2022届福建省莆田市高三下学期第六次检测数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x<l},6={%—<1},则()

A.=B.=

C.=D.Ac3={x[O<xvl}

2.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()

I*/逞/输出tA储菊

4032201520162015

A.------B.------C.------D.------

2017201620171008

24

3.在AABC1中，角A8,C所对的边分别为已知C=《-,c=l.当变化时，若2=6+而存在最大值,

则正数％的取值范围为

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(1,3)

4.设a,be氏，是虚数单位，则“复数z=a+"i为纯虚数”是“必=0”的()

A.充要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件

5.正AABC的边长为2,将它沿8c边上的高AD翻折，使点3与点。间的距离为百，此时四面体A-BCD的外

接球表面积为()

A.-----B.4万C.D.7〃

33

6.在A4BC中，。为AC的中点，E为AB上靠近点8的三等分点，且BD,CE相交于点P,则丽=（）

2—1—1—1一

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

3224

1—1—2―■1—-

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

2333

7.数列｛斯｝,满足对任意的"GN+,均有an+an+l+a„+2为定值.若由=2,4=3,侬=4,则数列｛”“｝的前100项的和Sioo=（）

A.132B.299C.68D.99

8.已知将函数/（x）=sin（的+。）（0<ft><6,一£〈夕<3）的图象向右平移g个单位长度后得到函数g（x）的图

TT

象，若和g（x）的图象都关于x=—对称，则下述四个结论：

4

①0=3②8=（③/闺=孝④点倨,。）为函数/（x）的一个对称中心

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

9.等比数列｛%｝的各项均为正数，且/%+%%=18,贝iJlog'G+log3g+…+1。氏40=（）

A.12B.10C.8D.2+log35

10.设点A,B,C不共线，则“（而+恁）,瓦”是荏卜|恁卜（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

11.已知复数2满足：（l+i）（Z-l）=l-i,则Z的共扼复数为（）

A.l-2zB.1+ZC.-1+zD.1+2/

12.已知抛物线。：>2=40底°>0）的焦点为尸，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点,与）’轴的正半轴交于

点S,与准线/交于点T,且|E4|=2|AS|,则宣=（）

II

27

A.-B.2C.-D.3

52

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B为焦点，且过C,D两点的双曲线的离心率为.

14.已知实数二二满足（2二-二）；+4二；=上则2二+二的最大值为.

jr37r12

15.在平面直角坐标系M）‘中，点P（%,%）在单位圆。上，设40P=。，且若cos（a+—）=-一,

44413

则/的值为.

16.在四棱锥P—ABCD中，底面A3CD为正方形，以，面钻⑺"从二四二分2尸也分别是棱心/心/^的

中点，过瓦尸,”的平面交棱CO于点G,则四边形EFG”面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，

有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该

村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，

质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家

认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工

艺品质量为5级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）

若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为

质量不过关的概率为g,且各手工艺品质量是否过关相互独立.

（1）求一件手工艺品质量为8级的概率；

（2）若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为O级不能外销，

利润记为100元.

①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；

②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.

18.（12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测

一项质量指标值，该项质量指标值落在区间［20,40）内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样

本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.

图：设备改造前样本的频率分布直方图

表：设备改造后样本的频率分布表

质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

频数2184814162

（1）求图中实数。的值；

（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间［25,30）内的定为一等品，每件售价

240元；质量指标值落在区间［20,25）或［30,35）内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件

售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到

一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为X（单位：元），求X的分布列和数学期望.

19.（12分）已知函数/（x）=（2-x）e*+ox.

（I）已知x=2是/（x）的一个极值点，求曲线/（%）在（OJ（O））处的切线方程

（H）讨论关于X的方程/（%）=。111%（0€用根的个数.

20.（12分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名

男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参

加学校的挑战答题比赛.

（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；

（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望.

22

21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆。：「+2=1（。>0/>0）的短轴长为2,直线/与椭圆C相交

ab~

1兀

于A,3两点，线段AB的中点为当/与。连线的斜率为一二时，直线/的倾斜角为一

24

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若卜2,P是以为直径的圆上的任意一点，求证：|0尸|46

22.（10分）已知a+b+c=l,求证：

(2)-----------1-------------1-----------N-

3。+13/?+13c+12

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

求出集合8,计算出4nB和AU8,即可得出结论.

【详解】

;A={x|x<l},B={xp'<1}={X|X<0},.1Ac3={x|x<0},Au3={x|x<l}.

故选：C.

【点睛】

本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题.

2.D

【解析】

循环依次为s=1,/=1,i=2;s=3,f=1+,,i=3;s=6,f=1+1+,,i=4;…

336

一，I11

直至/=1-I------1-----------1F"=2016;结束循环，输出

1+21+2+31+2+---+2015

11

/=1+---------1---------------k・••H------------------------------=2(1--+---+---+)

1+21+2+31+2+---+201522320152016

1、2015注

=2(1-)=-----，选D.

