一元一次不等式组解题技巧

一一不式解技一重难提重点：理解一元一次不等式组的概念及解集的概念。难点：一元一次不等式组的解集含义的理解及一元一次不等式组的几个基本类型解集的确定。二、学习导：1、几个一元一次不式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。但这“几个一元一次不等式”2前面学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成，在解方程组时，两个方程不是独立存在的（代入法和加减法本是独立的，而且组成不等式组的不等式的个数可以是三个或多个。（课本上主要学习由两个一元一次不等式组成的不等式组）。3在不等式组中，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。（注意借助于数轴4一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）类型（设a>b）不等式组的解集）（同大型，同大取大）（同小型，同小取小）（一大一小型，小大之间）（比大的大，比小的小空集）无解

数轴表示三、一元次不等式组的解法例1.解不等式组

并将解集标在数轴上分析：解不等式的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分，在解的过程中各个不等式彼此之间无关“组”的角度去求“组”的解集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题。步骤：解：解不等(1)得x>（1）分别解等式组的每解不等式(2)x≤4

一个不等式∴（2求组的解集（借助数轴找公共部分）（利用数轴确定不等式组的解集）∴原不式组的解集为<x

≤

（）写出等式组解∴（）将解集在数轴上例2.不等式组解：解不等式(1)得x>-1,解不等式(2)得x

≤解不等式(3)得x<2,∴∵在轴上表示各个解为：∴原不式组解集为-1<x

≤注：助数找公共解，应选图阴影部分，解集应用小于号连接，小到大排，解集不括1而包1（2）来画。例3.不等式解：解不等(1)得x>-1,解不等式(2),

∵≤5,∴≤≤5,∴将(3)(4)在数轴上示出来如，∴原不式组解集为-1<x

≤

∴四一一不式的用。例4.不等式

的正整数解。步骤：解：解不等式3x-2>4x-5得：x<3,1、先求出不式组解不等式

≤1

得x

≤

的解集。∴2、在集中找出∴原不式组解集为x

≤

所要求的特殊解，正整数解。∴这个等式组的正整数解1、2。例5m为何整时，方程组

的解是非负数？分析：本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。先解方程组用m的代数表示x,再件列出不等组寻求m的取值围，最后切勿忘记确定m整数值。解：解方程组∵方程

得的解是非负，∴即解不等式组∴此不式组解集为≤m≤,又∵m

为整数，∴

或m=4。例6解不等式

<0.分：“这分可看成二个数“商此题转化求商为负的问题两个的商为负数这两个数异或(2)

因此，本题转化为解个不等式。解∵<0,∴

或(2)由(1)∴无解，由(2)

∴∴原不式的解为-<x<.例7

.

解不等式-3

≤3x-1<5.解（）:原等式相当于不等式组解不等式组

≤

，∴原不等式集为

≤解（）:将不等式的两边和中间都上1，-2将这个不等的两边和间都除以得，

≤3x<6,-

≤

∴原不式解集为-

≤例

x

取哪些整数，代数式

与代数式

的差不小于6小于8。分析：(1)不小于”即6,(2)

由题意转化不等式问解决，解：由题意可得6

≤-<8,将不等式转为不等式，∴∴解不式(1)得

≤解不等式(2)得,∴∴原不等式组解集<x

≤∴-<x≤6

的整数解为±3,±2,±0,4,∴当x取±3，±，±，0，4，5，6时个代数式不小于6而小8。例9.一个两数，它十位的数比个上的数小2如果这两位数大于20并且小于40求这个两数。分析：这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未关系：个位的数十位上数+2,一个等关系：原位数40。解法（1）:设位上的数为x,则个上的数为(x+2),原位数为10x+(x+2),由题意可得20<10x+(x+2)<40,解这个不等得，<x<3,∵x

为正整数，

<x<3

的整数为x=2或x=3，∴当x=2时，∴当x=3时，∴答：这个两数为24或35解法（2）:设位上的数为x,个位的数为y,则两位数为10x+y,由题意可得

（这是由一方程和一不等式构的整体，既不是方程组也不是不等将(1)代入(2)得，20<11x+2<40,解不等式得<x<3,∵x

为正整数，<x<3

的整数为x=2或x=3,∴当x=2时，y=4∴当x=3时，

∴答：这个两数为24或35解法（3:可过“心算直接求解方法如下：既然这个两位数大于20且小于40所以它十上的数只是2时，个位数5，以原两数分别为24或35。例10.解下列不等式：(1)||

