2021-2022学年河南省南阳市六校高一下学期第二次联考数学试卷（含详解）

2022年春期六校第二次联考

高一年级数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.已知复数z=（i虚数单位），则（）

i

A.3-iB.4-2iC.3+iD.4+2i

2.已知四点0（。,。），8（0,2）,C（2,x）,若存在实数y使得西+y反=>砺+玄，则/二

（）

A.4B.-2C.2D.-4

3.已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c.若cosC=',

Q=4,b=3,则△ABC的

4

周长为（）

A.9B.10C.20D.24

4.向量B」在向量〃=（G,i）方向上的投影向量的坐标为（）

A.

一于

5/

5.已知函数/（x）=sin（4x+e）（G>0,lel<]J,其图像相邻两条对称轴之间的距离为?，且直线

jr

X=一-是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）

12

A.函数f（x）的最小正周期为万

717t

B.函数/（x）在区间一二,二上单调递增

L612J

C.点（-是函数f（x）图象的一个对称中心

D.将函数Ax）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移当个单

位长度，可得至Ug（x）=sin2x的图象

6.已知£=（1,一2）,S=（l,2）,且£与B的夹角。为锐角，则实数4的取值范围是（）

11D.(—°°,-2)uf-2,—

A.—,+ooB._?-C.—00,—

2'2[22

-,则3万

7.已知sinsinfla+的值是（)

3IL4

7R2拒7

A.D.------------

999

8.下列化筒结果正确的个数为（）

gtan240+tan360

①cos220sin52°-sin22°cos52。=—②----------------------百

21-tan24°tan36°

zy

③cosl5°-sinl5°=J④sin15°sin30°sin75°

24

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.在AABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、C,已知tanA=LCOSB=£^，若AABC最

210

长边为则最短边长为（）

A.叵B.73D.272

10.2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十

分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，

是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角

形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进

行这一过程.已知图①中正三角形的边长为6,则图③中两.丽的值为（）

①

A.24C.66D.6夜

11.如图，在正方形A8CD中，A5=2,E为3C的中点，点P是以AB为直径的圆弧上任一点.则

荏.而的最大值为（）

A.4B.5C.2A/5D-2+V5

12.设向量方与方的夹角为。，定义M与5的“向量积”：axh.可知MxB是一个向量，它的模为

——7T

\axb\=\a\\b\sinO.已知在ZkABC中，角A,5,。所对的边分别为a.b,c,A=—,

I丽xZ|=中(8〃一9/),则cos6=()

A.旦B..叵C一五D.”

141477

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.计算：OA+BC+DB-DA=•

14.已知函数/(x)=Asin(@r+。)14>0,&>0,|。|<、)的部分图象如图所示，则/

15.已知函数/(x)=«sin(s-?J(o>0),若/(*)在区间(肛2扪内没有零点，则。取值范围是

16.利用向量法求：4=6，14一%+8，％-10(104X414)的最大值为.

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

7—2

17.已知复数z=〃(beR),——是纯虚数，i是虚数单位.

1+z

(1)求复数z；

(2)若复数(加+z)2所表示点在第二象限，求实数用的取值范围.

18.如图，平行四边形ABC。中，^B=a,AD=b'”，知分别是A£＞，QC的中点，F为BC上一

点，且8f

3

(1)以万，区为基底表示向量威与前；

⑵若同=3,|q=4,万与日的夹角为12()。，求京.前.

,、「j八一八sin。(1+sin20)“~

19.(1)已知tan9=-2,求-----------的值；

sin0+cos0

(2)已知tan(a-〃)=g,tan尸=一;，且。，乃£(0,万)，求2a-。.

20.已知向量a=(cosx,-1),^=(V3sinx,l),函数f(x)=(a+石)

(1)求函数/(x)的单调增区间；

(2)若方程3"(X)F—/(X)+m=0在xe(0，W)上有解，求实数，”的取值范围.

21.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为mb,c,且满足仇acosB+Z?cosA)

=2cseosC+ccosB).

(i)求q的值；

b

(2)已知c=G，AABC面积为，3,求a的值.