20161008

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环

结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问

题，是求和还是求项.

3.C

【解析】

因为C=V，C=l，所以根据正弦定理可得号=4所以a=*sinA,b=^sinB,所以

3sinAsinBsinCJ343\J3

22227i22

z=h+Aa=—j=sinB+—j=sinA=—j=[sinB+Asin(---B)]=—=[(1---)sinB+

\/303，33\J32

cosB]=~^=^l(l-^)2+(^^)2sin(B+0),其中tan°=Jj,0<B<f

__TTTTTT

因为Z=b+；h7存在最大值，所以由8+。=—+2&7iMeZ,可得24冗+—V。v2R兀+—wZ,

262

所以tan0＞1，所以圾＞走，解得:＜之＜2,所以正数2的取值范围为（［，2）,故选C.

32-2322

4.D

【解析】

结合纯虚数的概念，可得"=0⑦工0,再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.

【详解】

若复数z=a+次为纯虚数，则a=0⑦片0,所以,出=0,若出?=(),不妨设。=11=0,此时复数z=a+〃=l,

不是纯虚数，所以“复数z=a+bi为纯虚数”是“a0=0”的充分不必要条件.

故选：D

【点睛】

本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.

5.D

【解析】

如图所示，设的中点为。2，ABCQ的外接圆的圆心为。-四面体A-BCD的外接球的球心为。，连接

OO,,OO2,OD,利用正弦定理可得=1,利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形。。2。。|为平行四边形,

最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.

【详解】

如图所示，设AO的中点为。2，MCO外接圆的圆心为。J,四面体A-BCD的外接球的球心为。，连接

OO1,OO2,OD,则OQ_L平面BCD,OO21AD.

2—31

因为CD=BD=1,BC=6,故cosNBDC=———=——,

2x1x12

因为ZBOCe(0,%),故4BDC=号.

由正弦定理可得2°。=-I三=2,故又因为A0=G，故。0,=虫.

sin—2

因为AD_LOB,A£>_LCD,OBcCO=。，故4)，平面BCD,所以OQJ/A。，

因为49,平面BCD,。。1匚平面BCD,故ADLOQ,故。仪〃。。，

所以四边形。QDQ为平行四边形，所以。@=。。2=乎,

所以。。=、跖=也，故外接球的半径为五，外接球的表面积为4万x2=7乃.

V4224

故选：D.

【点睛】

本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变

量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一

定的难度.

6.B

【解析】

^AP=xAB+yAC,贝ij/=x丽+2),而，AP=^-AE+yAC,

3r

由8,P,。三点共线，C,P,E三点共线，可知x+2y=l,—+y=l,解得MN即可得出结果.

2

【详解】

设4月=+yA。，则AP=xAB+2yA£),AP-AE+yAC,

因为8,P,。三点共线，C,P,E三点共线，

3x11

所以x+2y=l,—+y=l,所以x=_,y=_.

224

故选:B.

【点睛】

本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.

7.B

【解析】

由4+/+1+%+2为定值，可得4+3=4，则｛4｝是以3为周期的数列，求出4吗，4，即求Sg

【详解】

对任意的〃eN+,均有an+a向+an+2为定值，

(4，+i+q+2+4+3)一(4,+4M+4+2)=。,

故4+3=%，

..•｛4｝是以3为周期的数列，

故4=。7=2,%=。98=4,=〃9=3,

S|g(j=(4+出+/)+■,■+(佝7+%8+)+q(x)=33(q+ci-,+%)+q

=33(2+4+3)+2=299.

故选：B.

【点睛】

本题考查周期数列求和，属于中档题.

8.B

【解析】

首先根据三角函数的平移规则表示出g(x),再根据对称性求出力、4"即可求出f(x)的解析式，从而验证可得;

【详解】

解：由题意可得g(x)=sin[o(x-()+°,

71.71

—①+(P=k.TT--

JI42

又•・•/(%)和g(x)的图象都关于X=—对称，・•・(仁,右eZ),

4TC71

—co-—co-\-(p—T+y

冗

・••解得三口=(Z1-%2)=(勺乂2wZ),即0=3(匕-%2)(4&WZ)9又•••()<69<6,:•①=3,(p——9

4

”.巾用,...„s喂司考据)

=0,

...①③④正确，②错误.

故选：B

【点睛】

本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题

9.B

【解析】

由等比数列的性质求得,再由对数运算法则可得结论.

【详解】

•数列｛an｝是等比数列，,a3a8+%%=24%。=18,axaw=9,

5

log3ax+log3%+…+log34o=l°g3(%%•••«|0)=log3(«i«io)=510g39=10.

