2021-2022学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

202L2022学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.（）分）

1.已知zi=l-2i,则在复平面内，复数z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.某种彩票中奖的概率为康，这是指（）

A.买10000张彩票一定能中奖

B.买10000张彩票只能中奖1次

C.若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖

D.买一张彩票中奖的可能性是嬴

3.已知cos（a+（）=|,则s讥2a=（）

A.（B.C.D.

25252525

4.已知两个单位向量五，方的夹角为60。，若2日一方+不=0,则|m|=（）

A.3B.V7C.V3D.1

5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视

为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形

边长的比值为竽，则以该四棱锥的高为边长的正方形面

积与该四棱锥侧面积之比为（）

A.1B.1D.；

4

6.已知a,3是两个不重合的平面，m,九是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A.若？n1a,nA.0,mln,则a1/?

B.若m〃a,n///?,m//n,则a〃夕

C.若m〃a,nu6,a〃S，则m〃n

D.若?n〃a,a_L£,则m_Ln

7.已知△ABC为锐角三角形，AC=2,4=｝则BC的取值范围为（）

O

A.(l,4-oo)B.(1,2)C.(译)D.萼2)

8.一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.连续抛掷这个正四

面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件4为“两次记录的数字

和为奇数”，事件8为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数字

为奇数”，事件。为“第二次记录的数字为偶数”，则（）

A.4与。互斥B.C与。对立C.4与B相互独立D.4与C相互独立

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.对于一组数据2,3,3,4,6,6,8,8,则（）

A.极差为8B.平均数为5C.方差为rD.40百分位数是4

4

10.已知正六边形4BC0EF的中心为。，则（）

A.OA+OB+OC+OD+OE+OF=0

B.AC-AF=2DE

C.存在2eR,AC+AE=X（AB+AF）

D.ADBE=ADFC

11.在△ABC中，内角所对的边分别为a,b,c,三条中线相交于点G.已知b=c=2,

a=3,NABC的平分线与4C相交于点。，则（）

A.边4c上的中线长为反

B.△48C内切圆的面积为多

C.△BCD与△BAD面积之比为3：2

D.G到4c的距离为亚

16

12.已知函数/（x）=（sinx-cosx）|s讥x+cosx|,则（）

A.的最小正周期为27r

B.函数/（x-彳）在［0,自上单调递减

C.当+|/（%2）|=2时，X1+X2=y,fcez

D.当函数g（x）=/（%）+a在［0,2兀］上有4个零点时,0<a<1

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

,13c.l+-ta-n-l5-0-=.

l-tanlS°------------

14.已知向量方=（0,5）,b=（1,2）.贝曝在B的投影向量的坐标为

15.写出一个同时具有下列性质①②的复数z=.

①z的实部小于0；

②Z4+1=0.

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16.已知菱形4BCD的边长为2,ND4B=60。.将AABD沿BD折起，使得点4至点P的位

置，得到四面体P-BCD.当二面角P-BD-C的大小为120。时，四面体P-BCD的

体积为；当四面体尸-BC。的体积为1时，以P为球心，PB的长为半径的球

面被平面ECD所截得的曲线在^BCD内部的长为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知sin(a+/?)=—|,a6(0,^),[C\,兀).

(1)若cos0=-£,求sina；

⑵若sin(a-0)=一|,求簿.

18.立德中学高一年级800名学生参加某项测试，测试成绩均在65分到145分之间，现

随机抽取50名学生的测试成绩，分8组：第1组[65,75),第2组[75,85),……，第8组

[135,145],统计得到频率分布直方图，如图所示.

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计学生测试成绩的平均数；

(3)估计学生测试成绩的中位数.

19.已知向量为=(2.COSX,sinx+\[2sinO}>b=(2sinx,—cosx+V2cos0)•

(1)若求cos(u+0)；

(2)若。=?,函数/(x)=五.石(x6[0,兀])，求/'(x)的值域.

20.甲、乙两人分别对4,B两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次

射击互不影响.已知甲击中4,8的概率均为:，乙击中4B的概率分别为%|.

(1)求4被击毁的概率；

(2)求恰有1个目标被击毁的概率.

21.在四边形4BC0中，/.ABC=Z.DAB.