≤

(2)<0;(3)(3x-6)(2x-1)>0.（1）析这个不等不是一一次不等式，因此，不用解一元次不等式方法来解但由绝对值的知识若|x|>a,(a>0)则x>a或x<-a.解||

≤

-4

≤≤4,∴由绝值的定义可转化为：即解不等式(1)，去分：3x-1

≥

解不等式(去分母3x-1

≤8,移项：

≥

移项：3x

≤8+1,合并同类项3x系数化为1，∴

≥

≥-,

合并同类项3x≤9,系数化为1∴x≤3,∴，∴原不式的解集

≤≤3.（2析不式的左边

是两个一次的比的形（也以后要讲的分式形式右是零它以理由除法的符法则可知只要被除与除式异号，商就为负值。因此这不等式的解问题，以转化为一元一次解∵<0,∴3x-6

与2x+1异号，即：I

或II解I的不等组得,不等式组解，解II的不等式组得,不等式的解集为-<x<2,∴原不式的解集为-<x<2.（3）析不等式的边是3x-6)(2x+1)两个一次式积的形式右边是零它可以理为“当x取何值，只要两个因同号，积为正值。此这个不等式的求解问题，也可以化为解一一次不等组的问题解∵(3x-6)(2x+1)>0,或II即I

∴(3x-6)

与(2x+1)同号，解I的不等组得,不等式组解集为x>2,解II的不等式组得,不等式组的集为x<-∴原不式的解集为x>2或x<-.说：ab>0(或>0)与或<0）这类不等式可以转化不等式组的形式，进行分类讨论。这类问（1）ab>0(或>0),

∴

、b同号，即I

或II,再分别不等式组III如例10的（3）题。（2）ab<0或<0）∵ab<0(

或<0),

∴

、b异号，即I

或II,再分别解不式组I和等式组II。例11.已知整数x满足等式3x-4

≤6x-2

和不等式-1<并且满足方3(x+a)=5a-2试求代数式分析：同时满足两个不等式的解的值实是将这两个不等式组成等式组，个不等式的解集中整数为x值。求出a，再将a代入数式5a

即可。解∵整x满3x-4

≤

和-1<∴x为解不等式(1)，得

≥-,

，解集的整数值，解不等式(2)得，x<1,∴

的解集为-

≤∴-≤x<1满足方程3(x+a)=5a-2,的整数x为x=0,又∵x=0∴将x=0代入3(x+a)=5a-2中

∴

∴a=1,当a=1时，5a

3

-=51

-=4,答：代数式5a

3

-

的值为4.。测选题1．解下列不等组,结果正确是（）不等式组不等式组不等式组不等式组

的解集是x>3的解集是-3<x<-2的解集是x<-1的解集是-4<x<22．不等式组

的解集是（）A、x>1Bx<3C、x<1或x>3D1<x<33．不等式组

的解集是（）A、x<1Bx>1C、x<2D无解4．如果不等式

有解，那么m取值围是：（）A、m>8Bm≥8C、m<8Dm≤85．使两个代数x-1与x-2的值的符相同的取范围是（）A、x>2Bx<1C、x<1x>2D、x>1或x<2答与析答：、D2D3、4、C5、C解：2.分：由（）得x<3由（2得∴1<x<3

答案：3.分：先解不等，看是否解，由（1）得x<1，（）得x>2，者无公部分，所选D。答案D5.因与x-2的值的符号同，所以或可求得x>2或x<1.所以选C.注比较简，应该全部确。一一不式它解考扫．了解一元次不等式概念．．会用不等的基本性解一元一不等式．名师精讲一元一次方：只含有个未知数并且未知数的次数是1，系数不于0的不式，叫一元一次不等式其标1．一元一次不式经过去母、去括、移项、合并同类项等变形后，能为ax>b或ax<b，中x是未知，2．一元一次不式的解法骤与解一一次方程类似，基本思想是化为最形式（ax>b或ax<ba

≠）后都乘以或除同一个负时，不等的方向必须改变．中考典例1．解不等式–(x–1)<1

，并把它的集在数轴表示出来考点：一元一次不等式的解法评析：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法相类似，只要注意不等式性质3的运用该题可先去母（不要乘后得出解集解题过程下：解：原不等式化为：

–22(x–1)<2x

–22x+2<2即：-＜∴x>2

．它在数轴上表示为：2．（河北省）一次“人自然”知竞赛中,竞试题共有道题,每题都出4答案,其中只有一答案分,不选或选倒扣2分．果一个学在本次竞赛中的得分不低于60分,那么他至少选对________________题考点：一元一次不等式的应用评析：可设选对x，那么错或不选共有（

