高等数学大一题库

一)函数、极限、连续一、选择题：1、在区间(-1,0)内，由()所给出的函数是单调上升的。y=IX+1；(B)y=|x|_2x;(C)y=—4x+3(D)y=5x-22、当xT+s时，函数f(x)二xsinx是()(A)无穷大量(B)无穷小量(C)无界函数(D)有界函数1一XI—3、当x—1时，f(x)二一,申(x)二1-3x都是无穷小，则f(x)是申(x)的()1+x(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶无穷小(D)等阶无穷小TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4、x=0是函数f(x)=arctanl的()x(A)可去间断点(B)跳跃间断点；(C)振荡间断点(D)无穷间断点5、下列的正确结论是()(A)limf(x)若存在，则f(x)有界；xTx若在x0的某邻域内，有g(x)<f(x)<h(x),且limg(x),limh(x),都存在，则limf(x),xTx0xTx0xTx0

也存在；若f(x)在闭区间［a,b］上连续，且f(a),f(b)<0则方程f(x)=0,在(a,b)内有唯一的实根;sinx当XT8时，a(x)—,0(x)—都是无穷小，但a(x)与0(x)却不能比.xx二、填空题：TOC\o"1-5"\h\z1、若Z-护f亦-1),且|Z|厂］=x则f(x)的表达式为;2、已知数列x—4-丄的极限是4,对于*—丄,满足n>N时，总有|x-4|<e成立n10n101三、计算题:三、计算题:1、计算下列各式极限：的最小N应是;3、limxT-3、limxT-1x3一ax2一x+4x+1=b(b为有限数),b=x一a4、设f(x)—，则x=a是f(x)的第类间断点;x一aIx-Ix-n,5、f(x)—smx,g(x)=<Ix+n,x<0;x>0'f[g(x)]在R上连续，n=

-1一cos2x(1)-1一cos2x(1)hmxTOXsmx2)lim-l^'1^XTOX1-X(3)lim(\；x2+1-\.'x2一1)xTO1x3sin—(4)lim呂xTO1-cosx5)limsin3xcos2xxTOlncosx6)limxTOxsinx2、确定常数a,b,使函数a+arccosx,-1<x<1f(x)=<b,x=—1在x=-1处连续.yjx2—1,—g<x<—1四、证明：设f(X)在闭区间［a,b］上连续，且a<f(x)<b,证明在(a,b)内至少有一点g,使/(g)=g.(二)导数与微分一、填空题:1、设f'(x0)存在,则limf(xo一1、设f'(x0)存在,ttO+2、x2,2、x2,f(x)=］2—x3,

〔3x>1x〜1'则广⑴=3、设y=esin2,则dy=(A)(A)f'(sinx)dx(B)f'(cosx)dxdy4、设y二xxsinx(x〉0),贝y4、dx5、y=f(x)为方程xsiny+yex=0确定的隐函数，则f'(°)=二、选择题:1、f(x)=ln(1+a-2x),(a〉0)则f'(0)的值为()(A)-ln(A)-lna(B)lna(C)2in.(D)2、设曲线y=e1-x2与直线x=-1相交于点p,曲线过点p处的切线方程为()2x-y-2=0(B)2x+y+1=0(C)2x+y-3=0(D)2x-y+3=03、设f3、设f(x)=<eax[b(1-x2),x〉0处处可导，则(a=2,b=1(A)a=b=1(B)a=-2,b=-1(C)a=0,a=2,b=1Ay-dy4、若f(x)在点x可微，则lima的值为(4、Ax—0Ax(A)1(B)0(C)-1(D)(A)1(B)0(C)-1(D)不确定5、设y=f(sinx),f(x)为可导函数，则dy的表达式为((C)(C)f'(sinx)cosx(D)f'(sinx)cosxdx三、计算题：1、设对一切实数x有f(l+x)=2f(x),且f'(0)=0，求f'(1)1x2cos—2、若g(x)=]x0,Vx丰0d又f(x)在x=0处可导，求丁f(g(x))Idxx=0x=0x+1(1—t)=03、求曲线.+y+1=0在1处的切线方程4、f(x)在x=a处连续，申(x)=sin(x一a)f(x),求申'(a)3dy5、设x=y2+y-u=(x2+x)2,求•6、设f(x)=xlnx,求f(n)(x)7、计算390厂的近似值.三)中值定理与导数的应用一、填空题：1、函数f(x)二arctanx在[0,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的g=2、eax一b若limxTOsin2x,b=3、设f(x)有连续导数，且f(0)二f'(0)二1则limf(sinx)~f(0)=;xtoInf(x)4、y=exsinx的极大值为，极小值为;1—x5、y二arctg(0<x<1)的最大值为，最小值为1+x二、选择题：1、如果a,b是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在［a,b］上满足罗尔定理条件，那么方程f'(x)=0在(a,b)内()(A)仅有一个根；(B)至少有一个根；(C)没有根；(D)以上结论都不对。2、函数f(x)=|sinx|在区间［-，一］上()^2^2满足罗尔定理的条件，且g=0;满足罗尔定理的条件，但无法求g;不满足罗尔定理的条件，但有g能满足该定理的结论；不满足罗尔定理的条件3、如果一个连续函数在闭区间上既有极大值，又有极小值，则()(A)极大值一定是最大值；(B)极小值一定是最小值；(C)极大值一定比极小值大；(D)极在值不一定是最大值，极小值不一定是最

