2021-2022学年上海市浦东新区某中学八年级（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年上海市浦东新区张江集团中学八年级（下）

期末数学试卷

I.如果关于x的方程9-4）“=2022有解，那么实数a的取值范围是.

2.用换元法解方程要-品=5,设?=y，则得到关于y的整式方程为.

3.方程［（X-1）4-64=0的根是.

4.若关于x的方程UN—轨+8=m无实根,则〃?的取值范围是.

5.从3至8的6个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数互素的概率是.

6.已知点C是线段A8的中点，则尼+阮=.

7.如果抛物线y=2x2-4%+Tn的顶点关于原点对称点的坐标是（—1,一3）,那么m的

值是.

8.点4（2/1）、8（3/2）是二次函数y=/-2x+1的图象上两点，则yi与丫2的大小关

系为y】_%（填“>”、“<"、"="）.

9.若二次函数y=m/-2x-1的图象与x轴只有一个交点，则根的值为.

10.已知二次函数y=&/+旅+©中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

・・・3113・・・

.V-101

一2-222

・・・17971923・・・

V

4444444

则该二次函数解析的一般式为.

11.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的

关系是y=—争2+?+河他将铅球推出的距离是m.

12.如图，将等边三角形、正方形和正五边形按如图所示

的位置摆放.41=42=30°,则ZBCA=

3

C

A

13.如图，在平行四边形A8CO中，AC与3。交于点0,

Z.AD0=30°,AC=10,BD=16,则平行四边形

ABCD的面积为.

14.已知直线y=|%+2与x轴、），轴分别相交于点A、点8,点C的坐标为（2,0）,点。

在y轴上，联结A、B、C、。四点构成一个梯形，则点。的坐标为.

15.梯形的四条边长分别为4、5、6、7,这样不同形状的梯形可以画出个.

16.在直角梯形A3C0中，AD//BC,&=90°,4B=|旧，CD=3,那么4c=,

17.如图，在正方形4BCD中，AB=3,点E,尸分别在CD,

ADk,CE=DF,BE,CF相交于点G,若图中阴影部分的

面积与正方形A8C£＞的面积之比为2：3,则ABCG的周长

为.

18.已知点4是直线y=『X上一动点，以点4为顶点的

抛物线y=（x-m）2+h交y轴于点B,作点B关于x

轴的对称点C,连接A8、4c.若△ABC是直角三角形，

则点A的坐标为.

19.下列方程中，没有实数解的是（）

kx2+y2=13{xy=7

+yx+y5

C.[\；^7D.[V

kx2+y2=17（xy=-6

20.在下列事件中，确定事件共有（）

①买一张体育彩票，中大奖；

②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；

③在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只白球；

④初二（3）班共有49名学生，至少有5名学生的生日在同一个月.

A.1个B.2个C.3个D.4个

21.已知四边形ABCO是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A.当乙4BC=90。时，四边形ABCD是矩形

B.当4B=BC时，四边形ABCZ）是菱形

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C.当4clBO时，，四边形ABC。是菱形

D.当月C=8。时，四边形A8CO是正方形

22.在四边形A2CO中，对角线AC和8。相交于点O,AB=CD,添加下列条件后能

判定这个四边形是平行四边形的是()

A.4ADB=乙CBDB.AO=CO

C.Z.ABC=£.ADCD.AD=BC

23.已知梯形4BC。中，AD//BC,E、F、G、”分别是AB、BC、CD、DA的中点，

如果添加一个条件，使得四边形EFGH成为矩形，那么所添加的这个条件可以是()

A.BD1ACB.BD=ACC.4ABe=90°D.AB=CD

24.解方程：Vx—5+y/1—x=1.

25.解方程组：若2+2孙：3+19

+xy+2yz—y=9

26.已知二次函数y=(m2-2)x2-4mx+n的图象的对称轴是x=2,且最高点在直线

y=1x+l±,求这个二次函数的表达式.

27.已知方x+2程号x+1+号(=x+,l点)(x+:2：)八只有一个根，求。的值.

28.将抛物线y=2/先向下平移3个单位，再向右平移?n(m>0)个单位，所得新抛物

线经过点(1,5).

(1)求新抛物线的表达式；

(2)新抛物线关于y轴对称后的图象解析式.