2

22.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事

休，，.数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形

之间可以相互转化，相互渗透.而向量正是数与形“沟通的桥梁在AABC中，试解决以下问题：

A

(1)G是三角形的重心(三条中线的交点)，过点G作一条直线分别交AB,AC于点M,N.

(i)i(LAB=d,AC-b,请用a,B表示荷；

(ii)AM=mAB,AN=nAC)求+最小值.

—1—1—■

(2)已知点。是AABC的,且A0=—AB+—AC,求cosN&AC.

43

请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答.(注意：如果选择多个条件分别解答，则按第

一个解答计分)

①外心(三条垂直平分线的交点)：②垂心(三条高的交点).

2022年春期六校第二次联考

高一年级数学试题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.已知复数z=&为虚数单位)，则$=()

i

A.3-iB.4-2iC.3+iD.4+2i

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的乘除运算即可求解.

(l_i)(3i_l)_3i-l_3i2+i_2+4i

详解】解:=4-2i.

iii

则z=4+2i

故选：D.

2.已知四点0(0,0),4—1,1),6(0,2),C(2,x),若存实数y使得历［+y诙=+无，则苫=

()

A.4B.-2C.2D.T

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面向量的坐标表示及平面向量的线性运算，结合向量相等即可求解.

【详解】解：•.•点0(0,0),4—1/)，8(0,2),02,x),

：.O4=(-l,1),OB=(0,2),OC=(2,x),

OA+yOC=(2y-\,xy+Y),yOB+OC=(2,x+2y),

OA+yOC=yOB+OC,

'2y-1=23

，解得：y=Q,x=4.

xy+l=x+2y

故选：A.

3.已知ziABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若cosC=，，a=4,b=3,则△ABC

4

的周长为()

A.9B.10C.20D.24

【答案】C

【解析】

【分析】先由余弦定理求得c=8,再计算周长即可.

【详解】由余弦定理得：=/+〃-2q〃cosC=16+64—64x』=64,

则c=8,周长为

4

4+8+8=20.

故选：C.

4.向量B』I在向量。=(6,1)方向上的投影向量的坐标为(）

A.

/

【答案】B

【解析】

【分析】直接由投影向量的公式求解即可.

一一一B

【详解】坂在Z方向上投影向量的坐标为普•巴1.（6』）=

与丫+1~T3

故选：B.

5.已知函数/(x)=sin(ox+e)(6y>0,|e|<^|J,其图像相邻两条对称轴之间的距离为£,且直线

7T

尤=-一是其中一条对称轴，则下列结论正确的是()

12

A.函数/⑶的最小正周期为万

7171

B.函数f(x)在区间一三，工；上单调递增

L612J

C.点(一葛,())是函数fM图象的一个对称中心

D.将函数Ax)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移二个单位

长度，可得到g(x)=sin2x的图象

【答案】C

【解析】

TT

【分析】先求出/(x)=sin(4x--),对四个选项一一验证:

6

对于A：利用周期公式验证；

对于B：直接讨论单调性验证；

对于C：代入法验证；

对于D：利用图像变换验证.

【详解】V函数/(x)=sin(«x+。)(>0,［e,其图像相邻两条对称轴之间的距离为=-

I2)204

a)=4,即/(%)=sin(4x+.

•.•直线x=-三是其中一条对称轴，二4一3+9=上万+^］夕|<9,解得：9=一£.

12\12y6

冗

所以/(x)=sin(4x--).

6

TT

对于A：函数f(x)最小正周期为r=£,故A错误；

2

冗兀冗57rTC

对于B:当不£——-时，4x---G——,所以f(x)不单调，故B错误；

612666

对于C：当x=-32时，/(_1j)=sin(4xj-当］—£)=sin(-乃尸0,所以点(一坐是函数/5)图

2412I24)6124J

象的一个对称中心，故C正确；

对于D：将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin(2x-^)的图

6

TTTT

像，再向左平移三个单位长度，得到y=sin(2x+j),故D错误.

66

故选：C

【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助的性

质解题；

(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式.

