2021-2022学年湖南省永州市宁远县七年级（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年湖南省永州市宁远县七年级（下）期末数

学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.下列方程中，属于二元一次方程的是（）

2D.2+3=0

A.4%—y=5B.3a—b=2cx=3X

2.已知方程组二;，则x—y值是()

A.5B.-1C.0D.1

3.下列式子正确的是()

A.a3-a2=a5B.(a2)3=a5C.(aZ?)2=ab2D.a3+a2=a5

4.I，列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）

下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）

A.ax+bx+c=x(a+b)+c

B.x2—1=(x+l)(x—1)

C.x(a—b)=ax+bx

D.x2—1+y2=(x+l)(x—1)+y2

6.已知54-1能被20〜30之间的两个整数整除，则这两个整数是()

A.25,27B.26,28C.24,26D.22,24

7.如图，直线a,b被c所截，则41与42是（）

A.同位角

B.内错角

C.同旁内角

D.邻补角

8.两个全等的正六边形如图摆放，与A4BC面积不同的一个三角形是（）

E

D

A.^ABDB.AABEC.AABFD.△4BG

9.甲、乙、丙、丁四名学生4次数学测验成绩的平均数相同，方差分别是S、=36,

S：=24,S3=25.5,S2J.=6,则这四名学生的数学成绩最稳定的是（）

A.甲B.乙C.丙

10.如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D,C分

别落在。，C'的位置.若乙EFB=65°,则乙4E。'等于（

A.70°

B.65°

C.50°

D.25°

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.计算：（-〃尸.a6=.

12.若实数x,y满足方程组则（2%+/2。22=.

13.已知ab=2,a-b=-4,贝！］02力一ab?=.

14.因式分解：a，-4a=.

15.如图，为了把河中的水引到C处，可过点C作CD于。，------------

---------------

然后沿CD开渠，这样做可使所开的渠道最短，这种设计一B

的依据是.C

16.如图，直线AB,CD被BC所截，若AB〃CD,41=45°,A

Z2=35°,则43=.度.

D

17.若看,x2,X3的平均数为3，则5与+1,5打+2,5X3+3的平均数为

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18.两边都平行的两个角，其中一个角的度数是另一个角的3倍少20。，这两个角的度数

分别是.

三、解答题(本大题共8小题，共78.0分)

19.解方程组：

哪身个

⑵■管3

20.分解因式:

(1)-8ax2+16axy—8ay2；

(2)(x2+9y2)2-36x2y2.

21.已知(7+mx+71)(/-3x+2)中，不含二项和x项，求m,n的值.

22.完成下面的证明

如图，BE平分44BD,DE平分4BDC,且4a+N0=90。，求证：AB//CD.

完成推理过程

BE平分乙4BD(已知)，

乙ABD=2za().

•••OE平分4BDC(已知)，

乙BDC=2邛()

•••4ABD+Z.BDC=24a+24=2("+邛)

()

•••Na+/夕=90。(已知)，

:.乙ABD+Z.BDC=180°().

AB//CD().

23.如图所示，AABC的顶点分别为4(一3,5),B(-6,1),C(-l,3).

⑴作出AABC关于x轴对称的图形△4B1G；

(2)写出&、Bi、G的坐标；

(3)求△4BC的面积.

24.为有效防控新冠肺炎疫情，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，若购买2包

口罩和3包酒精湿巾共需19元，购买5包口罩和1包酒精湿巾共需28元.

(1)求每包口罩和每包酒精湿巾的单价；

(2)妈妈给了小明50元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾(且都要购买),请问小明

有哪几种购买方案？

25.某次学生夏令营活动，有小学生、初中生、高中生和大学生参加，共200人，各类

学生人数比例见扇形统计图.