29.已知梯形A8CO中，AD//BC,/.ABC=90°,AB=4,BC=9,AD=5,E是BC

边上任意一点(不与8、C重合)，联结。E和4E.

(1)若AE■平分4BEC,求BE.

(2)若M是。E中点，联结AM和BM.

①设=BM=y,求y关于x的函数解析式；

②若AM1OE,求8E的长.

30.【探究与应用】

我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论.例如：在平行四

边形ABCD中，AB丰BC,将AABC沿直线AC翻折至AAEC,联结DE,则4C〃ED.

(1)如图1,若与CE相交于点。，证明以上个结论；

(2)如图2,AO与CE相交于点O,若ZB=9O。，AB=V2,BC=2,求△ZOC的

面积；

(3)如果4B=45。，BC=2,当A、C,。、E为顶点的四边形是正方形时，请画图

并求出AC的长；

(4)如果4B30°,AB=3,当△4ED是直角三角形时，直接写出8c的长.

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答案和解析

1.【答案】a力4

【解析】解：•.・关于x的方程(。一4)久=2022有解，

二a—4¥0,即a丰4,

故答案为：aH4.

根据方程有解确定出a的范围即可.

此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键.

2.【答案】y2-10y-6=0

【解析】解：设立i=y,

X

2

:.X---+--l=-1y,---3--x-=—3,

2x2Jx2+ly

则原方程为：--=5,

整理得：y2-10y-6=0.

故答案为：y2-10y—6=0.

设立l=y,则芋=：y,-^-=2,转化后再进一步整理得到整式方程即可.

x2x2xz+ly

本题考查了用换元法解分式方程，换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的

变量,可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来，

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.

3.【答案】x=5或％=—3

【解析】解：；(%-1)4=64,

0-1)4=256,

x—1=±4,

x=5或％=—3,

故答案为：x=5或x=-3.

运用直接开方法进行解答便可.

本题主要考查了高次方程的解法，掌握直接开方法是解题的关键.

4.【答案】m<2

【解析】解：1X2-4%+8=(%-2)2+4>0,

・•・无论x取什么数，方程始终有意义.

原方程化为：(%-2)2+4=租2,

・•・(%-2)2=m2-4,

•••(x-2)2>0,

.•.当m2—4<0时，方程无解.

:.—2<m<2.

,■Vx2—4x+8>0,

二当m<0时方程无解.

•••m<2.

故答案为：m<2.

先将无理方程转化为有理方程，再求解.

本题考查无理方程的解，将无理方程转化为有理方程是求解本题的关键.

5.【答案】,

【解析】解：列表如下:

345678

3(4,3)(5,3)(6,3)(7,3)(8,3)

4(3,4)(5,4)(6,4)(7,4)(8,4)

5(3,5)(4,5)(6,5)(7,5)(8,5)

6(3,6)(4,6)(5,6)(7,6)(8,6)

7(3,7)(4,7)(5,7)(6,7)(8,7)

8(3,8)(4,8)(5,8)(6,8)(7,8)

由表知，共有30种等可能结果，其中这2个数互素的有21种结果，

所以这2个数互素的概率为京=看

故答案为：

列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

6.【答案】0

【解析】解：•••点C是线段A8的中点，

AC=-BC.

:.AC+BC=0.

故答案是：0.

根据共线向量的性质作答.

本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小又有方向.

7.【答案】5

【解析】解：•.•抛物线y=2——4%+加的顶点关于原点对称点的坐标是(―1,一3),

••・抛物线y=2x2-4x+ni的顶点坐标是(1,3),

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：•2-4+nt=3,

解得m=5,

故答案为5.

根据已知条件求得顶点坐标是(1,3),然后代入解析式，即可得到关于，"的方程，解方

程即可求得m的值.

本题考查了二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标.二次函数图象上点的坐标特征,

求得顶点坐标是解题的关键.

8•【答案】<

【解析】解：・•・二次函数y=/一2x+1的图象的对称轴是x=1,

在对称轴的右面y随x的增大而增大，

,••点4(2,yi)、8(3/2)是二次函数y=x2-2x+1的图象上两点，

2<3,

••­乃<外

故答案为：<.

本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小

即可判断出为与的大小关系.

