不等式-【考前终极复习】高考剖析及2022年高考数学备考指南（原卷版）

“不等式”高考剖析及2022年备考指南

目录

一、试题分析..................................................................................2

1.整体分析...............................................................................2

2.内容分析..............................................................................2

3.题型、难度分析........................................................................2

4.文、理科命题分析......................................................................3

二、命题分析..................................................................................3

1.立足基本...............................................................................3

(1)与集合结合，考查基本能力........................................................3

(2)与三角函数结合，考查基本方法...................................................4

(3)与绝对值结合，考查转化与化归...................................................4

(4)与数列结合，考查基本理解........................................................5

(5)线性规划，常规问题常规解决......................................................5

(6)均值不等式，条件显威力..........................................................7

2,注重内容交汇，体现学科素养..............................................................7

(1)与幕函数、指数函数和对数函数交汇，比较中凸显不等关系..........................7

(2)与圆锥曲线相结合，巧妙运用均值不等式...........................................8

(3)与三角关系式相结合，巧妙运用均值不等式.........................................9

(4)与函数相结合，利用性质研究不等式...............................................9

(5)与导数、数列相结合，恒成立问题放光彩..........................................10

(6)求解范围，巧用不等式的放缩.....................................................11

(7)借助不等式，解决范围问题.......................................................11

三、复习备考建议............................................................................13

L夯实基础知识...........................................................................13

2.掌握通性、通法.......................................................................13

3.提升数学学科核心素养.................................................................13

“不等式”高考剖析及2022年备考指南

不等式是高中教学必修课程主题一预备知识的重要内容，也是解决其他数学问题的重要

工具，不等式命题整体体现了函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想.2021年全国

各地高考数学试卷中对不等式相关内容的考查，不仅集中在不等式的解法、均值不等式的应

用、线性规划等方面，更注重对不等式与其他知识的内在联系和综合考查.例如，不等式与

集合运算、常用逻辑用语、基本初等函数、向量、线性规划等内容的融合，考查学生的基本

数学学科核心素养；不等式与数列、函数与导数及其应用、圆锥曲线相结合，考查学生更高

层次的数学学科核心素养.对不等式的基本性质、基本运算和综合应用的考查，不仅体现了

不等式的基础性，还体现了不等式的工具性.

一、试题分析

L整体分析

2021年高考数学共有8套试卷，其中全国甲卷和全国乙卷分文、理科，因此共有10份

试卷,综观10份高考数学试卷，直接考查不等式考点的试题很少，且主要是线性规划问题,

多数试题的考查方式是把不等式和其他知识相融合.在研究2021年高考不等式相关试题的

考点和分值分布时，很难将考点和分值分离开来，这恰恰体现了不等式的基础性和工具性,

同时体现了不等式试题的命题方向具有多面性和综合性.

2.内容分析

综观2021年各份高考数学试卷，其中对不等式相关试题的考查方式有以下七种：

（1）与集合、常用逻辑用语的结合，解决简单的不等式问题；

（2）与三角函数，基本初等函数及其性质，函数与导数及其极值、最值相融合，利用不等

式的工具性解决问题；

（3）与幕函数、指数函数和对数函数运算相结合，考查比较大小的问题；

（4）均值不等式与圆锥曲线、三角公式的结合，研究最值相关问题；

（5）不等式的直接应用，解决简单的线性规划问题；

（6）不等式与绝对值相结合，构建绝对值不等式问题；

（7）与向量、数列相结合，体现不等式的应用性.

3题型、难度分析

不等式相关试题的考查题型比较全面，选择题、填空题和解答题均有涉及，试题难度差

异较大.线性规划问题，不等式与集合、常用逻辑用语、圆锥曲线定义相结合的简单问题难

度较小.例如，浙江卷第5题、全国甲卷文科第1题、全国乙卷文（理）科第3题、全国新

高考I卷第5题.均值不等式，不等式与函数结合问题，不等式与三角函数、曲线的切75•中

国数学教育•下半月（高中版）2021年第7—8期（总第243—244期）线，以及基函数、指

数函数和对数函数运算等结合考查不等式与相关知识的初步融合运用问题，难度适中,例如,

全国乙卷文科第8题、全国甲卷理科第16题、浙江卷第8题、全国新高考I卷第7题、全

国新高考II卷第7题.不等式与函数及其性质、数列、导数及其应用、圆锥曲线、绝对值不

等式相结合的问题，难度偏大，对学生的数学学科核心素养要求较高.例如，上海卷第16题、

第21题，全国乙卷文科第12题和理科第10题、第12题，全国新高考II卷第17题、第22

题，浙江卷第10题、第17题、第21题，全国新高考I卷第22题.其中，浙江卷对不等式

的考查尤为重视，在第5题，第8题，第10题，第17题，第20题，第21题，第22题中

均有对不等式及其思想方法的考查.