小值。4、设f(x)在(a,b)内可导，则八x)<0是f(x)在(a,b)4、(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)既非充分又非必要条件。5、若5、若f(x)在(a,b)上两次可导，且(),则f(x)在(a,b)内单调增加且是上凹的。(A)f'(x)(A)f'(x)>0,f"(x)>0；(B)f'(x)>0,f"(x)<0;；(C)f'(x)(C)f'(x)<0,f"(x)>0；D)f'(x)<0,f"(x)>0三、计算题：1、求1、求.(l)limU^-丄)xtosin2xx2(2)limxtanxxt0+2、求过曲线y=xe-x上的极大值点和拐点的连线的中点，并垂直于直线x=0的直线方程.四、应用题：1、通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现接受能力(即学生掌握一个概念的能力)依赖于在概念引人之前老师提出和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出：G(x)=-0.1x2+2.6x+43,其中G(x)是接受能力的一种度量，x是提出概念所用的时间(单位：min)a)、x是何值时，学生接受能力增强或降低？、第10分钟时，学生的兴趣是增长还是注意力下降?、最难的概念应该在何时讲授？、一个概念需要55的接受能力，它适于对这组学生讲授吗？五、证明题：证明不等式2xarctanx>ln(l+x2)(四)不定积分一、选择题：TOC\o"1-5"\h\z1、设f(x)可微，则f(x)=()(A)fdf(x))(B)d(Jf(x)dx)(C)(Jf(x)dx)'(D)If'(x)dx2、若F(x)是f(x)的一个原函数，则cF(x)()f(x)的原函数(A)是(B)不是(C)不一定是3、若ff(x)dx=F(x)+c,则ff(ax+b)dx=()l(A)aF(ax+b)+c(B)al(C)F(x)+c(D)aF(x)+ca4、设f(x)在［a，b］上连续，则在(a，b)内f(x)必有()A）A）导函数（B）原函数（C）极值D）最大值或最大值5、下列函数对中是同一函数的原函数的有（）兀6、在积分曲线族y=『sin3xdx中，过点（石」）的曲线方程是（）7、下列积分能用初等函数表出的是（）（A）Ie-x2dx；（B）.匸中；（C）J竺；（D）I^dx.1+x3Inxx8、已知一个函数的导数为y'=2x，且x=1时y=2，这个函数是（）(A)y二x2+C;x2(B)y=x2+1;(C)y=+C；(D)y=x+1-9、.詈dx=()xxxxxxxxdx10、I-()(4x+1)10(A)11+C；(B)11+C；(C)11+C；(D)9(4x+1)936(4x+1)936(4x+1)9(A)ilnx+丄+C;(B)llnx+1+C;(C)丄Inx—1+C；(D)-llnx-丄+C.136(4x+1)11+C.二、计算题:11、Iln(x+J1+x2)dx.1-tanx72Idx、1+tanx3、Ixf"(x)dx7、Ix7、Ix24arccosxdx3、lim(n+1nsr1Idxfdx3、(x+1)(x+2)(x+3)函数f(x)=ex在区间［a函数f(x)=ex在区间［a，b］上的平均值为(a<b).二、单项选择题：-g<x<0三、求If(x)dx,其中f(x)=<x+10<x<12x1<x<+g(五)定积分及其应用一、填空题：1、设f(x)是连续函数，F(x)=Ixxf(t)dt，则F'(X)二;0