本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象

和性质以及点的坐标特征是本题的关键.

9.【答案】一1

【解析】解：：二次函数、=巾/一2刀-1的图象与*轴只有一个交点，

(m0

■,,((-2)2-4mx(-l)=0,

解得，m=—1,

故答案为：-1.

根据题意可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的值，注意二次项系数不为零.

本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件，

知道二次函数y=mx2+2mx+2的图象与x轴只有一个交点，说明4=0且二次项系数

不为零.

10.【答案】y=2/+2x—；

4

【解析】解:由表格知，抛物线过点(0,-令,(―1,—今，(1》

(7

C=—

4

7

•**cif

—b+c=--4

9

Q+b+C=-

I4

fa=2

=2

解得：P7，

故答案为：、=2%2+2%-：

4

选三组X,y的值代入二次函数表达式，求出a,b,c的值即可.

本题考查求二次函数解析式，根据表格数据建立关于“，b,c的方程组是求解本题的关

键.

11.【答案】10

【解析】解：当y=0时，一*%2+"+|=0,

解之得%=10,x2=-2(不合题意，舍去)，

所以推铅球的距离是10米.

成绩就是当高度y=0时x的值，所以解方程可求解.

此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法.

12.【答案】480

【解析】解：等边三角形的每个内角的度数是60。，正方形的每个内角的度数是90。，正

五边形的内角的度数是：(5-2)x180°=108°,

Zl+Z2+Z3=360°-60°-90°-108°=102°,

•••41=Z.2=30°,

43=42°,

4BCA=180°-90°-Z3=48°,

故答案为：48。.

三角形的外角和360°,利用360。分别减去等边三角形的一个内角的度数，正方形的一个

内角的度数以及正五边形的一个内角的度数，即可得出41+42+N3,据此即可求出答

案.

本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是

解答此题的关键.

13.【答案】8(3+4V3)

【解析】解：如图，过点。作。EJ.4D,垂足为E,

•••四边形ABC。为平行四边形，

AO=CO=-AC=5,BO=DO=-BD=8,

22

第8页，共22页

在Rt△ODE中，

/.ADO=30°,

OE=-DO=4,

2

DE=V3OE=4V3,

在RtAAOE中，AO=5,OE=4,

AE=7Ao2—田=3,

AD=AE+DE=3+473,

11厂

,1'S平行四边形ABCD=,4。-OEx4=—x(3+4v3)x4x4=8(3+4v3).

故答案为：8(3+4V3).

过点。作。EJ.40,垂足为E,根据含30度角的直角三角形可得0E=4,DE=473,

再利用勾股定理可得AE,进而可以解决问题.

本题主要考查了平行四边形性质，正确理解四边形A3CD的面积是△04)的面积的4倍

是解题的关键.

14.【答案】(0,-3)或(0,-》

【解析】解：：直线y=|x+2与x轴、

轴分别相交于点A、点8,

二4(一3,0),6(0,2),

C(2,0),

过A点作4D1//BC,交y轴于Di，

・•・△B0Cs>AOA,

喈啜，即等=4

・•・。。1=3,

•••£>1(0,-3),

过C点作交V轴于。2,

・•・△AOB^LCO%,

;.丝=也，即2=如，

OAOC32

4

:.0D2—-9

4

故所有满足条件的D点的坐标为(0,-3)或(0,-1).

故答案为：(0,—3)或((),-》.

先求出A、8坐标，然后分两种情况讨论，通过证得三角形相似，求得0。的长，从而

求得。的坐标.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，梯形的判定和性质，求得点的坐标是解题的

关键.

15.【答案】6

【解析】解：由4做梯形的一个底，有以下三种情况：

5做另一个底，6、7做腰；6做另一个底，5、7做腰；7做另一个底，5、6做腰；

由5做梯形的一个底，有以下三种情况：4做另一个底，6、7做腰；6做另一个底，4、

7做腰；7做另一个底，4、6做腰；

由6做梯形的一个底，有以下三种情况：4做另一个底，5、7做腰；5做另一个底，4、

7做腰；7做另一个底，4、5做腰；

由7做梯形的一个底，有以下三种情况：4做另一个底，5、7做腰；5做另一个底，4、

7做腰；6做另一个底，4、5做腰；

以上情况，除去形状相同的，能画出的图形数量是：3x4+2=6（个）.

