项公式，可以说数列问题便可迎刃而解，因此求通项公式显得尤为重要，本节主要介绍由条件求通项公式的一些方法技巧．■典例剖析题型一由相邻两项关系式求通项公式例1已知正项数列｛a」满足a]=l,(n+2)a所以an=n+r^专•^•3a1=n+ra1(n^2)?+]所以an=n+r^专•^•3a1=n+ra1(n^2)?12A.a=B.a=nn+1nn+1C.C.ann+1=~2~所以a=所以a=n2n+1(n=1适合),破题切入点对条件因式分解答案BTOC\o"1-5"\h\z解析由(n+2)a2—(n+1)a2+aa=0,n＋1nnn＋1得[(n+2)a—(n+1)a](a+a)=0,n＋1nn＋1n又a>0,所以(n+2)a=(n+1)a,nn+1nan+1n+1即a=n+2,an+1=n+2an，n2于是所求通项公式为a=士.nn+1题型二已知多项间的递推关系求通项公式例2已知数列｛an｝满足a1=|,anan_1=an_1~an，则数列｛a」的通项公式为破题切入点求证亡-严｝为等差数列，再利用累加法求得■，便可求得a・nn－1n答案nn+12+1+答案nn+12+1+1+•••+1(n—1)个1=n+1.=n+1,・°・an=1n+1题型三构造法求通项公式例3(1)已知a=1,a,=2a+1,求a；1n＋1nn(2)已知a=1,a=Ni，求^a.1n+1a+1nN破题切入点观察条件，联想学过的数列来构造解(1)由a=2a+1得a+1=2(a+1),N＋1NN＋1N又a1+1=2^0,于是可知｛a“+1｝为以2为首项2为公比的等比数列.即a+1=2",.°.a=2"—1,NN.•.所求通项公式为a=2"—1.N(2)由aN＋(2)由aN＋1aNa＋1NaN＋11=1(常数),N又1=1,.・.｛+｝为1为首项，1为公差的等差数列,aa1N=N=N,从而a=N即所求通项公式为a=总结提高求数列通项公式常见的方法：(1)观察法：利用递推关系写出前n项，根据前n项的特点观察，归纳猜想出a的表达式，然N后用数学归纳法证明.(2)利用前N(2)利用前N项和与通项的关系P1，S—S’NN－1N=1，n$2.(3)在已知数列｛aN｝中，满足an+—a=f(N)且/(1)+/(2)H——/(n)可求，则可用累加法求数列的通项a.Na⑷在已知数列｛aN｝中，满足a^1=f(N)且f(1)f(2)・…伽)可求，则可用累乘法求数列的通项aN.N(5)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).■精题狂练1.在数列｛a｝中，a=1,aa.=a,+(—1)n(n^2,n^N*),则与的值是()N1NN－1N－1a5a15a15c15肿小3B瓦C.4D.8答案解析由已知得a2=1＋(—1)2=2…“3,a2=a2+(一1)3,.：a3=2，解析•：2"4=2+(一1)4，・：。4=3,

3°5=3+（—1）5,.：a§.a3133••a52X24-2.学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A,B两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜.用a,b分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的人数，如果a,nn1C．400D．450=300,则C．400D．450A．350B．300—4丄丄a—4丄丄a_—ca十b,n+15n10n消去b,n解析依题意，得V、a+b=500,nn得a=£a+150.n＋12n由°1=300,得°2=300；由°2=300,得°3=300；从而得。10=300,故选B.x12n—13•已知fx）=log21—x+1，an=f（n）+f（n）+-+f（〒办n为正整数，则a2015等于（）A．2014B．2009C．1005D．1006答案Ax解析因为f（x）=log2=十1,21－xTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"x1－x所以fx）十A1—x）=log21TX十1十log2十1=2.1n－1所以f（n）+f（〒）=22,n—2f（n）+f（〒）=2,…，n—1,1f（~n~）十耳=2,由倒序相加，得2a=2（n—1）,a=n—1,nn所以a2015=2015—1=2014,故选A.4.在正项数列｛an｝中，a1=2，a”十］=2a”+3X5n，则数列｛a”｝的通项公式为.答案a=5n—3X2n—1n解析在递推公式aj=2a+3X5n的两边同时除以5n+】，n+1n