1、设Jbf(x)dx，(a<b)存在，则f(x)在［a,切上()a可导(B)连续(C)具有最大值和最小值(D)有界2、12、设f(x)是以T为周期的连续函数，则lim-Ja+ntf(x)dx=ns—aD)(A)f(a)-T(B)JTf(x)dx(C)Jaf(x)dxD)03、设I=—Jf(x)dx+—J3、设I=—Jf(x)dx+—J4dxdx3f(x)dx+Jf'(x)dx存在，则1=(4、(A)f(x)(B)2f(x)(C)2f(x)+C(D)0J:A(a<»((A)P<1时收敛,P±1时发散(B)PW1时收敛,P±1时发散(C)P>1时收敛,PW1时发散(D)P±1时收敛,P<1时发散5、(A)Jlnblnxdx

lna(B)Jebexdx

ea(C)Jlnbeydxlna(D)Jlnxdxe三、计算下列定积分:1、1、J25x一1dx1「匹sin2x72J4dx、一丄1+e-x43、11ln(x+3、11ln(x+Jl+x2)dxo4、dx0x+Ja2一x2四、求下列极限:jsinxJtantdt1、limo—x—o+Jtansintdt0jsinx(1+1)：dt2lim——:x*jx巴dt

0t五、设可导函数y=y(x)由方程卜-制+joxsintdt=2x2所决定'试讨论函数y=y(x)的极值.六、已知抛物线x2=(p-4)y+a2,(p丰4,a>0)，求p和a的值，使得:抛物线与y=x+1相切；抛物线与0x轴围成的图形绕0x轴旋转有最大的体积.六)向量代数空间解析几何rrrrrr2、设a=11,2,-1),b={-1,1,01,则a-b=，axb=cos0=，sin0=o