(1)参加这次夏令营活动的初中生共有多少人？

(2)活动组织者号召参加这次夏令营活动的所有学生为贫困学生捐款.结果小学生

每人捐款5元，初中生每人捐款10元，高中生每人捐款15元，大学生每人捐款20元，

问平均每人捐款是多少元？

(3)在(2)的条件下，把每个学生的捐款数额(以元为单位)一一记录下来，则在这组

数据中，众数是多少？

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26.如图1,AB//CD,Z.PAB=130°,/.PCD=120°,求乙4PC的度数.

N

小明的思路是：过P作PE〃A8,通过平行线性质来求N/1PC.

(1)按小明的思路，求NAPC的度数；

(问题迁移)

(2)如图2,AB〃CD,点P在射线OM上运动，记NP4B=a,乙PCD=0,当点P在B、

。两点之间运动时，问44PC与a、口之间有何数量关系？请说明理由：

(问题应用)

(3)在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时(点P与点。、B、。三点不重合

),请直接写出N4PC与a、•之间的数量关系(并画出相应的图形).

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：4符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故此选项符合题意；

B.是三元一次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；

C.是一元二次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；

D方程左边不是整式，不是二元一次方程，故此选项不符合题意.

故选:A.

根据二元一次方程的定义逐一判断即可.

本题考查解二元一次方程的定义，解题关键是熟知二元一次方程的定义：含有两个未知

数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.

2.【答案】B

2%+y=7①

【解析】解：方法一:

%+2y=8②'

②x2-①得：

3y=9,

y=3,

把y=3代入②得：

%=2,

(x=2

则x-y=2—3=-1,

方法二：①一②得到：x-y=-l,

故选：B.

此题首先解方程组求解，然后代入x、y得出答案.

此题考查的是解二元一次方程组，关键是先解方程组，再代入求值.

3.【答案】A

【解析】解：力、a3-a2=a5,故4符合题意；

B、(a2)3=a6,故8不符合题意；

C、(ab)2=a2b2,故C不符合题意；

D、a3与a?不能合并，故。不符合题意；

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故选：A.

根据基的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数累的乘法法则，进行计算逐一判断即可

解答.

本题考查了哥的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数塞的乘法，熟练掌握它们的运算

法则是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：力、图形有1条对称轴，

8、图形不是轴对称图形，

C、图形有5条对称轴，

D、图形有3条对称轴，

所以，是轴对称图形且对称轴条数最多的是C选项图形.

故选：C.

根据轴对称图形的性质确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可.

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可

重合.

5.【答案】B

【解析】解：4等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分

解，故本选项不符合题意；

8从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

C.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

D等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项

不符合题意；

故选：B.

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分

解因式的定义进行判断即可.

本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一

个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式

的表现形式.

6.【答案】C

【解析】解：54-1=(52+1)(52-1)

•••54-1能被20至30之间的两个整数整除，

可得：52+1=26,52-1=24.

故选：C.

将54-1利用分解因式的知识进行分解，再结合题目54-1能被20至30之间的两个整数

整除即可得出答案.

本题考查因式分解的应用，难度不大但技巧性很强，同学们要注意掌握解答此题时所运

用的思想.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了同位角，内错角以及同旁内角.解答此类题确定三线八角是关键，可直接从

截线入手.对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正

确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义.

由内错角的定义(两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，

并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角)进行解答.

【解答】

解：两条直线a、b被直线c所截形成的角中，41与42都在a、b直线的之间，并且在直

线c的两旁，所以乙1与乙2是内错角.

故选：B.

8.【答案】B

【解析】解：由题意4B〃C。，AB//FG,

力B与CD之间的距离等于28与尸G之间的距离,

SA4BC=S&ABD=SA48F=SAABG>

■.­△4BE的面积工△4BC的面积，

故选B.

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由题意4B〃CZ),4B〃FG,且AB与CD之间的距离等于4B与FG之间的距离，推出S-BC=

SAABD=S&ABF=SAABG，由此即可判断•

本题考查正多边形与圆、平行线的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键

是掌握六边形的性质，灵活应用所学知识解决问题，属于中考基础题.