–x

）道题。根题意，可列不等式4x

–2(25–≥60

，解说明：列不等式解的应用题，一般所求问题有至少、或最多、或不低于等词的要求，要正确理解这几个词的含义．3．商场出售的A型冰每台售价元每日耗电为1度，而B型节能冰箱台售价虽比A型冰箱出10%售（打一折的售价为价的

），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为年，每年365天，每度电0考点：一元一次不等式的应用评析列一元一次不等式解应用题首先要弄清题意，设出适当的未知数．消费者要型箱10年的花费用比B型少才+365×10××0.4010年的费用为（1+10%+365×10×0.55×0.40根题意得不式2190×

+365×0.40

解得x8，所以至少打折，解题过如下：解：设商场将A型冰箱打x出售，消者购买才算依题意，有2190+36510×1×0.4

≤

×(1+10%)+365×10×0.550.4即219ｘ＋1460≤解这个不等，得x

≤

＋803答：商场应A型冰箱至打八折出售消费者购才合算．真题专练1．不等式7

–2x>1

的正整数解

．2．若代数式+2x的值大于代数8

–

的值，那么x的正数解是

．3．恩格尔系数示家庭日饮食开支家庭经济总收入的比例，它反映了民家庭的际生活水，各种类型家家庭类型

贫困家庭

温饱家庭

小康家庭

发达国家家最思格尔系数75%以

50%—75%40%—49%20%—39%(n)则用含n的不式表示小家庭的恩尔系数为____________．4．（杭州市）的2倍减的差不大于1列出的等式是（）A、2x

–≤1

B、2x

–31

C、2x

–3

＜1D、2x

–3

＞15．（内江市）不等式≥6．（安徽省）不等式3x

–2(12x)≥

，并把解集数轴上表出来．7．（陕西省）某城市的种出租汽起价是元（即驶路程在5km以内都需10元车费），达到或超过1km计）．在某人这种出租汽车从甲地到地，支付费17．元，甲地到乙地的路大约是多少？答案：1、1，2；2、1，2，3（提示：根据意得不等

+2x

≤–

解不等式得x

≤

，∴正整数解1，，3）；3、40%

≤n≤A；解去分母8x

–4––15x–移项合并同项得–27x≥–54解得x≤26、解3x

–2+4x≥1

，7x

≥3

，x

≥

．所以

原不等式的解集为x≥

．在数轴上表示为：7、解设从甲到乙地的路大约是xkm，据题意，16<10+1.2(x

–5)≤解此不等式，得10<x

≤答：从甲地乙地的路大于10km，于或等于11km．一一不式和的法考扫．了解一元次不等式及其解集概念．．掌握一元次不等式的解法，用数轴确定一元一次不等式组的解．名师精讲1．一元一次不式组及其集：几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分．求不等式的解集的程，叫做不等式组．解一元一不等式组步骤：（1）分别求出不式组中各不等式的解集；（2）利用数轴求这些不等的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．中考典例1．不等式组考点：一元一次不等式组的解法．

的解集是____________．评析：分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，解不等式(1)得x<4，解等式(2)得x<5，公共分是x<4，为不2．若不等式组

的解集为–1<x<1,

那么（a+1）(b–

的值等于

．考点：不等式组解集的应用评析：此题类型是；已知不等式组的解集，求其中字母系数，进而求关于字母系数的代数式的值。这类问题解法是：先解不等数的值，进而代入所给代数式，求出代数式的值，具体解法如下：解：2ｘ－ａ＜x＜；由—