3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为。4、平面通过点(5,-7,4)且在x,y,z三轴上截距相等，则平面方程为5、把曲线z2二5x,y二0绕x轴旋转一周，则旋转曲面的方程为。、选择题：1、平面Aix+Biy+C1Z+Di二0与A2x+B2y+C2z+D2-0互相平行则（）。（A）充要条件是Ai（A）充要条件是AiA2+B1B2+C1C2二0ABC222必要而不充分条件是企二BABC222(D)必要而不充分条件是A1A2+B1B2+C1C2二0rrrrr2、设a与b为非零向量，则axb=o是()rrarra〃b的充要条件;rra丄b的充要条件;rr(C)rr(C)a=b的充要条件;rr(D)a〃b的必要但不充分的条件;3、设直线0=|=-1，则该直线为()。过原点且垂直于x过原点且垂直于x轴过原点且平行于x轴不过原点但垂直于x不过原点但垂直于x轴不过原点但平行于x轴4、直线三=出=三和平面x+y+z=3的关系是（）31-4（A）直线与平面垂直；（B）直线与平面平行，但直线不在平面上;（C）直线在平面上；（D）直线与平面相交，但不垂直。5、平面4x+y-2z-2=0在x,y,z轴的截距分别为a,b,c，则（）。（A）a=2,b=,c=—1（B）a=4,b=1,c=—226、C)方程a=2,6、C)方程a=2,b=2,c=-1(D)a=-2,b=-2,c=1x2+4y2+9z2=36y=1表示（A）（A）椭球面;（B）椭圆柱面;（C）椭圆柱面在平面y=0上的投影曲线；（D）y=1平面上椭圆。7、方程16x2+4y2-z2=64表示()（A）锥面；（B）单叶双曲面；（C）双叶双曲面；（D）椭圆抛物面。三、计算题：】、将直线方程带J。化成对称式方程。2、求两平行平面19x-4y+8z+21=0及19x-4y+8z+42=0之间的距离。3、设一直线通过点M(4,3,3),且垂直于由三点A(6,0,1),A(2,1,5),A1235,3,5)所确定的平面,求该直线方程。冗4、求过点A(0-,1,0)和B(0,0,1)且与平面成§角的平面方程。四、应用题：设有一质点开始时位于点P(1,2,-1)处，今有一方向角分别为60°,60°,45°,ur而大小为100克的力F作用于此质点，求当此质点自点P作直线运动至点M(2,5,-1+3V2)ur时，力F所作的功(长度单位为厘米)。(七)多元函数微分学一、填空题：TOC\o"1-5"\h\z1、设f(x+y,—)=x2-y2，贝Vf(x,y)=.2、设z二yx，贝卩°.dxdyx=23、由方程z3-3xyz=-4所确定的函数z=z(x,y)在点(1,2,2)处的全微分dz=.兀兀14、曲面z=sinxcosy在点(才，,)处的切平面方程是.5、设u=arccosz，则该函数的定义域为x2+y2则在点则在点（0,0）处f（x,y）（)二、选择题：1.当xT0,yT0，时，函数xy-的极限（）23x4+y：（A）等于0；（B）等于1；（C）等于丄；（D）不存在342.函数z=f（x，y）的偏导数竺，—在点（x,y）连续是函数z=f（x,y）在ax3y00点（X,y）可微分的（）00（A）充分条件但非必要条件；（B）必要条件但非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分条件也非必要条件；3.设z=f(u,v),而u=x+y,v二xy，其中f具有一阶连续偏导数，则竺等于（）ax⑷aU+aV；⑻aU+xaV；(C)aU+yaV；(D)y炸+aV;4•在曲线x二t,y二t2,z二t3的所有切线中，与平面x+6y+12z=1平行的切线（）（A）只有1条；（B）只有2条；（C）至少有3条；（D）不存在设函数f（x,y）在点（0,0）的某个邻域内连续，且limf（x,y）-2=2;二01-cos（x2+y2）

(A)不可微分；(B)可微分，且f(0,0)丰0,f(0,0)丰0；xy(C)取得极大值；(D)取得极小值.三、计算题：xydzdz1、设z=smcos，求一,—TOC\o"1-5"\h\zyxdxdyx02za2z02z2、设z=arctan，求,,y0x20x0y0y20u0u0u3、设u=f(x,xy,xyz)，求，丁，0x0y0z4、设z=z(x,y)由方程cos2x+cos2y+cos2z=1所确定，求dz5、设z3一3xyz=a3，求-dxdy6、求函数f(x,y)二4(x-y)-x2-y2的极值.四、求曲面x2+y2+z2-xy-3=0上同时垂直平面z=0与x+y+1=0的切平面方程x2五、在旋转椭球面亦+y2+z2=1上求距平面3x+4y+12z=288为最近和最远的点.习题答案(一)函数、极限、连续答案、1、(D)2、(C)3、(C)4、(B)5、(D)、、1、（1+x）32、N=103、4，104、一，跳跃5、k兀三、1、(1)limlncosx6)lim-COS2x=limxT0xsinlncosx6)limxT0xsinx2）11+x2x—i-2）lim—In'-=limln(1+)2x1一x=1XT。X1一XxTO1一X3)lim(x2+1一ix2一1)=limxTsxTsv'x2+1+Yx2-11一1不存在）4)1x3sinlim—=limxT01一cox1x3sinx=0xxt02sin2—25)limsin3xcos2x=0xT0cosx一1=limTOC\o"1-5"\h\zxT0x2