a’2a.3—得5nH=5x5n+5，®令5n=b„，则①式变为化+1=|b„+i2即b」一1=5(b-1),n＋15n所以数列｛bn-1｝是等比数列，其首项为b]—1=牛一1=一寸，2公比为2.所以bn-1=(—5)x(|)n-打TOC\o"1-5"\h\z32a即bn=1—3x(2)n-1=in，故a=5n—3X2"-1.n5.数列｛a｝的前n项和S满足2SS严a(n±2,n^N*),且a1=1,则数列｛a｝的通项公式nnnn－1n1n为．I1I1(n=1)，答案an=|2(2n—3)(2n—5?上2'"訴)解析当n三2时，a=S-S,，nnn-1则2SS=S-S，nn-1nn-1即S--sjl;=-2，nn-1又丄=丄=1又S1a11，故｛右｝是首项为1，公差为一2的等差数列,n则1=1+(n-1)(-2)=-2n+3,n1-2(n_1-2(n_1)+3当n三2时，a=S—S=nnn-12=(2n-3)(2n-5)，验证a11不满足，|1(n=|1(n=1)，故所求通项公式a=｛2n(2n-3)(2n-§(n三2,n^N*).6.设函数fx)=a]+a2x+a3x2axn~^,/(0)=2,数列｛a｝满足f(1)=n2a(n^N*),则数列TOC\o"1-5"\h\z123nnn{a}的通项a=.nn答案-——答案n(n+1)解析由f(o)=2，得。1=2‘由f(1)=n2an(nWN*),得S=a+a-Ia=n2a.n12nn当n三2时，a=S—S=n2a—(n—1)2a,nnn－1nn－1an—1整理得F=—1,an-1n－1n－11123=n－11123=2X3X4X5X^Xn—1n+1=1n(n+1)，显然a1=|也符合.即｛an｝的通项为an=n^n+^-7•若f(n)为n2+1(n£N*)的各位数字之和，如62+1=37,f(6)=3+7=10,f(n)=f(n),厶(n)=f(f1(n))，-，fk+1(n)=f(fk(n)),k^N*,贝Vf014(4)=•答案8解析因为42-1=17，f(4)=1-7=8，则A⑷=f(4)=8，厶⑷=型(4))=/(8)=11,f3(4)=f(f2(4))=f(11)=5，f4(4)=f(f3(4))=f(5)=8，…，所以fc+](n)=ffk(n))为周期数列.可得f014(4)=8.8•数列｛a“｝,®满足a“=lnn,心，则数列叫即中第项最大.答案311—lnx解析设函数fx)=jnx,则f(x)=J,令f(x)=0,得x=e.分析知函数fx)在(0,e]上是增函数，在[e,—^)上是减函数，又f(2)=|ln2=ln68<f(3)=|ln3=ln6|9,

所以a•b=lnn(”WN*)在n=3时取得最大值，nnn即数列｛a•b｝中第3项最大.nnn9.对于正项数列｛a｝，定义H=+2+3”丄丄为｛a｝的“光阴”值，现知某数列的a+2a+3a+na1232“光阴”值为Hn=”+，贝燉列｛an｝的通项公式为.答案2n答案2n+12n①一②得na2n2n①一②得na2n2n(n+2)(n—1)(n+1)2n+110.(2014.课标全国II)数列｛an｝满足an+111—ana&=2,则a】=解析由H一|213++可得na+2a+3a+…+naTOC\o"1-5"\h\z123n°1+2°2+3°3na一=)，①123nH2na+2a+3a+…+(a+2a+3a+…+(n—1)a123n—1解析・・a_=n+解析・・a_=n+11—a••a8=a3x2+2=a2=2.11a1-2答案•a丄i=,n+11—an11—a,11.(2014・大纲全国)数列｛a｝满足a=1,a=2,a=2a—a+2.n12n＋2n＋1n设bn=an+1—a”，证明｛bn｝是等差数列；求｛a｝的通项公式.n(1)证明由a=2^[—a+2,n＋2n＋1n得a宀一a,=a.—a+2,n+2n+1n+1n

即b=b+2.n＋1n又b]=a2—a]=1,所以｛bn｝是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解由⑴得bn=1+2(n-1)=2n-1,即a.—a=2n—1.TOC\o"1-5"\h\zn+1n于是为(°k+1—a/=为(2k—1),k=1k=1所以a—a=n2,即a=n2+a・n+11n+11又a1=1,所以｛a｝的通项公式为a=n2—2n+2.1nn12.(2014・湖南)已知数列｛a｝满足a=1,la-al=pn,n^N*.n1n＋1n(1)若｛an｝是递增数列，且a1；2a2,3a3成等差数列，求p的值；⑵若p=2，且｛a2n-1｝是递增数列，｛a2n｝是递减数列，求数列｛an｝的通项公式.解(1)因为｛an｝是递增数列,所以an+1—an=|an+1a|=pn.n而a1=1,因此a2=p+1,a3=p2+p+1.又a1?2a2,3a3成等差数列，所以4a2=a1+3a3，因而3p2—p=0,解得p=|,p=0.当p=0时，an+1=an，这与｛an｝是递增数列矛盾.故p=|.(2)由于｛a2n—1｝是递增数列，因而a2n+1—a2n—]>0,于是(他+厂a2n)+(a2n—岛“—1)>0.①但弄右，所以la2丄]—a2lvla2—a2②2n+12n2n2n—1由①②知，a2—a21>0，因此2n2n—12n—a2n—12n—a2n—11=(一1)2n22n—1•③因为｛a2n｝是递减数列，同理可得a2n+1—a2n<0.由③④可知，a2n+1—由③④可知，a2n+1—a2n=a