故答案为：6.

运用数字组合的规律结合梯形的定义可解决此问题.

本题主要考查梯形的定义，找规律，分类讨论是解题的关键.

16.【答案】60。或120。

【解析】解：当NC为锐角时，如图，过。作DF1BC,垂足为尸,

•••AD//BC,44=90°,

NA+=180°,

Z.B=90°,

二四边形ABF7）是矩形,

CD=2CF,

CCDF=30°,

“=90°-30°=60°；

当NC为钝角时，如图，过C作CF14D,垂足为尸,

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-AD//BC,44=90°,

・・・乙4+乙8=180°,

・•・LB=90°,

・•・四边形A8CV是矩形,

：,CF=AB=^,Z5CF=90%

•・・CD=3,

・•・DF=VCD2-CF2=

•••乙DCF=30°,

4BCD=900+30°=120°.

综上，/BCD=60。或120。，

故答案为：60。或120。.

可分两种情况：当NC为锐角时，当4c为钝角时，过。(C)作垂线，结合矩形的判定与性

质，利用勾股定理可求解4CDF&DCF)的度数，进而可求解.

本题主要考查直角梯形，矩形的判定与性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，分类

讨论是解题的关键.

17.【答案】V15+3

【解析】解：•••阴影部分的面积与正方形ABC。的面积之比为2：3,

・・・阴影部分的面积为：X9=6,

••・空白部分的面积为9-6=3,

由CE=DF,BC=CD,4BCE=LCDF=90°,可得△BCE94

CDF,

・•.△BCG的面积与四边形。EG尸的面积相等，均为;x3=1,

22

Z.CBE=乙DCF,

vzDCF+z.BCG=90°,

ZCBG+ZFCG=90°,B|JzBGC=90°,

设BG=a,CG=b,则［Q/?=|,

又・.・层+炉=32,

・•・a2+2ab+b?=9+6=15,

即(a+&)2=15,

Aa+&=715,即BG+CG=g,

•••△BCG的周长=同+3,

故答案为：V15+3.

根据阴影部分的面积与正方形ABCQ的面积之比为2：3,得出阴影部分的面积为6,空

白部分的面积为3,进而依据ABCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得

出其周长.

此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题.解题时注意

数形结合思想与方程思想的应用.

18.【答案】（—学,一|）,（-V5,-1）或（¥，》

【解析】解：抛物线y=（x-m）2+/i的顶点4（zn,/i）,

当x=0时，y=m2+h.,

•••B（0,m2+h）,

当△ABC是直角三角形时，可能NBAC=90。或乙4cB=90°,

当NB4C=90。时，

•••B关于x轴的对称点是C,

:.OB=OC,

・•・OA=OB—OC,

・•・m24-/i2=（m2+九）2①，

•・・/在直线”去上，

.・・/1=半租，代入①得：

m2+|m2=（m2+ym）2,

解得m=0（舍去）或?n=-遍或m=y,

当m=—旧时，h=-1,

当m=/时，h=：,

•••2（一次,—1）或《,》

当乙4cB=90。时，

yA-ycr

V3V3

・•・一m=—va2r-----m,

33

.•・m=0（舍去）或m=-竽

.2\/3V32

Ah=------x—=

333

2V32

’4（一亍/）,

故答案为：（一言，-1）,（-75,-1）或（今》

第12页，共22页

分别求出A,8的坐标，再求相，6的值即可.

本题考查二次函数的综合应用，找到A,8坐标，判断直角顶点是求解本题的关键.

19.【答案】B

【解析】解：由题意得：y=-x-5,分别代入方程组的第二个方程：

A.化简得：/+(%+5产=13,%2+5%+6=0,4=1>0,有实数解，不符合题意；

8.化简得：一无(x+5)=7,x2+5x+7=0,4=一3<0,没有实数解，符合题意；

C.化简得：%2+(%+5)2=17,X2+5%+4=0,4=9>0,有实数解，不符合题意；

。.化简得：一％。+5)=-6,x2+5x-6=0,4=49>0,有实数解，不符合题意；

故选：B.

将丫=-4-5代入二元二次方程化为一元二次方程，再利用根的判别式计算求值即可.