(1)若乙4BC=pAB=2,CD=1,求四边形4BCD面积的最小值；

(2)若四边形4BCD的外接圆半径为1,^ABCG(0,求p=4B•BC•CD•ZX4的最

大值.

22.如图，在直四棱柱4BCD-4道©。1中，底面力BCD为平行四边形,AD=BD=5

AB=AAr=2.

(1)证明：801平面4。。遇1；

(2)若点P在棱CD上，直线&D与平面P44所成角的大小为0.

①画出平面P441与平面BBiDiD的交线，并写出画图步骤；

②求sin。的最大值.

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：由zi=l-2i,

得z=0=空学=-2

••・在复平面内复数z对应的点的坐标为(-2,-1),位于第三象限.

故选：C.

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：如果某种彩票的中奖概率为嬴，则买10000张这种彩票仍然是随机事件，

即买10000张彩票，可能有多张中奖，也可能不能中奖，排除4B；

若买9999张彩票未中奖，则第10000张也是随机事件，旦发生概率仍然是就，故C

错误，这里的中奖的概率为康，是指买一张彩票中奖的可能性是嬴，故力正确.

故选：D.

根据事件的运算及概率的性质对四个说法进行验证即可得出正确的说法的个数，选出正

确答案.

本题考查概率的意义及事件的运算，属于基本概念题.

3.【答案】A

【解析】解：1•,cos(a+9=I，

sin2a=—cos(2a+1)=-[2cosz(a+^)—1]=

故选：A.

由已知利用诱导公式及倍角公式求解.

本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题.

4.【答案】C

【解析】解：因为22—匕+口=0，即E=b—2方，

所以|七=|3一2矶=一4五•B+4五2=Jl-4xlxlx|+4=6，

故选：C.

根据2U-b+c=0可得3=石一2五,再由模的运算公式计算即可.

本题考查平面向量数量积的运算性质，考查向量模的计算，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：如图，设正四棱锥的底面边长为a,高为心斜高为九'，E为CO的中点,

P

则由题意得：”;四台"二四小

a44

则设以该四棱锥的高为边长的正方形面积为S1，S1=/=一?=（等a）2-9=

1+\/57

---a，

8

设该四棱锥侧面积为52=4=2a•四a=&a2,

N242

所以*=1=;.

Si54

故选：D.

设正四棱锥的底面边长为a,高为八，斜高为儿E为C。的中点，则由题意得，〃=牝1a，

4

分别用a表示出以该四棱锥的高为边长的正方形面积和该四棱锥侧面积，即可得出答案.

本题主要考查了四棱锥的表面积有关的计算问题，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】对于4,若7nl.a,nip,mln,可将m,TI平移至相交直线，由公理3推论2,

确定一个平面y，

由线面垂直的性质可得a,0的交线［垂直于平面y,进而得到］垂直于y和a,0的交线,

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且y和a,0的交线与m,n或其平行线能围成矩形，

由面面垂直的定义，可得al。，则A正确；

对于8,若m〃a,n//p,m//n,当zn,n都平行于a,0的交线，则条件满足，则a,/?相交

成立，则B错;

对于C,若rn〃a,nu£,a///?,则m,兀可能平行、可能异面、可能相交，所以C错：

对于D,若m〃a,n〃0,a10,则m,凡可能平行、可能异面、可能相交，所以D错.

故选：A.

根据线面、面面及线线关系逐项判断即可.

本题考查线面关系，考查学生的推理能力，属于中档题.

7.【答案】C

【解析1解：由于△力BC为锐角三角形，

(.7T

A=-

6

故｛0<B<三,整理得；<8<今

0<--B<-

62

故由正弦定理得：各=等，整理得BC=*，

sinBstnAsinB

由于遗<sinB<1，

2

所以1<BC〈注.

3

故选：c.

直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，主要考查学生的

运算能力和数学思维能力，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).

其中事件4包括:(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3).

事件B包括：(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

事件C包括：(1,1),(12),(1,3),(1,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),

事件。包括:(12),(1,4),(2,2),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,4),

对于人因为事件4与。有相同的基本事件，(1,2),(1,4),(2,3),(3,2),故A与。互斥

不成立，故A错误；

对于B：因为事件C与。有相同的基本事件，(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),故C与。对立

不成立，故8错误；

对于C：因为P(4)=[=]P(B)=当=I，P(AB)=U，因为P(AB)中PQ4)P(B),

所以a与B不是相互独立，故c错误；

对于D：因为P(a)=9=；，P(C)=9=；,而P(4C)=9=；,因为两个事件的发生

loNloZlo4

与否互不影响且P(4C)=PQ4)P(C),所以4与C相互独立，故。正确.

