高考数学复习第十二讲立体几何之空间角

第十二讲立体几何之空间角一、基本知识回顾空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。1）异面直线所成角J1•范围:哙J2求法需法交找平行线替换）2）直线与平面所成角J1范围|°，2_2-求法］向量法0=arcsin若m丄n则a//a或aua若m//n则a丄a3）|定义法（即垂面法）3）二面角＜2.作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理、垂线法'直接法3.求二面角大小的方法＜射影面积法向量法S'二Scos0（S为原斜面面积，S'为射影面积，0为斜面与射影所成锐二面角的平面角）当0为锐角时，m当0为锐角时，arccos_-m・n当0为锐角时,

0=兀一arccos二、例题讲解1-在正三棱柱ABC一AiBiCi中，若AB2BBi，求ABi与CiB所成的角的大小。解：法一：如图一所示,44设O为气C、CiB的交点，D为AC的中点，则所求角是ZDOB。设BB=a,贝【JAB=、：2a，于是在ADOB中，OB=OB=2BCWa，ABD二弓迈=¥a，iJ3OD=—AB=a,BD2=OB2+OD2,2i2即ZDOB=90。,・•・ZDOB=90。法二：取名代的中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz,2AB的长度单位,

BCO4B则由AB=V2bB］有AC,-1,*2),bC,ir2),b(0,1,0),c(3,o,o)C,2,r迢),CB=「朽,BCO4B则由AB=V2bB］有AAB二1AB-CB二2—2二0,.・.ABAB二111112.如图二所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，角。上BAD=90。,AD//BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA丄底面ABCD,PD与底面成30。角。⑴若AE丄PD,E为垂足，求证：BE丄PD；⑵求异面直线AE,CD所成角的大小。解：⑴证明：PA丄底面ABCD,:.PA丄AB，

AB丄平面PAD,AB丄PD再由AB丄AD，得厂又AE丄PD,PD丄平面ABE,/.故BE丄PD⑵如图三所示设G,⑵如图三所示设G,H分别为ED,AD的中点，连结BH,HG,BG。••DHCB为平行四边形，BH//CD,G,H分别为ED,AD的中点，二FG//AE,则ZBHG或它的补角就是异面直线AE,CD.所成角，而HG=—AE=—a.BH=、AB2+AH2=*2ao*^2^2BG2=BE2+EG2=AB2+AE2+EG2=11a24在ABHG中，由余弦定理可得cosZcosZBHG=BH2+HG2一BG22BH-HG4422/.ZBHG=兀一arccos逼44cosZBHG=BH2+HG2一BG2=2BH-HG所以，异面直线AE,CD所成角的大小为arccos字法二：以AB,AD,AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

{（rr、_亠a'I2'2J）则E0,—a{（rr、_亠a'I2'2J）则E0,—a,C（0,a,0）,D（0,2a,0）,/.AE=f0a73）0,—,—a

22J厶厶）,CD=（-a,a,0）,E10,2~2、a,C（0,a,0）D（0,2a,0））...AEJ,a，迺a[CD=（—a,a,0）r22..cos：「CD,AE}=CD-AE=41CDAE4所以，异面直线AE,CD所成角的大小为arccos3.已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA丄平面ABCD,AP=AD=1,AB=2,E,F分别是AB,PD的中点。⑴求证：AF⑴求证：AF//平面PEC；⑵求PC与平面ABCD所成角的大小;)⑶求二面角P—EC—D的大小。解析：法一：⑴如图四所示，

取PC的中点O，连接OF,OE・•・FO//DC,FO=-DC,:.FO//AE^2又因为E是AB的中点，且AB二DC,・FO=AE所以四边形AEOF是平行四边形，・AF//OE。又OEu平面PEC,AF农平面PEC,[・AF//平面PEC。⑵连结AC,PA丄平面ABCD,・ZPCA是直线PC与平面ABCD所成的角。BEv5PA在亦PAC中®"ACBEv5PA在亦PAC中®"AC=-15pai込皿PAC中®ZPCA二走飞七即直线PC与平面ABCD所成角的大小为arctan£。⑶作AM丄CE,交CE延长线于M,连结PM。¥¥由三垂线定理，得PM丄CE.:./PMA是二面角P-EC-D的平面角。由AAMEACBE,可得AM二上2,:.tan/PMA二丄二迈2逻r—TOC\o"1-5"\h\z；21AAME工ACBE,可得AM二,:.tan/PMA二=弋22迈~2~所以，二面角P—EC—D的大小为arctan*；2。法二：以A为原点，如图五所示，建立直角坐标系。ZyBE则A（（W）,B（W））,C（2丄0），D（。丄0），F[0，2,2}E皿）,P（CW）。⑴取PC⑴取PC的中点O0,2,2丿连结OE,O|1,-,-|,AFI22丿33AF//EOAF=EO又OEu平面PEC,AF@平面PEC,AF//平面PECo⑵由题意可得PC=（2,1,—1）,设平面ABCD的一个法向量是PA=（0,0,—1）。cos；cos；PA,PCPA-PC_46pa||pc6即直线PC与平面ABCD所成角的大小为arcsin6⑶设平面PEC的一个法向量为m=(x,y,z).PE=(1,0,—1),EC=(1,1,0)Im-PE=0,|x—z=0人则可得S八令z=—1,贝(-1丄一1)|m-EC=0.〔x+y=0由(2)可得平面ABCD的一个法向量是PA=(0,0,—1)。►cos占云)=^L=亠=迺omPAV33所以，一二面角P—EC—D的大小为arccos4.（07福建）如图六所示正三棱柱ABC—ABC的所有棱长都为2,111D为CC的中点。1⑴求证：AB丄平面ABD11(⑵求二面角A—AD—B的大小。1解析：⑴取BC中点O，连结AO。4AB耳4AB耳因为AABC是正三角形，AO丄BC因为在正三棱柱ABC-ABC，平面ABC丄平面BCCB11111・•・AO丄平面BCCB。11连结BO1在正方形BBCC中，0,D分别为BC,CC的中点。111*.BO丄BD1AO丄BD・BD丄平面AOB1.AB丄BD1在正方形ABBA中，AB丄AB1111・AB丄平面ABD11取BiC的中点q,以。为原点，0B,001，0A的方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。A爲则B(1,0,0),D(-1,1,0),AC,2，腭),A(),0j3)B(1,2,0)i1AB=C,2,73),BD=(-2,1,0),BA=C1,2,、3)11ABBD=-2+2=0,ABBA=-1+4-3=0111AB丄BD,AB丄BA，二AB丄平面ABDT1111••y,z(2)设平面AAD的法向量为n=(x,y,z)y,z1AD=C1,1,-%3)AA=(0,2,0),n丄AD,n丄AAo1n-AD二n-AD二0,n-AA=0.1令z-Fn=.-x+y-^3z二Q，・.•S・•2yf0CJ3,0,1)为平面AAD的一个法向量。i由⑴知，AB丄ABD,AB为平面ABD的法向量1111cos[n,ABn-AB-J3-吕cos[n,ABnABi1-nABi所以厂二面角A-AD-B的大小arccos—丄4直接法设AB