9.【答案】D

2

【解析】解：,•,S3=36,s；=24,Se=25.5,Sr=6,

•••s%<s；<s为<S%,

二这四名学生的数学成绩最稳定的是丁，

故选：D.

根据方差的意义求解即可.

本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的

离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

10.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键.

由平行可求得NDEF,又由折叠的性质可得NDEF=4D'EF,结合平角可求得乙4ED'.

【解答】

解：•••四边形4BCD为矩形，

AD//BC,

•••4DEF=乙EFB=65°,

又由折叠的性质可得乙D'EF=乙DEF=65°,

AAAED'=180°-65°-65°=50°,

故选：C.

11.【答案】a12

【解析】解：(-a3)2-a6=a6a6=a12.

故答案为：a12.

利用嘉的乘方的法则及同底数塞的乘法的法则对式子进行运算即可.

本题主要考查幕的乘方，同底数基的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运

用.

12.【答案】1

【解析】解：卜一二；誓，

〔x+y=2②

①+②得，X=T，

将％=-1代入①得，y=3,

2x+y=1,

•••(2x+y)2022=1,

故答案为：1.

用加减消元法二元一次方程组的解，再求代数式的值即可.

本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入法和消元法解二元一次方程组是解题的关

键.

13.【答案】-8

【解析】解：a2b—ab2

—ab(a—b),

当ab=2>a—b=—4时，

原式=2x(-4)=-8.

故答案为-8.

首先把己知多项式分解因式然后代值计算即可求解.

本题主要考查了因式分解的应用，提取公因式即可解决问题.

14.【答案】a(a+2)(a-2)

【解析】

【分析】

此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键.

首先提取公因式a,进而利用平方差公式分解因式得出即可.

【解答】

解：a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a—2).

故答案为：a(a+2)(a—2).

15.【答案】垂线段最短

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【解析】解：过。点引CD_L/1B于D,然后沿CD开渠，可使所开渠道最短，这种设计的

依据是垂线段最短.

故答案为：垂线段最短.

过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短.据

此作答.

本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，属于基础题.

16.【答案】80

【解析】解：过点E作EF〃4B,

•:AB“CD,=45。，

乙BEF==45°,

vEF//AB,AB//CD,

•••CD//EF,

•••乙DEF=z2>

v42=35°,

乙DEF=35°,

Z3=4BEF+乙DEF=80°,

故答案为：80.

本题考查了平行线的性质，解此题的关键是过点E作E/7/AB.

17.【答案】17

【解析】解：由(X1+乂2+%3)+3=3,%1+%2+x3=9>

所以(5x1+1+5%2+2+5%3+3)+3

=[5(%1+&+%3)+6]+3

=17.

故填17.

本题考查的是一组数据经过变化后得到一组新数据，其平均数有一定的规律，也可以直

接利用平均数的计算公式.

本题考查的是平均数的求法.灵活应用公式是解决本题的关键.

18.【答案】10°,10。或130。，50°

【解析】解：•.•两个角的两边都平行，

•••此两角互补或相等，

设其中一个角为X。，

...其中一个角的度数是另一个角的3倍少20。，

二若两角相等，则x=3x—20,解得：x=10,

•••若两角互补，W=3(180-x)-20,解得：x=130,

两个角的度数分别是10°,10。或130。，50°.

故答案为：10°,10。或130。,50°.

由两个角的两边都平行，可得此两角互补或相等，然后设其中一个角为%。，分别从两角

相等或互补去分析，由其中一个角的度数是另一个角的3倍少20。，列方程求解即可求得

答案.

此题考查了平行线的性质.此题难度不大，解题的关键是掌握若两个角的两边都平行，

则此两角互补或相等，注意方程思想的应用.