6.已知2=(1,-2),S=(l,2),且£与坂的夹角。为锐角，则实数2的取值范围是()

，(；，+8)B.12m+oo)C.卜％；)D.(―,2,；)

【答案】D

【解析】

【分析】直接由2d〉o且£与坂不共线结合向量的坐标运算求解即可.

【详解】由7与B的夹角。为锐角知7B〉o且£与行不共线，即1一24>0且4/一2,即/<■!■且

2

A.w—2.

故选：D.

.7i\1,.3n\

7.己知sin|亍-aJ=§,!nDiJsin12a+-的值是（）

A72>/2「72V2

A.-DR.----c.un.-----

9999

【答案】A

【解析】

7737r71'■

【分析】本题可令一一a=t,则2。+二=――2/,sinf=—,然后根据诱导公式以及二倍角公式即可

71423

得出结果.

H37rTti

【详解】令勺一a=r,则2a+汇=2-2f,sin，=—

71423

故sin(2a+—|=sin--2r|=cos2r=1-2sin2/=—

I14)(2)9

故选：A.

8.下列化简结果正确的个数为（）

atan24°+tan36°rr

①cos220sin52°-sin22°cos520=——v3

1-tan24°tan360

/y]

(3)cos150-sinl5°=—④sin15°sin30-sin75°=-

24

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】直接由诱导公式及和差角的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式依次判断即可.

【详解】cos22°sin520-sin22;cos520=sin(52°-22°)=sin300=-,①正确;

2

tan24°+tan360小,rr否十为

----------------------=tan(24+36)=tan60=J3,②正确；

1-tan24°tan360

cos15'-sin15°=&(cos45'cos150-sin45sin15)=A/2COS(45+15)=，③正确;

sin150sin30°sin75=sin15°sin30sin(900-15)=sin15。cos15°sin30°=|sin300sin30=1,@

错误；正确的有3个.

故选：C.

9.在AABC中，角A、B、C的对边分别为“、b、c,已知tanA=」，cos8=M0,若AABC最

210

长边为则最短边长为（）

A.V2B.6C.75D.20

【答案】A

【解析】

【分析】

先结合角的范围利用同角三角函数基本关系求得角A8的正余弦，再利用三角形内角和为乃和诱导公式计

算角C的正余弦，判断c为最大边，）为最短边，利用正弦定理求出人即可.

।2।

【详解】由tanA=]>0知0<A<5,利用同角三角函数基本关系可求得cosA=，sinA=,

由cosB=>0知0<3<工，得sinB=-^>°,♦.•A+6+C=万，

102VI0

/.cosC=-cos(A+8)=-cosA-cos3+sinA•sin8=--xx=——?=<0,

火io6io72

sinC=—

2

即C为钝角，。为最大角，故c为最大边，有。=厢，

由sinA=-j=>sinB=-y=知。>匕，最短边为b,

,bVio

于是由正弦定理二一=-一，即1一正求得〃=0，

sinBsinC—7=、一

Vio2

故选：A.

【点睛】本题解题关键在于通过计算内角的正余弦值判断。为最大边，6为最短边，才能再利用已知条件

和正弦定理计算突破答案.

10.2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十

分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，

是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角

形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进

行这一过程.已知图①中正三角形的边长为6,则图③中两.两的值为()

【答案】A

【解析】

【分析】在图③中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得的坐

标，再由数量积的坐标表示计算.

【详解】在图③中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,

|OM|=4,OM=(2cosy,2siny)=(2,2>A).

|MP|=|,即而户=(1,0),

|两|=§,由分形知尸N//0M,所以两

所以丽=丽+丽+丽=(5,苛3)，

所以两•丽=2*5+2痒^^=24.

3

故选：A.