故选：B.

【点睛】

本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键.

10.C

【解析】

利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.

【详解】

由于点A,B,。不共线，贝！I

（AB+AC）±BC^（A6+AC）-BC=O<=>（AB+AC）-（AC-Afi）=AC2-Afi2=0=/2=病

同=国”;

故"（丽+恁）_1及”是“|词=|狎，，的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.

11.B

【解析】

转化（l+i）（z-l）=l-i,为z—l=g,利用复数的除法化简，即得解

【详解】

复数Z满足：（l+i）（z—l）=l-i

所以z_l="=匕2=T

1+z2

z=1+i

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

12.B

【解析】

过点A作准线的垂线，垂足为与）'轴交于点N,由|E4|=2|AS|和抛物线的定义可求得|TS|,利用抛物线的性

112,,

质而+时=/可构造方程求得忸耳，进而求得结果.

【详解】

过点A作准线的垂线，垂足为M,AM与>轴交于点N,

由抛物线解析式知：尸(p,0),准线方程为x=一〃.

由抛物线定义知：===.［S月=2p,

.-.|75|=|SF|=2p.

1121311,,

由抛物线性质g+而广丁=一得：丁+,=一，解得：族'=4〃，

\AF\\BF\2pp4〃\BF\p11

.囹▲

・同一五一.

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

根据A3为焦点，得c=2；又|4［一忸［=2。求得。，从而得到离心率.

【详解】

A8为焦点=>2c=4=>c=2

C在双曲线上，贝!||AC|—忸C=2a

又|AC|==5=2a=2=a=l

c-

：.e---2

a

本题正确结果：2

【点睛】

本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.

【解析】

直接利用柯西不等式得到答案.

【详解】

根据柯西不等式：（2二-二）;+4二；=八二-：二1故二二+二W0,

当2二一二=2二，即二=苧，二==时等号成立.

故答案为：、工

【点睛】

本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.

【解析】

19

根据三角函数定义表示出演）=cosa,由同角三角函数关系式结合cos（a+勺TT）=一一求得sin（a+7j1）,而

4134

（71

+

x0=cosa=cos，展开后即可由余弦差角公式求得修的值.

【详解】

点？（玉）,y0）在单位圆。上，设NxOP=a，

由三角函数定义可知cosa=M）,sina=%,

3乃、r,71（71\

因为a€（~7，—J50ot+—e—,n,

所以由同角三角函数关系式可得5皿(a+7)=小£干7^=，一=得,

“771

所以/=cos。=

4

(乃、7T.(乃、.乃

=cosa+—cos—+sina+—sin—

I4；4I4J4

12V25>/2-70

=---x----1---x---=-----

13213226

故答案为：zZ也.

26

【点睛】

本题考查了三角函数定义，同角三角函数关系式的应用，余弦差角公式的应用，属于中档题.

16.4G

【解析】

设G是CD中点，由于瓦£”分别是棱PB,BC,PD的中点，所以EF/IPC,EF=-PC,HG//PC,HG=-PC,

22

所以EF//HG,EF="G,所以四边形EFGH是平行四边形.由于PA_L平面ABCD，所以A4，30,而3。_LAC,

PAC\AC=A,所以30,平面PAC,所以由于EG//BD,所以BGLPC,也即EG_LEE,所以四

边形4FG"是矩形.

而EF=、PC=2区FG=、BD=2日

22

从而SEFGH=2Gx2V2=4^6.

故答案为：4^/6.

H

B

【点睛】

本小题主要考查空间平面图形面积的计算，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)(2)①可能是2件；②详见解析

O1

【解析】

(1)由一件手工艺品质量为3级的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；(2)①先求得一件手工

艺品质量为。级的概率为7石，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可7能是J件，可知J~8(10,()，分别令

隼卢芸＞1、噌"可求出使得=最大的整数人进而可求出io件手工艺品中

不能外销的手工艺品的最有可能件数；

②分别求出一件手工艺品质量为4、5、C、。级的概率，进而可列出X的分布列，求出期望即可.

【详解】

(1)一件手工艺品质量为8级的概率为C；xgx(l

I117

(2)①由题意可得一件手工艺品质量为O级的概率为C；x(-)2x(l--)+C^x(-)5=—,

设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是J件，则€~8(10,\),

7on

则PC=Q=Cfo(，)&f)g,其中2=0,1,2,L,10,

「A+i/7、女+|,20、9-女

PC;k+1）_苏苏_70-7%

尸（J=幻一©J（Z）“竺）。一人一20%+20

由储T和吾,整数攵不存在,

由《一勺>1得人当所以当ZWI时，PC=Z+1)〉P(J=6,即PC=2)>PC=I)>PC=O)，

由募号<1得心景所以当人2时，PC=k+l)<P(J=k),

所以当Z=2时，P(&=k)最大,即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.