＞3得x＞因为方组有解，所，

＞3+2b方程组解＜1，∴∴ａ=1，ｂ-2．∴(a+1)(b-1)=-63．不等式组A、–

的最小整数解为（）B、0C、1D、4考：不等组的整数评析：解不等式(得

≤

，所以不等组的解集

＜x

≤4

，在此不等中最小整为0，所以B说明：解此类问题是先求出不等式组的解集，然后在解集中，求整数值．真题专练1．不等式组

的解集是，这个不等式组的最小整数解是．．不等式组．不等式组．不等式组

的解集是________．的解集是．的解集是．．不等式组．若不等式．不等式组

的解集是．有三个整数解则a取值围是的解集是（）

．A、x>1B、x<6C、1<<6D、x<1或x>68．不等式组

的解在数轴上可表示为（）9．不等式组

的解集（）A、x

≥1

B、x＜2C、1＜x＜2D、1

≤x

＜210．不式组

的整数解是（）A、–1

，0，1B、–

，1C、–1

，0D、0，111．不式组成

的整数解的个数是()A、1个B、2个C、3个D、4个．12．一一次不等组

的解集在数轴上表示正确的是（）13．不式组

的解集是（）A、–2<x<1

B、x<1C、x>

–2

D、无解14．不式组

的解集是（）A、–4<x<1

B、–4<x<–

C、–1<x<4

D1<x<415．不式组

的整数解的个数是（）A、1B、2C、3D、416．有集为2<x<3的不式组是（）A、B、C、D、17．解等式组18．解等式组19．求等式组

的整数解．20．解等式组21．解等式组

并写出不等式组的整数解．22．解等式组，

并把解集在数轴上表示出来．23．解等式组

并把解集在数轴上表示出来．24．解等式组25．解等式组

并在数轴上表示解集．26．求等式组

的整数解．答案：1、–4<–，–；2、–2≤

；3、1

≤x<2

；4、x<

–3

；5、–10<x26、0<a

≤1

（提示由已得x＞，

≤，则其解集a<x

≤3

，故a的范围为0<a

≤1

；7、C8、A9、D10、1112、13、14、15、17、解解不等式1)，得x<3解不等式(2)，得x+8＞–3x

16、x＞–2

．在数轴上表示不等式(1)，(2)的集．∴不等组的解集为-2＜ｘ＜318、解解10

––3)≥(x–1)

，得x

≤4

．解x

–

＞

，

得x＞

．∴不等组的解集为<x．19、解解3x+7<5(x+2)，得x＞解，得x＜2．∴不等组的解集为

＜x＜2在

＜x＜2中的整数–

、0、1∴不等组的整数解是：–、0、1．20、解解不等式得x<2．解不等式②x–1．所以不等式的解集是1x<2

．21、解解不等式2x+5

≤3(x+2),得x–1．解不等

得x<3∴原不式组的解集是–≤x

＜3．∴不等组的整数解是–．22、解由不等式x－4（x－5）＞8．得x＜4．由不等式．∴不等组的解集是这个不等式组的解集在数轴上表示如下：23、提：原不等变为

解得解集为–1x

＜9在数轴表示如图示24、提：解不等①得x＜，解不等②得x0，所以不等组解集为0≤＜

．25、提：解不等①得x＞，解不等式得x＜4，所以等式组的解为1＜＜4．在轴上表示如所示26、解由①得ｘ-，由得≤∴原不式组的解集为：-

＜ｘ≤∵ｘ为数，∴ｘ＝-1，0，1．即等式组的数解为-1，1．一次不等式组）中参取值范围解技巧已知一次不式（组）解集（特），求其中参数的取值范围，以及含方程与等式的混组中参变（参这类问题综性强，灵性大，蕴着不少的技能技巧。下面举例介绍用的五种巧方法。一、化简等式（组），比较列求解例1若不等式

的解集为，求k。解：化简不等式，得x

≤5k

，比较已知集

，得

，∴。例2（山东威海市中考题若不等式组

的解集是x>3则m的取值围是（）。A、m

≥

B、m=3C、m<3Dm

≤解化简不式组，得例3（重庆市中考题）若等式组

，比较已知解集x>3，得3≥m,∴选D。的解集是-1<x<1，么的等于_____。解：化简不等式组，得∵它的集是-1<x<1，∴

也为其解集比较得∴(a+1)(b-1)=-6.评：当一不等式（）化简后知数系数不含参数（字母数）时，比较已知解列不等式组）或列程组二、结合质、对照求解例4（江苏盐城市中考题已知关于x的不式(1-a)x>2的解集A、a>0Ba>1Ca<0Da<1

，则a取值围是（）。解对照已解集，结合等式性质3得1-a<0,即a>1，选B例5（湖北荆州市中考题若不等式组

的解集是x>a，则a的取值范是（）。A、a<3Ba=3Ca>3Da

≥解根确定等式组解集则：“大取较大”对照已知解集x>a,得a≥3,∴选D。三、利用质，分类求解例6已知不等式

的解集是，求的取值范围。解：由解集

得x-2<0,脱绝对值号，得。当a-1>0时，得解

与已知解集

矛盾；当a-1=0时，化为0·x>0解；当a-1<0时，得解∴

与解集

等价。例7．不等式组

有解，且每一个解x不在-1

≤x4

范围内，求a的值范。解：化简不等式组，得∵它有5a-6<3aÞa<3;用解集质意转化