11.如图，在正方形ABC。中，AB=2,E为8C的中点，点P是以A8为直径的圆弧上任一点.则

通.而的最大值为()

A.4B.5C.275D.2+6

【答案】D

【解析】

【分析】

建立如图所示的X。'平面直角坐标系，将向量的数量积转化为向量的坐标运算，即

APAE=V5sin(6>+^)+2,即可得到答案；

【详解】则A(-1,O),

设尸(cos仇sin6)(0<0<7r),

「•丽=(cos6+l,sin。),通=(2,1),

AP-AE=2cos+2+sin=>/5sin(0+(p)+2，其中tan。=2,

•••（AE-AP）max=2+V5,

故选：D.

y

X

12.设向量M与5的夹角为6，定义M与B的“向量积''：axh.可知MxB是一个向量，它的模为

r一乃

\axh\^d\\h\sinO.己知在△ABC中，角A,3,C所对的边分别为a,b,c,A=—,

n

\BAxBC\=—（Sb2-9a2），贝Ucos3=（）

V7R币cbD2s

A.D.----lx.----U.----

141477

【答案】B

【解析】

【分析】根据新定义及三角的面积公式可化为W（8/-9/）=（历sinA，再由余弦定理转化为关于6,c

的方程，得出b=3c,再由余弦定理求出cosB即可.

【详解】因为|瓦版前|=也（助2-94）,

22

所以gacsinB-（8Z?一9/）,即S/XAHC=~-（Sb一9/）,

所以迫■（昉2-9a2）=，bcsinA,

12v'2

由余弦定理，a2^h2+c2-2Z?ccosA）即〃=尸一秘，代入上式得,

18〃-9（Z?2+c2-Ac）］=be,化简得b1—6bc+9c2=0>

即(i>—3c)-0,=3c,此时々+仁2—be=J7c.

片+。2—从_7+1_9__4J_

cos8

2ac~2不~14

故选：B

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.计算：OA+BC+DB-DA=

【答案】OC

【解析】

【分析】由平面向量的加减法及其运算律求解即可.

【详解】OA+BC+DB-DA^OA+AD+DB+BC=OD+DB+BC=OB+BC=OC

故答案为：0C.

14.已知函数/（x）=Asin（0x+。）14〉0,@〉0,|。|＜、）的部分图象如图所示，则/

【答案】1

【解析】

【分析】先结合图象求出f(x)的解析式，再代入计算即可.

31\TTT[37r24

【详解】由题意知：A=2,-T=-,则7=’=万，解得0=2,即

41264co

7T71

/(x)=2sin(2x+0),又/(—)=2sin(2x—+9)=2,

66

又|同<生，则e=二，即/(x)=2sin(2元+色)，则/(1]=2sin(2x?+g)=l.

266\3736

故答案为：1.

15.已知函数/(x)=«sin(5-?J(o＞0),若/(*)在区间(肛2扪内没有零点，则0的取值范围是

【答案】

【解析】

kjt<0)71------

71

【分析】先求出0X--整体的范围,由没有零点得J,%eZ解出”的范围，再结

3

2①兀一耳<(k+1)%

合人的取值，即可求解.

【详解】由%£(肛2泪可得3r—£<妙—£<2"—£,又/⑺在区间(匹2幻内没有零点，则

333

.71

K7T<371------

,3MwZ,

lam_y<(%+1)万

\k2

1k2Z：+3<2+342

解得k+—<°<一+一,%eZ,又｛；，解得又后eZ,所以％=—1或%=0,

323-+->0

123

112(

当左=一1时，0＜口＜:；当攵=0时，一＜。＜一；综上：0)取值范围是。,

633I

故答案为:(。加厝)

16.利用向量法求：y=6J14-x+8Jx-10(104x414)的最大值为

【答案】20

【解析】

【分析】利用平面向量数量积的坐标表示，设Z=(6,8))=(J14—x,Jx—1()),即可求解.

【详解】解：因为104x414,所以J14—x2(),Jx—H)4(),

设£=(6,8),B="14—x,V%-10),

。㈤Wa•目,

所以y=6J14—x+8A/%-10<A/62+82-7(V14-x)2+(V%-10)2=10,14—x+4-10=20所以

Wax=2。・

故答案为：20.

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

7—2

17.已知复数z=8iSeR),土」是纯虚数，i是虚数单位.

1+/

(1)求复数z；

(2)若复数(〃z+z)2所表示的点在第二象限，求实数机的取值范围.

【答案】(1)z=2i；(2)(0,2)

【解析】

【分析】(1)由z=/(6£R),化简二=—二为二一+——z.根据二是纯虚数，可得b,可得

1+z1+/221+z

z的值.