本题考查了二元二次方程组的解，因为含有二次项，所以运用代入法解本题会比较容易，

掌握一元二次方程根的判别式是解题关键.

20.【答案】B

【解析】解：①买一张体育彩票，中大奖，是随机事件，属于不确定事件；

②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，属于不确定事件；

③在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只白球，是不可能事件，属于确定事

件；

④初二(3)班共有49名学生，至少有5名学生的生日在同一个月，是必然事件，属于确

定事件；

故选：B.

根据事件发生的可能性大小判断即可.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一

定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机

事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

21.【答案】。

【解析】解：4当乙4BC=90。时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形

ABCD是矩形，故该选项不符合题意；

正当AB=BC时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABCQ是菱形，故该

选项不符合题意；

C.当4C1BD时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形48CD是菱形，故

该选项不符合题意；

D当=时，由对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项符合题意：

故选：D.

根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可.

本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进

行判断是解此题的关键.

22.【答案】D

【解析】解：添加4。=BC后能判定这个四边形是平行四边形，理由如下：

■■AB=CD,AD=BC,

四边形是平行四边形，

故选：D.

由平行四边形的判定定理即可得出结论.

本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.

23.【答案】A

【解析】解：如图，尸分别是边AB,BC的中点，

•••EF//AC,EF=^AC,

同理HG〃力C,HG=^AC,

：.EF//HG,EF=HG,

四边形EFGH是平行四边形；

要使四边形是矩形，则需EF1FG,即4C1BD；

故选：A.

根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所

得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四

边形是一个平行四边形；所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满

足互相垂直.

此题主要考查了三角形的中位线定理的运用.同时熟记此题中的结论：顺次连接四边形

各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四

边形是矩形.

24.【答案】解：要使方程有意义，需满足：胃一

・•.俨-5,

lx<1

•••该不等式组无解，

•••原方程无解.

第14页，共22页

【解析】先根据方程有意义，求出X范围，再解方程.

本题考查无理方程，保证无理方程有意义是求解本题的关键.

2x2+2xy+4y2+x=19①

25.【答案】解:

x2+xy+2y2-y=9@

①-②x2得：x+2y=1,

:.2y=1—x③.

将③代入①得：2/+x(l-x)+(1-x)24-%=19,

••・x2—9,

・x=±3,

fx=3_p.fx=—3

・卜=-1或b=2-

【解析】先降次，再消元.

本题考查二元二次方程组的解法，选择合理的消元方法是求解本题的关键.

26.【答案】解：•.•二次函数的对称轴％=2,此图象顶点的横坐标为2,此点在直线y=

-x+1.上.

2

1

Ay=-x2+1=2.

・•・y=(m2-2)x2-4mx+九的图象顶点坐标为(2,2).

-4m

2(m2—2)

解得m=-1或m=2.

■:最高点在直线上，,。＜0,

・•・m=-1.

・・・y=-x2+4x+n顶点为(2,2).

:.2=-4+8+n.An=-2.

则y=—x2+4%+2.

【解析】根据函数的对称轴X=2,此图象顶点的横坐标为2,此点在直线y=|x+1上，

可求得y=(m2-2)x2-4mx+几的图象顶点坐标为(2,2).从而求得m=-1或?n=2,

利用最高点在直线上可得QV0,所以?n=-l,n--2,从而求得二次函数的表达式.

本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法，要掌握对称轴公式和顶点公式

的运用和最值与函数之间的关系.

27.【答案】解：两边同乘以(％+1)(%+2)得：(%+I)2+(%+2)2=4%4-a.

2

・••2x+6%+5=4%+Q.

2

・•・2x+2x+5—Q=0,

•・•当(％+1)(%+2)=0时，x=—1或x=-2

当#=-1时，2—2+5—a=0,

・，•Q=5,

止匕时，2/4-2%=0的解为：x=0或x=-1,

其中％=一1是增根，％=0是原方程的解，符合题意.

当无=2时，8—4+5—Q=0,

・•・Q=9,

:.2x24-2%—4=0,

・•・x=-2或％=1,

其中％=—2是增根，x=l是原方程解符合题意.

方程2/+2%+5—a=0的判别式4=4—8(5—a)=-36+8Q=0时，Q=£

方程为：(X+}2=0,

1

X=——，

2

检验：当x=-g时，(x+l)(x+2)H0,

x=-:是原方程的解，符合题意.