4.文、理科命题分析

随着课程改革的逐步推进，越来越多省份加入到新高考行列，文、理科的命题趋势逐渐

趋向于统一.2021年高考全国甲卷和全国乙卷仍延续了文、理分科的命题风格，从试题难度

和对思维能力的考查上看，理科试卷整体比文科试卷略高一筹.从与不等式及其思想方法的

运用有关试题的题量上看，全国乙卷文科卷要略多一些.这两套试卷对应的文、理科试卷中

有较多的相同试题，有的根据难度的不同，做了题号的调配.由此可见，全国甲卷和全国乙

卷的命题既照顾到了文、理科学生的差异，又为将来高考数学取消文、理分科做了铺垫.

二、命题分析

在2021年的10份高考数学试卷中，单独考查不等式的试题并不多，但是涉及不等式

知识、方法的试题却占有较大比重，凸显了不等式的工具性和应用性.不等式的解法、线性

规划问题主要在选择题和填空题的基础题中呈现，而与不等式深度融合的试题则更多被安排

在了选择题和填空题压轴题的位置上，甚至是解答题压轴题的位置上.延续了将不等式考查

内容嵌入更加综合、创新的问题情境中的命题风格.重点凸显了不等式的思想方法和工具作

用，利用不等式中的比较法、分析法、放缩法等，来达到考查学生数学学科核心素养的目的.

1.立足基本

(1)与集合结合，考查基本能力.

例1(2021•甲卷)设集合M={1,3,5,7,9),N={x|2x>7},则M0|N=()

A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9)

柘展题L设集合M={1,3,5,7,9),N={x|2'>7},则M0|N=()

A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9)

柘展题2.设集合M={X|X2+2X-15<0},N={x|x..l或％,—7},则M0|N=()

A.[1,3)B.(-5,3)C.(-5,1JD.[-7,3)

(2)与三角函数结合，考查基本方法.

例2(2021•甲卷)已知函数/(X)=2COS(OX+9)的部分图像如图所示，则满足条件

60一〃一7丁7T))30一/4(7才r))>°的最小正整数

为.

拓展题1.已知函数/(x)=2cos(5+(P)(①>0,|81<')

的部分图像如图所示.

(1)求〃的的解析式;

(2)xe[0,乃]时，解不等式

(3)与绝对值结合，考查转化与化归

例3(2021•乙卷)已知函数/(x)=|x-a|+|x+3|.

(1)当”=1时，求不等式f(x)..6的解集；

(2)若求”的取值范围.

例4.(2020•新课标I)已知函数/(x)^3x+l|-2|x-l|.

(1)画出y=f(x)的图象；

(2)求不等式f(x)>/(x+l)的解集.

拓展题1.已知函数f(x)=|x-3|+|x+2|.

(1)求不等式/(x)>7的解集；

(2)若方程f(x)=3-4”有实数解，求实数”的取值范围.

拓展题2已知函数/(x)=|x-/|+|x-2a+l|.

(1)当〃=2时，求不等式/(x)..4的解集；

(2)若/(x)..4,求a的取值范围.

(4)与数列结合，考查基本理解.

例5(全国新高考H卷口7)记S,,是公差不为0的等差数列｛q｝的前〃项和，若4=Ss，

02a4=S4-

(I)求数列仅“｝的通项公式勺；

(II)求使S„>a„成立的n的最小值.

拓展题1记5,是公差不为0的等差数列｛〃“｝的前〃项和，若生二导，a,a4=S5.

(1)求数列｛”“｝的通项公式％;

(2)求使S“>成立的〃的最小值.

柘展题2.已知｛《,｝是公差不为零的等差数列，5,是其前"项和，若y=9,且应是生与心

的等比中项.

(1)求｛〃“｝的通项公式；

(2)记=a“-log?a,,,neN+,证明：bn<bll+i.

(5)线性规划，常规问题常规解决.(新高考地区不做要求)

x+1..0

则z=x-gy的最小值是（

例6（2021•浙江）若实数x,y满足约束条件•x-y„0，

2x+3y-l„0

）

31

A.-2B.--C.--D.—

2210

x+y-4„0,

例7.已知实数x,y满足约束条件卜-2》+5,,0,则2=%-^的最大值为.

2x-y+7..0,

（6）均值不等式，条件显威力.

例8（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是（)

,4

A.y=x24-2x+4B.y=|sinx|+---C.y=2'+2-rD.y=lnx+—

|sinx|live

拓展题1.下列函数中，最小值为4的是（)

A.y=3+且j-

B.y=2&+2+-2

2Igx

4

C.y=sinx+------(0<xv乃)D.y=ex+4e~x

sinx

拓展题2.下列函数中，最小值为4的是（)

Igx12

A.y=ex+—B.y=-^—+——

3Igx

4

C.y=sinx+———(xe(0,4))D.y=y/X?+]H---r'

sinxyjx2+1

2.注重内容交汇，体现学科素养

(1)与幕函数、指数函数和对数函数交汇，比较中凸显不等关系.