一2sin\o"CurrentDocument"=lim—xT0x22、解：f(-1-0)=0f(-1)=bf(-1+0)=a+n0=b=a+兀.•.<使f(x)在x=T连续［b=0四、证明：令F(x)=f(x)-x显然F(x)在［a,b］上连续F(a)=f(a)-a〉0F(b)=f(b)-b〈0・••在(a,b)内至少有一点g使F(g)=0即：使f(g)=g二）导数与微分答案、、1、-2f'（x）2、不存在0cos/x3、esin2xdx4、xxsinx(1+ctgx+lnx)5、0sin2x二、1、（A）2、（D）3、（C）4、（B）5、（D）三、解：1、0广⑴=limf(1+Ax)-f⑴=lim2f(Ax)-2f(°)=2f'(0)=20AxtOAxAxt0AxAx2、Ax2cos丄-00g'(0)=limA=0而df(g(x))=f'(f(x))g'(x)Axt0Axdx3、解：对等式x+1(1-1)两边关于t求导dx+(1-1)-1=0n=2t-1dtdt对等式tey+y+1二0两边关于t求导ey+teyy'+y'=0ndy=dteytey+1ey.iy_iy；dx_■•———dxdt：dt(2t-1)(tey+1)当t=0时,得x=0,y=-1・•・曲线在t=0处的切线方程的斜率为k=I!/"=e-1'・••切线方程y+1=-xny=-x-1eef(a)dudx丄3(x2+x)2(2x+1)(2y+1)dy二du4、0(a)-lim申(x)一申(a)-1込血(xf(a)dudx丄3(x2+x)2(2x+1)(2y+1)dy二du6、1y=lnx+1,y=,yx=-丄,…,y(n)=(-l)n-2(n-2)!x1-nx27、设f(x)=丘xo=9,Ax=0.02,则J902=3+2-9-1-0.02=3.003三)导数的应用答案14、(1)—1兀⑵1，1；⑶］；⑷寻严二、B；D；D；A；x2sin2xx2-sin2x二、解：1.(1)、原式=二、解：1.(1)、xt0x2sin2xxt0x41原式=e粤tgxlnx=e^：CX=12.y'=(1-x)e-x，驻点x二1,y"=(x—2)e-x，令y"=0，得x二2,因为x<1,y'>0,x>1,y'<0，所以(1,e-i)为极大值点x<2,y〃<0,x>2,y〃>0，所以(2,e-2)为拐点所以极大值点与拐点的中点坐标为(-,fit!)，所求直线为：y==±二22四、1、解：(a)G'(x)=-0.2x+2.6令G'(x)=0,贝Ux=13,G(x)单调下降：所以当提出概念所用的时间小于13分钟时，接受能力增强；当提出概念所用的时间大于13分钟时，接受能力降低

