2019-2021北京高二（上）期中数学汇编：空间向量的的应用

13/132019-2021北京高二（上）期中数学汇编空间向量的的应用一、单选题1．（2020·北京丰台·高二期中）已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（

）A． B． C． D．12．（2021·北京海淀·高二期中）过点且与向量垂直的向量（

）A．有且只有一个 B．有无数个且共面C．只有两个且方向相反 D．有无数个且共线3．（2021·北京海淀·高二期中）若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是A． B． C． D．二、填空题4．（2021·北京海淀·高二期中）平面的法向量为，若向量，则直线与平面的位置关系为________．三、解答题5．（2019·北京海淀·高二期中）如图，平面，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.6．（2020·北京丰台·高二期中）如图，在直三棱柱中，，，.是的中点，是的中点，点在线段上，且，是与的交点.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.7．（2020·北京丰台·高二期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，.（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角.8．（2021·北京通州·高二期中）在空间直角坐标系中，已知向量，，．(1)求向量在向量上的投影向量；(2)求平面的法向量；(3)求点到平面的距离．9．（2021·北京通州·高二期中）在棱长为2正方体中，，分别为和的中点，为上的动点，平面与棱交于点．(1)求证：点为中点；(2)求证：；(3)当为何值时，与平面所成角的正弦值最大，并求出最大值．10．（2021·北京通州·高二期中）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为和的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．11．（2021·北京海淀·高二期中）如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且．(1)分别求出与底面、棱所成的角的大小；(2)在棱上确定一点，使，并求出二面角的平面角的余弦值．12．（2021·北京海淀·高二期中）在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．（1）证明：AC⊥SB；（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；（3）求点B到平面CMN的距离．

参考答案1．B【解析】直接由点面距离的向量公式就可求出．【详解】∵，∴，又平面的一个法向量为，∴点A到平面的距离为故选：B2．B【解析】以向量为法向量，且过点的平面有且只有一个，设为平面，则平面中过点的向量都符合题意，从而得到结果．【详解】由题意可知，以向量为法向量，且过点的平面有且只有一个，设为平面，则平面内过点的向量都与向量垂直，这样的向量有无数个且共面，故选：B．3．D【解析】根据线面角的正弦值的计算公式，判断出正确选项.【详解】由于直线与平面的夹角为，其中，所以，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查线面角的正弦值的向量求法，属于基础题.4．平面或平面【解析】根据题意，分平面和平面两种情况讨论，分别得到直线与平面的位置关系即可．【详解】由题意，平面的法向量为，向量，若平面，则成立，若平面，则平面，∴直线与平面的位置关系为平面或平面，故答案为：平面或平面．5．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得.设，则.(Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面.(Ⅱ)依题意，，设为平面BDE的法向量，则，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直线与平面所成角的正弦值为.(Ⅲ)设为平面BDF的法向量，则，即.不妨令y=1，可得.由题意，有，解得.经检验，符合题意｡所以，线段的长为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.6．（1）证明见详解；（2）存在，在靠近点的处.【解析】（1）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求出，即证.（2）假设上存在点，令，利用线面角的向量求法可得，即可求解.【详解】如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，因为是的中点，所以，因为，所以，所以，，，设平面的一个法向量为，所以，即，令，则，所以，所以,所以平面.（2）假设上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，令，则,，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，，解得（舍去），，所以存在点，在靠近点的处.【点睛】方法点睛：利用向量证明线面垂直的常用方法如下：①证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直.②证明直线的方向向量与平面内某一条直线的方向向量平行.③证明直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示.7．（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由线面垂直的性质即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为、平面的一个法向量为，利用即可得解.【详解】（1）证明：因为侧棱底面，平面，所以；（2）由题意，底面是正方形，侧棱底面，则以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，,所以，，，设平面的一个法向量为，则，令则，设平面的一个法向量为，则，令则，则，又平面与平面的夹角为锐角，所以平面与平面的夹角为.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是建立空间直角坐标系，将二面角转化为平面法向量的夹角.8．(1)；(2)；(3).【解析】(1)求出的坐标，再根据投影向量的定义直接计算作答.(2)求出的坐标，设出平面的法向量坐标，借助数量积列式计算作答.(3)利用点到平面距离的向量求法直接列式计算即可作答.(1)因向量，，则，于是得，所以向量在向量上的投影向量.(2)因向量，，则，由(1)知，设平面的一个法向量，则，令，得，所以平面的法向量.(3)由(2)得点到平面的距离，所以点到平面的距离为.9．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)时，与平面所成角的正弦值最大，最大值为．【解析】（1）只要证明即可；（2）只要证明垂直于所在平面即可；（3）用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值，再用不等式求解最大值即可．(1)证明：因为平面与棱交于点，又因为、是平面与平面共公点，所以平面平面，因为是正方体，所以平面，所以，又因为，所以，因为为中点，所以点为中点．(2)证明：连接，交于，因为，，所以，所以，所以，又因为平面，平面，，因为，所以平面，因为平面，所以．(3)解：建系如图，设，，，，2，，，0，，，1，，，0，，，，，，，，，，，，，，令，3，，因为，，所以平面的法向量是，所以与平面所成角的正弦值为，当时等号成立．所以当时，与平面所成角的正弦值最大，最大值为．10．(1)证明见解析；(2).【解析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，通过证明与平面的法向量垂直，即可证明结论；（2）利用待定系数法求出平面的法向量，然后由向量的夹角公式求解即可．(1)证明：由题意四棱锥的底面为正方形，底面，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为，，分别为和的中点，则，0，，，1，，所以，又平面的一个法向量为，所以，故，又平面，故平面.(2)解：因为，2，，，0，，，1，，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，所以，故平面与平面的夹角的余弦值为．11．(1)与底面所成的角为45°，与所成角的大小为60°(2)为中点，【解析】（1）建立空间直角坐标系利用向量法即求；（2）先用两点间距离公式，列方程确定P点位置，再用向量数量积计算二面角余弦值．(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，因为是在平面内投影，所以为与底面的所成角，又因为，所以，所以与底面所成的角为45°．因为，，，所以，，所以与所成的余弦值为，所以与所成角的大小为60°．(2)∵，，设，则，因为，所以，，解得，于是，即为中点，又，，设平面的法向量为，，令，平面的法向量可取，因为二面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为．12．(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析.【解析】⑴取AC中点O，连结OS、OB∵平面平