例9(2021•乙卷)设a=2/〃L01,b=lni.02,。=而讶-1,则()

A・a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD・c<a<b

例10.设a=*2,b=l00',C=(1.O2)2.b=2.646,2ao.6931,则()

A,a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

拓展题1.（2021秋•丹东月考）已知函数/（x）=2为（l+x）-Jl+4x+l.

⑴求一（X）的单调区间;

(2)设”=2/4.01,b=ln\.02,C=N/L04-1,比较“，b,c的大小.

（2）与圆锥曲线相结合，巧妙运用均值不等式.

22

例11（2021•新高考I）已知尸1,6是椭圆C:]+3=l的两个焦点，点M在C上，则

的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

拓展题1.（2021•乙卷）设3是椭圆。?+丁=1的上顶点，点P在C上，则|P8|的最大

值为（）

A.-B.76C.>/5D.2

2

22

拓展题2.设B是椭圆。:=+马=1（。>6>0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足

a~h~

|PB|„2b,则C的离心率的取值范围是（）

A.目，1）B.[1,1）C.（0,--\D.（0,1]

22

拓展题3.（2021秋•凉山州期末）己知耳，工是椭圆C：3+（=l的两个焦点，点M在椭

圆C上，的最大值为（）

例12（2021•乙卷）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点f到准线的距离为2.

（1）求C的方程；

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点。满足尹0=9。7，求直线OQ斜率的最大值.

拓展题1.设抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为产，准线/与x轴相交于点Q,ii\QF\=2.

（1）求〃的值及抛物线的准线方程；

（2）若A,3两点在抛物线C上且位于x轴的两侧，OAOB=-（其中O为坐标原点），

4

求A4R9与ABFO面积之和的最小值.

（3）与三角关系式相结合，巧妙运用均值不等式.

例13（2021•浙江）已知a,P,y是互不相同的锐角,则在sinacos/7,siny3cos/,sin/cosa

三个值中，大于L的个数的最大值是（）

2

A.0B.1C.2D,3

拓展题1.已知a,0,y,5为锐角，在sinacos/?,sin/7cos/,sin/cos（5,sinKcosa

四个值中，大于，的个数的最大值记为，“，小于>!■的个数的最大值记为“，则机+”等于（

24

）

4.8B.7C.6D.5

（4）与函数相结合，利用性质研究不等式

例14（2021•乙卷）已知命题sinx<l；命题e叫.1,则下列命题中

为真命题的是（）

4.p/\qB・—p/\qC./?A—D.Tp7G

拓展题1.已知命题sinx>1>命题/V%£（0,l）,/nx<0,则下列命题中为真命

题的是（）

A.p/\qB.(-1^)AqC・p/\一4)D.pr(f)

柘展题2.(2019・大武口区校级一模)已知命题0：玉：€??,5山犬>1,命题4：也€(0,1),lnx<0,

则下列命题中为真命题的是()

A.p/\qB.pA(―>^r)C.pv(—1夕)D.(—.p)Aq

(5)与导数、数列相结合，恒成立问题放光彩.

例16(全国新高考I卷-22)已知函数/(x)=x(l-/nx).

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设。，6为两个不相等的正数，Kbhui-alnb=a—bi证明：2<1+!<e.

ab

拓展题1.已知函数/(x)=/nx-x.

(I)讨论函数/(x)的单调性；

(II)设a,6为两个不相等的正数，lna—lnb=a—b,证明：ab<\.

q

例17(浙江卷・20)已知数列｛4｝的前"项和为S"，4=-(,且4s“+1=3S,,-9(〃wN*).

(I)求数列｛《,｝的通项公式；

(II)设数列也｝满足他,+(〃-4)a“=O(〃eN*),记电｝的前N项和为7；,若7；,,也对任

意“eN*恒成立，

求实数2的取值范围.

拓展题1.已知正项数列｛”"｝满足4=9,4+1-a“=4(y+1).

(I)求证：数列｛风｝为等差数列;

1

<

(II)若数列的前"项和为S,,求证:-4

(6)求解范围，巧用不等式的放缩.

例18(浙江卷,10)已知数列｛氏｝满足q=1,4+1=——j=(neA^*).记数列｛4｝的前”项

1+A

和为S“，贝ij()

399

A.—<S<3B.3<S,<4C.4<S,<—D.—<S.<5

2iInC.Xn.)1UUmIvMmJ221m

拓展题I.已知数列｛4｝满足4=1，且向=芈=(〃”).

i+M

(I)求｛《,｝的通项公式；

(II)设么=Jl+3a“数列｛2｝的前”项和为S“，求证：Q,S,,-”<g.

(7