(2)化简(研z):根据复数所表示的点在第二象限，列出关于m的不等式组，解不等式组求得实数加

的取值范围.

z-2bi-2(bi-2)(IT)仅一2)+(Z?+2)ib—2b+2.

【详解】(1)^z=bi(Z?eR),A—^=—-----------==1-----1

1+z1+zfl+zUl-z)-------2----------22

7-2h-2

又・・・—是纯虚数，，幺上=0,

1+z2

:・b=2,即z=2i.

(2)Vz=27,/〃£R,/.(/z)2=(»2，)2=ni+4/ni+4i2=(/-4)+4/zz7,

ITT-4<0

又・・,复数所表示的点在第二象限，，\，

4m>0

解得0<"Y2,即勿G(0,2)时，复数所表示的点在第二象限.

【点睛】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，复数的几何意义，属于

基础题.

18.如图，平行四边形ABCZ)中，=&)=£，H,M分别是AD，。。的中点，F为BC上一

点，且8f=』BC.

3

//D

(i)以N，5为基底表示向量京与加

⑵若同=3,M=4,万与5的夹角为12()。，求威.苏.

一-171-11

【答案】(1)AM=b+-a,HF=a一一b；(2)一一

263

【解析】

【分析】(1)由题可得：BF=-BC,利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到;

3

(2)先求出a.B=3x4xcosl20o=-6,再由⑴得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积.

【详解】(I)•••平行四边形ABC。中，AB=a'AD=b'4，时是人。，。。的中点，

BF=-BC,

3

AHD

—fTf1TT1-*—1

AM=AD+DM=AD+-DC=AD+-AB=b+-a,

222

T—TT—l-1-1-1-

HF=AF-AH=AB+BF一一AD=a+-b一一b=a一一b

2326

(2)v|a|=3,|^|=4,日与R的夹角为120。,•，・=3x4xcosl20。=—6,

/.A力.凉=仿+,印门_攵]=匕2」户+117.B=j_x9_J_x]6+Ux(-6)=_U

I2A6J26122612V'3

【点睛】本题考查了向量的加法，减法法则，考查了向量数量积的运算，属于较易题.

I、sin8(1+sin2。)

19.(1)已知tan6=-2,求---------------的值;

sin0+cos0

(2)已知tan(a—/?)=；,tan〃=一;，且a,月£(0,万)，求2a-0.

23)

【答案】(1)—;(2)----

54

【解析】

【分析】(1)先借助平方关系、商数关系及倍角公式化为齐次分式，再切化弦代入tan。=-2即可求解;

(2)先借助正切的和角公式求出tana,再求出tan(2a-/?),结合角的范围即可求解.

【详解】(1)

0CSO3+^^UISSOO4-^UISQZSOO+^,UISQSOO+QUISQSOO+QUIS

仆008叩C+夕”0。+夕却^U?s_―%呼+iguis_―Uis+0^UTS

sin。sin20+cos20+2sinOcos0

tan。tan?6+l+2tan6-24+1—42

cos。cos28x---------=—

sin6+cos。sin2+cos20tan6+1tan28+1-2+14+15

cos。cos20

171

（2）由tanQ=—-可知£W（E，乃）,又

.c0、tan(a-/?)+tan/?2-亍

tana-tan(a-B+B)=--------------------一,ccG(0,一),

l-tan(a-4)tan01,+1x132

27

则。一分£（一乃,0）,又tan（a—月）=；,则《一尸,则

11

+

八/c、tan(a-7?)+tana7a

)；

tan(2a-/?)=tanv(a-/?+6Z7=-----——J----------=J4=1,

l-tan(cr-/?)tan^zj_lxl

23

3乃

又2a一1=1_/?+&€(一跖0),则2a_4=.