故选：D.

列举出基本事件，对四个选项一一判断：对于4：由事件4与。有相同的基本事件，否定

结论；对于B：由事件C与。有相同的基本事件，否定结论：对于C、D：利用公式法进

行判断.

本题考查的知识点是对立事件和独立事件，难度不大，属于基础题.

9.【答案】BCD

【解析】解：••,数据2,3,3,4,6,6,8,8,

；.极差是8-2=6,故A错误，

平均数是4=2+3+3+4：6+6+8+8=故8正确，

方差s2=*(2-5)2+(3-5)2+…+(8-5)2]=F，故C正确，

由8x0.4=3.2,是第四个数，

得40百分位数是4,故。正确，

故选：BCD.

分别求出数据的极差，平均数，方差以及40百分位数即可判断答案.

本题考查了求数据的极差，平均数，方差以及百分位数，是基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：对4因为六边形4BCDEF,所以罚+而=0,OB+OE=Q，OC+OF=0,

所以OX+而+而+而+而+而=6，故A正确；

对B：AC-AF=FC=2~ED,故B不正确；,,八

C______M

对C：以4为原点，建立坐标系，则设正六边形4BCDEF/\

的边长为a,,J\A)—\一

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B

则4（0,0）,B（a,0）,C（|a,ya），D（a,岛）,E（0,遮a）,F（-|a,ya）,

则荏+都=（/苧a）,而+荏=（|a,苧a）,

所以存在;I=3,使得彳？+篇:=3（而+彳?），所以C正确；

对D：设正六边形边长为a,AD-BE=2OD-2OE=4OD-OE=4\OD\■\OE|cos60°=

2a2,

AD-FC=2OD-2OC=4ODOC=4\OD\-\OC\cos60°=2a2,故。正确；

故选：ACD.

根据平面向量的平行四边形法则和三角形法则可判断4、B,以Z为原点建立坐标系，可

判断C,结合平面向量的数量积的定义可判断。.

本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及正六边形的性质，向量的坐标运算，数形结

合思想，属于中档题.

11.【答案】BC

则边4c上的中线为乔=3瓦？+配），则4瓦，=瓦^+而2+2|而N配1MSB，

45F2=4+9+2x2x3xcosB>又因为cosB==^=|

贝|J4乔之=4+9+2X2X3X：=22,贝=苧.

故A不正确；

因为cosB==11--=—>设△力BC内切圆的为r,

4q164

S^ABC=IacsinB=；(a+b+c)r,则3x2x勺=(2+2+3)r，则r=—，

NN414

△4BC内切圆的面积为：7T(亚Z)2=也，故8正确.

'14/28

对于C,由角平分线定理知：产=*=器="|，所以c正确；

^^BADADABC£

对于D,因为b=c=2,在三角形B/M和三角形BFC中,

cos4AFB=-cos/BFC,则,解得：F=—，

2BF=_1±2£BF±2B2

所以GF=：X^=隼，所以COSNBR4=上些±=中=蟀，

3262BFyf2244

所以sin/BFA=空亘，

44

所以G到AC的距离为：GFsin4B凡4=皿*叵=先，故力不正确.

4464

故选：BC.

如图，取4B、AC.BC边上的中点N、F、E,则边4C上的中线为乔=*瓦？+前)，两

边同时平方结合向量数量积即可判断4设△4BC内切圆的为r,由SA4BC=：acsinB=

i(a+h+c)r,求出r即可判断B；由角平分线定理，产=累=器，可判断C；G到AC

2SABADA。48

的距离为GFs讥NBF4求出GF,sin/B/M代入可判断0.

本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题.

12.【答案】AC

cos2x,+2kn<%<—+2kn

【解析】解：依题意，/(%)=(keZ),

—cos2x,—-4-2kn<%<—4-2kn

44

函数/(x)部分图像如图:

若函数/。-令在［。申上单调递减，则“X)在［-久］上单调递减，从图中可知，B不正

确.