②由题意可知，一件手工艺品质量为A级的概率为(1-。3=2,一件手工艺品质量为B级的概率为3,

一件手工艺品质量为C级的概率为C；xlx(l-l)2x[C^xlx(l-l)+(I)2]=胃,

33333o1

7

一件手工艺品质量为D级的概率为二，

27

所以X的分布列为：

X900600300100

816207

P

27818?27

o1(Lon7]a1no

则期望为E(X)=900x—+600X£+300X—+100X—=：-.

2781812727

【点睛】

本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算求解能力，属于中档

题.

18.(1)a=0.080(2)详见解析

【解析】

(1)由频率分布直方图中所有频率(小矩形面积)之和为1可计算出。值；

(2)由频数分布表知一等品、二等品、三等品的概率分别为‘，!，'.，选2件产品，支付的费用X的所有取值为240,

236

300,360,420,480,由相互独立事件的概率公式分别计算出概率，得概率分布列，由公式计算出期望.

【详解】

解：(1)据题意，得0.008x5+0.032x5+54+0.024x5+0.036x5+0.020x5=1

所以a=0.080

<2)据表1分析知，从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别为

236

随机变量X的所有取值为240,300,360,420,480.

P(X=240)=-xi=—

,76636

P（X=300）=C；x—x—

369

11115

P（X=360）=C；x—x—F—x—=一

263318

111

P（X=420）=C；x—X—=—

233

P（X=480）=1x|

4

随机变量X的分布列为

X240300360420480

125J_

P

3691834

所以E（X）=240XL300XL+360X9+420X』+480XL=400（元）

\）3691834

【点睛】

本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题时掌握性质：频率分布直方图

中所有频率和为1.本题考查学生的数据处理能力，属于中档题.

19.(I)(e2+l)x-^+2=0；(II)见解析

【解析】

(I)求函数的导数，利用x=2是/(x)的一个极值点，得f⑵=0建立方程求出a的值，结合导数的几何意义进行求

解即可；

(II)利用参数法分离法得到。=/7(N)=在二4£,构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形

x-lnx

结合转化为图象交点个数进行求解即可.

【详解】

(I)因为/(x)=(2-x)e*+公，贝ij/'(x)=(l-x)e*+a,

因为x=2是/(x)的一个极值点，所以r(2)=0,即(1一2”2+。=0,

所以a=e2,

因为/（O）=2,/'（O）=e2+l,

则直线方程为y-2=(e2+l)x,即(e2+l)x—y+2=0；

(II)因为/(x)=alnx,所以(x-2)e*+alnx—狈=0,

所以(x-2)e*=-a(lnx-x),设g(x)=lnx-x(x>。)，则g'(x)=，T(x>0)，

所以g(x)在(0,1)上是增函数，在(1,内)上是减函数，

故g(x)<g⑴=T<0,

9?11

设m(x)=xd---lnx-1,贝!Jm*(x)=1——方——=—(x-2)(x+l),

xfXX

所以机(X)在(0,2)上是减函数，(2,”)上是增函数，

所以〃z(x)>加(2)=2-】n2〉0,

所以当()<x<l时，A'(x)<0,函数/z(x)在(0,1)是减函数,

当x>l时，/?'(%)>0,函数〃(x)在(1,内)是增函数，

因为0<x<l时，〃(x)<0,〃(1)=一e,//(2)=(),

所以当a<-e时，方程无实数根，

当-e<a<0时，方程有两个不相等实数根，

当。=-6或“20时，方程有1个实根.

【点睛】

本题考查函数中由极值点求参，导数的几何意义，还考查了利用导数研究方程根的个数问题，属于难题.

20.(1)28种；(2)分布见解析，

【解析】

(1)分这名女教师分别来自党员学习组与非党员学习组，可得恰好有一名女教师的选派方法数;

(2)X的可能取值为0,1,2,3,再求出X的每个取值的概率，可得X的概率分布和数学期望.

【详解】

解：(1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为C：C；C；+C：C；C；=28种.

(2)X的可能取值为0,1,2,3.

P(X=0)=J

C氾10

C：C：C；+C：C；C；7

P(X=1)=

c氾15'

P(X=2)=11

C；c：30，

尸(X=3)=生^1

(

'C汨15,

故X的概率分布为:

X0123

17111

P

K)3015

所以E(x)=《

【点睛】

本题主要考查组合数与组合公式及离散型随机变量的期望和方差，相对不难，注意运算的准确性.

21.(1)y+/=l；(2)详见解析.

【解析】

(1)由短轴长可知b=1,设A(X］，v),B(x2,y2),由设而不求法作差即可求得纶1&=一4.立上殳，将相应值

百一/