20.已知向量a=(cosx,-l),b=(V3sinx,l),函数_/(x)=(a+B>a-；

（1）求函数〃尤）的单调增区间;

（2）若方程3"（切2一/（1）+根=0在/6（）片上有解，求实数〃2的取值范围.

jrjr

【答案】(1)kjr,k7T+—,A：EZ；

36

31

⑵-2,不,

【解析】

TT

【分析】（1）先由向量数量积及倍角公式、辅助角公式得/（x）=sin（2x+u），再结合正弦函数的单调性

6

求解即可;

（2）先求出〃x）在xe0,5上的值域，令f=/（x）,将题设转化为加=-3/+t在上1有

2

解，结合二次函数的值域即可求解.

【小问1详解】

由题意知：Q+B=（COS%+J3sinx,0）,则

f(x)=(cosx+V3sinx)-cosx--=cos2x+5/3sinxcosx--

22

=1+cos2x+正sin2x_Lsin（2x+工）,令一g+«2x+J4g+2br,keZ,

2226262

rrjr冗冗

解得---\-k?r<x<——vkji.kGZ,即函数/（元）的单调增区间为ki，左"+—MEZ；

36L36_

【小问2详解】

,（371（717….小万、/I1

当xe0,彳时，2x4-—G—,则sm（2x+7）£一不」,

V1）6166）6I2J

令，=/（%），则（一Q』,则方程3产7+〃z=0在/£（一5」上有解，

即m——3r+/在，E1一//上有解，

令g（f）=_3/2+t=_3a_，）2+-5-,则g«）在（一、,1］单增，在单减，

612V26J<6

又g（一1）=—：，g（D二-2，即g（f）£-2,-^-,故相£-2,3•

24L12」|_12

21.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为mb,c,且满足伙acosB+hcosA）

=2cseosC+ccosB）.

（1）求3的值；

b

（2）已知c=6，AABC的面积为也，求。的值.

2

【答案】（I）!；

（2）1或囱

3

【解析】

【分析】⑴先由正弦定理结合和角公式得sin6sin（A+6）=2sinCsin（6+C）,再结合诱导公式得

sinB=2sinA,即可求解；

（2）由余弦定理得4a2cosc=5/-3,由面积公式得4〃sinC=2百，平方相加即可求解.

【小问1详解】

由正弦定理得：sinB(sinAcos5+sinBcosA)=2sinC(sin3cosC+sinCcosB),即

sinBsin(A+B)=2sinCsin(B+C),

又sin(A+B)=sin(»-C)=sinC,sin(B+C)=sin(乃一A)=sinA,则sinBsinC=2sinCsinA,

又sinC>0可得sinB=2sinA,即〃=2a,-=

b2

【小问2详解】

由余弦定理得c?=cr+h2-2ahcosC»即3="+(2aJ—2〃・(2〃)cosC,整理得4c/cosC=5a2—3

①，

又名谡。=；absinC=a2sinC=#,即4a?sinC=②，①②式平方相加得

16a4=(5a2-3)2+12,

整理得(9/-21)("-1)=0,解得。=等或。=1

22.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事

休数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形

之间可以相互转化，相互渗透.而向量正是数与形”沟通的桥梁在AABC中，试解决以下问题：

(1)G是三角形的重心(三条中线的交点)，过点G作一条直线分别交AB,AC于点

(i)记=,请用。/表示as；

(ii)AM=mAB,AN=nAC,求4根+〃的最小值.

(2)已知点。是△ABC的________，且=+J■沅，求cosNBAC.

43

请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答.（注意：如果选择多个条件分别解答，则按第

一个解答计分）

①外心（三条垂直平分线的交点）；②垂心（三条高的交点）.

___1_1_

【答案】（1）AG=-a+-b

33

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）（i）设A（X”X）,B（X2，%），C（X3，”），得到G（&+；+£,2+•；+'）,由向量的运算法则得

到可得AG=；（工2_%_y）+g（*3_X，/_yI），得到AG=；a+gB；

（»）由题意得到而=,丽乙恁=L福，求得AG=」—结合平面向量的共线定理求

mn3m3n

I!Iij,74-JH

得一+—=1,化简4m+〃=（4m+〃）•（——+—）=—（5+—+——）,利用基本不等式，即可求解；

3m3〃3m3〃3mn

（2）选①，取A民AC的中点分别为尸和。，化简得到。0=一_1£+_1坂，QO=La-Lb,结合得

4346