(b)x=10e[0,13],G(x)单调上升，学生的兴趣在增长。G(x)在x=13时取极大值，所以最难的概念应该在提出问题后的第13分钟时讲授。因为G(13)=59.9,这个概念需要55的接受能力，小于最大接受能力，所以可以对这组学生讲授该概念。2、解：设AM与MB的公路总长为y，则y=&+x2+Jx2-6x+13，0vxv3所以y'=+，令y'=0，得：x=1,x=一3(舍去)1+x2<x2一6x+13只有唯一的驻点x=1，所以在x=1处取得最小值五、证：1、令f(x)=2xarctgx-ln(1+x2),贝Ijf'(x)=2arctgx当x>0时，f'(x)>0,f(0)=0，有f(x)>0，当x<0时，f'(x)v0,f(0)=0，有f(x)>0故Vx.f(x)>0,即2xarctgx>ln(1+x2)四)不定积分答案、1、1、(C)2、(B)3、(C)4、(B)5、(A)6、(A)7、(D)8、(B)9、(D)10、(C)一、1、原式二xln(x++x2)—Jdx=xln(x+pl+x2)—pl+x2+C1+x2⑷15)⑷15)62、原式二Jd(cosx+sinx),.=Incosx+sinx+Ccosx+sinx3、原式二Jxdf'(x)=xf'(x)-Jf'(x)dx=xf'(x)-f(x)+C4、111原式"(2(x+1)-x+2*2(x+3)dx=ln丸x+l)(x+3)x+2+C5、原式二v6、7、x2-T+c，~~2x<0.+C原式=J-1dx=J1•罕dx=j1(1+vx+\：x+1x^x+1vx+x+1x+1<x<x+1=2Jd(Jx+1+Qx)=2ln(Jx+Jx+1)+Cx'x+px+1原式二1x3arccosx3+1(1-x2)3-1J1-x2+C93x+C三、原式=佇+x+C-a<x<00<x<11<x<+a五)定积分及其应用答案、(1)xf(x)+Jxf(t)dt(2)003)ln2a-b二、二、1、D，2、B，3、C，4、A，5、C。22三、15三、15544解：1、原式二u=x一1j24t2（t2+1）dt=0四、五、2、原式sin2xxdx+J40=J0一九1+ex4sin2xdx3、原式二ln（x+Jx2+14、原式二x=asintj2=0I1-J00\：1+x2costdx兀sint+cost4解：1、原式=lim》竺空圧=1x—0psin（tgx）sec2xdx=ln（1+迈）-迈+1『圧f位一f耳2、Qj2sinnxdx=j2-£sinnxdx+j2sinnxdx,00兀_£2x兀兀而0<j2-£sinnxdx=（一-£）sinnC<sinn匚02又00<sin匚<1,「.limsinn匚=0，由夹挤定理知limJ2sinnxdxbsns0此外00<J2sinnxdx<£,由£的任意性知limJ2sinnxdx=0庇_£ns0两边求导得y'e-y2+sinx=x,即y'=（x-sinx）ey2,令y，=0,得x=0.且由于x<0时,y'<0;x>0时,y'>0知x=0是y=y(x)的极小点,0，代入方程得：Iy(0)e-t2dt=0；注意：e-12>0,.・.y(0)=0,即y二y(x)的极小值为002x2x六、解：对.2=(p-4)y+a2两边关于乂求导得y'=芦，由题设切点处有：芦=1’得x切点=号，y切点=写，代入抛物线方程可得a2=p-佇，另一方面，旋转体a5a5体积为：V=叫(壮皿=存(p-4)2令dv=0,得p=罟,从而a=字这时，p<130时，dv>°，而p>10时，空<0，故p=10，V取极大值，也是最大值。dp3六)空间解析几何答案、1、3'4'32、1，{,1,3}遇,空3、(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14664、x+y+z=25、z2+y2=5x二、1、B2、A3、A4、C5、C6、D7、B三、1、uuruur解：令x=0，得到直线l上一点O(0,0,0),设n={1,0,1},n={2,1,0}uuruur1的方向向量为nx“2=rrrjk10110rrr=-i+2j+k2、3、4、故1的对称式方程为一1=2=121解：在19x-4y+8z+21=0上取一点（0,0,-一）；则两平行平面间的距离为8uruuuuruuuur解：所求直线方向向量S同时垂直于AA及AA1213uruuuuruuuur・・・S=A1A2xA1A3={-4,-1,4}x{-3,3,4}={-16,12,-131・・・直线的对称式方程为弟=召解：设所求平面方程为：Ax+By+Cz+D=0;分别将A,B的坐标代入此方程:Ax0-B+Cx0+D二0nB=D；Ax0+Bx0+C+D二0nC=-D故平面方程为：Ax+Dy—Dz+D=0；{A,D,-D}"巴卫=1nA=±<2DQA2+2D2所以平面方程为：±、；2Dx+Dy一Dz+D=0n±、；2x+y一z+1=0urrirr(J四、解：TF=飞cos60o+Jcos60o+kcos45。九00=^0,50,50uruuur/1S=PM=«3,32丿urur.・・W=F-S=500克厘米七）多元函数微分学答案、1、x2-4xy；2、1+In2；3、dz=2dx+dy；4、x-y-2z+1=0；5、Kx,y,z)1x2+y2