19.【答案】解：⑴卜+?六1°①，

U=2y②

把②代入①得：2y+3y=10,

解得：y=2,

把y=2代入②得：x=4,

则方程组的解为1：J5

+=8①

(6%—y=11②’

①x2-②得：5y=5,

解得：y=1，

①+②x2得：15%=30,

解得：%=2,

则方程组的解为［：;

【解析】(1)方程组利用代入消元法求出解即可：

(2)方程组利用加减消元法求出解即可.

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减

消元法.

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20.【答案】(1)解：原式=一8<1(/一2xy+y2)=-8a(x-y)2；

(2)解:原式=(x2+9y2)2_(6xy)2=(%2+9y2+6xy)(x2+9y2-6xy)=(x+

3y)2(x-3y)2.

【解析】(1)先提公因式，再利用完全平方公式分解即可；

(2)先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可.

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式,

必须先提公因式.

21.【答案】解：原式=%4—3x3+2x2+mx3—3mx2+2mx+nx2—3nx+2n

=x4—(3—m)x3+(2—3m+n)x2+(2m-3n)x+2n

由题意得，3—m=0,2m—3n=0,

解得=3,n=2.

【解析】根据多项式与多项式相乘的法则和合并同类项法则计算即可.

本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，

先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键.

22.【答案】角平分线的定义角平分线的定义等量代换等量代换同旁内角互补两直

线平行

【解析】证明：BE平分乙4BD(已知)，

•••^ABD=24a(角平分线的定义).

■:DE平分NBDC(已知)，

:.乙BDC=2“(角平分线的定义)

•••AABD+乙BDC=2za+2邛=2(za+4夕乂等量代换)

vNa+40=90。(已知)，

乙ABD+乙BDC=180。(等量代换).

力B〃CD(同旁内角互补两直线平行).

故答案为：角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两

直线平行.

首先根据角平分线的定义可得乙4BD=24a,乙BDC=2邛,根据等量代换可得乙4BD+

Z.BDC=2"+2乙B=2("+")，进而得到乙4BD+乙BDC=180°,然后再根据同旁

内角互补两直线平行可得答案.

此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法.

(2)由图象知&的坐标为(-3,-5),%的坐标为(一6,-1),G的坐标(-1,-3)；

(3)△ABC的面积=4x5-1x3x4-|x2x2-|x2x5=7.

【解析】(1)根据轴对称的定义作出三顶点关于x轴的对称点，顺次连接可得;

(2)根据所作图形可得公、&、G的坐标；

(3)利用割补法求解，用长方形的面积减去3个直角三角形的面积.

此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键.

24.【答案】解：(1)设每包口罩的单价为x元，每包酒精湿巾的单价为y元,

依题意得:第篇/

解蹴蛰

答：每包口罩的单价为5元，每包酒精湿巾的单价为3元.

(2)设小明购买口罩小包，酒精湿巾n包，

由题意得：5m+3n=50.

:.m=r10c--3n,

•••m、n为正整数，

••・小明有3种购买方案：

①购买口罩9包，酒精湿巾5包；②购买口罩6包，酒精湿巾10包；③购买口罩1包，酒

精湿巾15包.

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【解析】（1）设每包口罩的单价为X元，每包酒精湿巾的单价为y元，由题意：购买2包口

罩和3包酒精湿巾共需19元，购买5包口罩和1包酒精湿巾共需28元.列出二元一次方程

组，解方程组即可；

（2）设小明购买口罩小包，酒精湿巾ri包，由题意：小明50元钱全部用于购买此口罩和酒

精湿巾（且都要购买），列出二元一次方程，求出正整数解即可.

本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准

等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程.

25.【答案】解：（1）参加这次夏令营活动的初中生共有200x（l-10%-20%-30%）=

80人;

(2)小学生、高中生和大学生的人数为200x20%=40,200x30%=60,200x10%=

20,

40X5+80X10+60X15+20X20

所以平均每人捐款==11.5阮);

200

（3）因为初中生最多，所以众数为10（元）.

【解析】（1）参加这次夏令营活动的初中生所占比例是：1