综上，当a=：或a=5或a=9符合题意.

【解析】先去分母转化为整式方程再求a.

本题考查分式方程的解，去分母转化整式方程再探讨解的情况是求解本题的关键.

28.【答案】解：(I)、•平移后，设新抛物线的表达式为y=2(x-m)2-3,

••・新抛物线经过点(1,5),

二将x=1,y=5代入：2(1—m)2-3=5,

•••(1-m)2=4,

1-m=±2,

m1=—1,m2=3.

m>0,

:.m=—1(舍去)，得到m=3.

••・新抛物线的表达式为y=2(x-3)2-3；

(2)•.•关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，

二抛物线y=2(x-3/-3关于y轴对称的图象解析式为y=2(-x-3)2-3,即y=

2(x+3)2-3.

【解析】(1)根据平移规律和待定系数法确定函数关系式；

(2)根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出结论.

此题主要考查了待定系数法，平移的性质，掌握平移的性质是解本题的关键.

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29.【答案】解：（1）过点。作DFJL8C于点F,

图1

-AD//BC,Z-ABC=90°,

・•・乙BAD=90°,

又•：DFIBC,

・•・四边形48FO是矩形，

:.AD=BF=5,AB=DF=4,乙DFB=90°,

vAD//BC,

・•・乙DAE=Z.AEB,

•••4E平分4BED,

・•・Z.AED-Z-AEB,

・・乙

•DAE=Z.AEDf

・•・DA=DE=5,

・•・EF=yjDE2-DF2=V52—42=3>

・・・BE=BF-EF=5-3=2；

(2)①如图2,延长AM交BC于点N,

-AD//BC,

:.Z.ADM=乙MEN,

又・；M为。E的中点，

:.DM=ME,

在△ADM和△NEM中，

/.ADM=乙MEN

DM=ME,

/AMD=乙EMN

•••△4OM^z\NEM(4S4),

MD=EN=5,AM=MN,

v乙ABN=90°,

・•・BM=AM=MN=y,

•・•BE=x,

.・.BN=5+%,

vAB2+BN2=AN2,

••424-(x4-5)2=(2y)2,

VX2+10X+41

y=-2—，

当N与C重合时，BE=4,

的取值范围为0<x<4,

二y关于x的函数解析式为y=s"；"、(0<x<4)；

@---AMIDE,M为。E的中点，

・•・AE=AD=5,

vAB=4,

・•・BE=y]AE2—AB2=V52-42=3.

【解析】(1)过点。作。FIBC于点F,证明四边形ABFO是矩形，由矩形的性质得出

AD=BF=5,AB=DF=4,4DFB=90。,由平行线的性质及角平分线的定义证出

Z.DAE=Z.AED,得出D4=DE=5,由勾股定理可求出EF=3,则可得出答案；

(2)①延长AM交BC于点N,证明AAOM丝ANEMMISA),由全等三角形的性质得出

AD=EN=5,AM=MN,由勾股定理得出42+(x+5/=(2y)2,则可得出答案；

②由垂直平分线的性质得出AE=AD=5,由勾股定理可求出答案.

本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰

三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是本题的关键.

30.【答案】(1)证明：由折叠的性质得：△ABCgAAEC,

:.Z-ACB=Z.ACE,BC=EC,

•・・四边形ABCD是平行四边形，

•.AD=BC,AD//BC.

・•・EC=40,乙ACB=Z.CAD,

・•・Z.ACE=Z.CADJ

・•・0A=OCy

:.0D=0E,

・•・乙ODE=乙OED,

vZ-AOC=乙DOE,

:.Z.CAD—Z-ACE—Z.OED—乙ODE,

:•AC"DE：

(2)解：•.・平行四边形ABC。中，△B=90。，

二四边形48C。是矩形，

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•••“0。=90°,CD=AB=V2,AD=BC=2,

由（1）得：。4=oc,

设0A=0C=x,则0D=2-x,

在RtZkOC。中,由勾股定理得：（或产+（2-x）2=—,

解得:x=l，

0A=

2

04C的面积=|tMxCD=gx|x&=¥；

(3)解：分两种情况：