因，(Xl)|Wl且，(X2)|Sl,

则当+|/(%2)1=2时，|cos2%i|=1且|cos2%2l=1，

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则Xi=等，不=等，的，k2&Z,

因此，与+%2="迦=拶，ki+0=keZ,故C正确；

函数g(x)=f(x)+a在［0,2兀］上有4个零点时,即/'(x)=-a,

则y=/(尤)与y=-a的图像在［0,2兀］上有四个交点，

所以0<-a<］,或一1<-a<0,

所以-l<a<0,或0<a<l,故。不正确.

故选：AC.

把函数f(x)化成分段函数，作出函数图像，再逐一分析各个选项即可判断作答.

本题考查了三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题.

13.(答案】V3

【解析】解：原式=吗5：+弋：5。=tan(45。+15°)=tan60°=V3.

l-tanl5'

故答案为：V3.

由已知结合两角差的正切公式即可求解.

本题主要考查了两角差的正切公式，属于基础题.

14.【答案】(2,4)

【解析】解：向量力=(0,5),b=(1,2)>

所以五在方的投影向量为|a|cos<a,方>卷=需石=等石=(2,4).

故答案为：(2,4).

根据投影向量的定义计算即可.

本题考查了投影向量的定义与应用问题，是基础题.

15.【答案】一号+孝出答案不唯一)

【解析】解：设z=a+bi,(a,bG/?),

,:z的实部小于0,・,・a<0,

取2=-四+包i,

22

则Z，=(一曰+争尸=(_/+争)2(一曰+争)2=

Az4+1=0.

,V2.V2.

・•z=------1—i.

22

故答案为：z=—¥+争（答案不唯一）.

设2=。+抗，根据题设条件求出a,b,由此能求出结果.

本题考查复数的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

16.【答案】^n

2

【解析】解：如图1,过点P作PF1C。交C。的延长线于点F,贝Ij/POF=60。,

P

B

图1

因为菱形ABC。的边长为2,^DAB=60°,

所以PO=V5,PF=P0sin60°=j,

故四面体P—BCO的体积为%SADBC,PF=5x2x2xd5x3=^;

33222

当四面体P-BCO的体积为1时，止匕时落.「「尸=""2*百*「9=1,

解得：PF—V3，OF=\!0P2—PF2=V3—3=0,即。，F两点重合，

即P。1底面BCD,如图2,

P

以P为球心，PB=2的长为半径的球面被平面BC。所截得的曲线为以。为圆心，半径为

7PB2—P02=］的圆，

落在△BCD内部的长为圆周长的一半，所以长度为:x2兀x1=〃.

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故答案为：叵,71.

2

画出图形，求出四面体P-BCD的高，从而求出四面体P-BCD的体积；通过分析得到

PF=y/3,OF=y/OP2-PF2=V3^3=0.即。，F两点重合，画出图形，得到落在

△BCD内部的长为半径为1的圆周长的一半，从而求出答案.

本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题.

17.【答案】解：(1)因为ae(0,》，口叫中),

所以《<a+6<4,

因为sin(a+口)=

所以cos(a+?)=

因为cosS=—芥

所以s讥0=高，

sina=sin[(a+0)—0]=sin(a+0)cos.—sin。cos[a+^?)=—|x(-1|)—x

(-3=组

l5，65，

(2)因r—i为sin(a-£)=sinacosp-sinpcosa=2

又sin(a+S)=sinacosp+sinficosa=

所以sinacos£=一条sinpcosa=京，

所以四竺=sinacosB=_]9

tan0sin/?cosa

【解析】(1)由已知结合同角平方关系先求出cos(a+。)，sin。,然后结合两角差的余弦

公式可求；

(2)由已知sin(a一口)=sinacosp-sin(3cosa,sin(a+/?)=sinacosp+sinpcosa,然

后结合同角基本关系即可求解.

本题主要考查了同角平方关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题.

18.【答案】解：(1)由频率分布直方图中各个小矩形面积之和为1可得：(0.004+0.012+

0.016+a+0.020+0.006+0.004+0.004)X10=1,

解得a=0.034.

(2)平均数为：0.004x10x70+0.012x10x80+0.016x10x90+0.034x10x

100+0.020x10x110+0.006x10x120+0.004x10x130+0.004x10x140=

100.8.

(3)v0.04+0.12+0.16<0,5,0.04+0.12+0.16+0.34>0.5,••.中位数落在区间

[95,105),

设中位数为X,

则0.004x10+0.012x10+0.016X104-(X-95)X0.034=0.5,

解得xx100.29,

即中位数的估计值为100.29.

【解析】(1)利用频率之和为1,求出a的值；

(2)根据频率分布图的平均数的运算规则计算即可；

(3)根据中位数的定义计算即可.

本题主要考查了频率分布直方图的性质，考查了平均数和中位数的估计，属于基础题.

19.【答案】解：(1)因为日//方，所以2cosx(—cosx+V^cosO)=2sinx(sinx+&s讥0),

即2e(cosxcos。—sinxsind)—2(sin2x+cos2x)>

则75cos(x+。)=1，

所以cos(x+0)=

(2)因为。=%所以五=(2cosx,sinx+1),b=(2sinx,-cosx+1)，

所以/(x)=4sinxcosx+(sinx+1)(—cosx+1)

=3sinxcosx+(sinx—cosx')+1

=—|(sinx—cosx)2+(sinx—cosx')+1,

设t=sinx-cosx,则t=V2sin(x—

因为所以tc[-1,曲,

设9©=一|12+1+|,1€[_1,企],

由二次函数性质可得：g(t)max=9。=p

-g(-l)=0，

故/(x)的值域为

【解析】⑴根据向量共线定理的坐标形式可得2&(cosxcos。—sinxsind')=2(sin2x+

cos2%),整理后即可求得结果；

第14页，共18页

(2)求出。=?时/(%)=—|(sinx—cosx)2+(smx—cosx)+1,利用换元法设t=

sinx-cosx,转化成一元二次函数g(t)=-|/+c+|,即可求得结果.

本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量坐标运算性质，函数最值问题，属于中档题.

20.【答案】解：(1)4被击毁则甲、乙两人均要击中目标，故概率为=g

Z3o

(2)B被击毁的概率为|=:,

则4被击毁，8不被击毁的概率为1x(1-=2，

o515

B被击毁，A不被击毁的概率为；x(l-?=g

5oo

则恰有1个目标被击毁的概率为2+”

15o1U

【解析】(1)求出甲、乙两人均要击中目标的概率，即为4被击毁的概率；(2)求出4被击

毁，B不被击毁的概率，再求出B被击毁，A不被击毁的概率，相加后得到恰有1个目标

被击毁的概率.

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式

的灵活运用.

21.【答案】(E1)解:延长ID,BC相交于点E,

LDL-___\

V4ABe=乙DAB=^,AB=2,

.1.ZE2B是边长为2的正三角形，

£;4B的面积为在x22=V3，

4

在△ECD中，Z.CED=pCD=1,

由余弦定理得，CD2=CE2+DE2-2CE-DE-coszCDE,

即1=CE2+DE2-CEDE>2CE-DE-CE-DE=CE•DE,

则INCE•DE,当且仅当CE=DE=1时，等号成立)

ECD的面积S=-CE-DE-sinzCED<—.

24

・•.△ECD的面积的最大值为遗，

4

四边形ABCD面积的最小值为百-乎=乎.

(2)解：•••四边形力BCD存在外接圆，

・•・4DAB+乙DCB=7T,

vZ.ABC=Z.DAB,

Z.ABC+Z.DCB=71

:‘AB"CD,

四边形ABCD为等腰梯形.

连接4C,设N4BC=。，4BAC=x,O<x<0,

--------

、B

・••△4BC的外接圆半径为1,

4BBC

•••在中，由正弦定理得,

AABCsin(7i-x-0)sinx

••・AB=2sin(x+6),BC=2sinx.

同理可得，在△ACO中，由正弦定理可得，-^—=2,CD=2sin(e-x),

・•・p=AB•BC•CD•DA=16sin2x-sin(0+%)•sin(0—x)

=16sin2%­(sindcosx+cosdsinx)­(sindcosx—cosdsinx)

=16sm2x•(sin20cos2x—cos20sin2x)

=16sin2x•[sin20(l—sin2%)—cos20sinzx]

=16sin2x•(sin20—sin2%),

设sin?%=t,得p=16t(sin20—t),

v0<x<0<p0<t<sin20,

・•・p=