河南省洛阳市新安县职业高级中学2021-2022学年高一数学理测试题含解析

河南省洛阳市新安县职业高级中学2021-2022学年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若变量x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】确定不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最大值【解答】解：已知不等式组表示的区域如图，由目标函数的几何意义得到，当直线z=2x+y经过图中B时，在y轴的截距最大，即z最大，又B（2，1），所以z是最大值为2×2+1=5；故选：C．2.在△ABC中，是它的三条边，若，则△ABC是直角三角形，然而，若，则△ABC是锐角三角形，若，则△ABC是（

）A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．由的值确定参考答案：A略3.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的75%分位数是（

）A.7 B.7.5 C.8 D.参考答案：C【分析】先计算分位数的位置，再求出这个数即可.【详解】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，因为，所以这10个人的分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.故选：C【点睛】本题主要考查分位数的概念和计算，属于基础题.4.定义在R上的函数f（x）对任意x1，x2（x1≠x2）都有，函数f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，如果实数m，n满足不等式f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，那么m2+n2的取值范围是（）A．（9，49） B．（13，49） C．（9，25） D．（3，7）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可知函数单调递增，将不等式转化成f（m2﹣6m+21）＜f（n2﹣8n）=f（﹣n2+8n），由函数的单调性整理得：（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，则表示m2+n2表示的是阴影部分的点到原点的距离．【解答】解：函数f（x﹣1）的图象关于点（1，0）中心对称，则函数y=f（x）关于原点对称，即f（x）为奇函数；，由f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0得f（m2﹣6m+21）＜f（n2﹣8n）=f（﹣n2+8n），又由在R上f（x）对任意x1，x2（x1≠x2）都有，∴函数y=f（x）是定义在R上的增函数，则m2﹣6m+21＜﹣n2+8n，∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，表示以以（3，4）为圆心，以2为半径的圆的内部，∴实数m，n满足不等式f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，即满足（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，作出图象，m2+n2表示圆内部的点到原点的距离的平方，则圆心到原点的距离d==5，∴（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内部的点到原点的距离范围（5﹣2，5+2），即（3，7），∴m2+n2的取值范围（9，49），故选A．5.与y=k有4个不同的交点，则k的范围（

）

A、（-4，0）

B、[0，4]

C、[0，4）

D、（0，4）参考答案：D6.函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：A【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图象即可求得结论．【解答】解；因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由图得：导函数值先负后正的点只有一个．故函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是1．故选：A．7.若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略8.某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次（

）A．简单随机抽样法，分层抽样法

B．系统抽样法，分层抽样法C．分层抽样法，简单随机抽样法

D．分层抽样法，系统抽样法参考答案：C9.方程的解为，方程的解为，则--------------（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：A10.函数的图象关于原点成中心对称，则等于（

）A. B.

C.

D.参考答案：D函数的图象关于原点成中心对称，所以，即，所以k∈Z.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设为定义在R上的奇函数，当时，则

。参考答案：略12.已知（x,y）在映射f下的象是(x-y,x+y)，则(3,5)在f下的原象是_____________.参考答案：略13.（5分）若函数f（x）=1+是奇函数，则m为

．参考答案：2考点： 函数奇偶性的判断．专题： 函数的性质及应用．分析： 由题意可得f（﹣1）=﹣f（1），即1+=﹣[1+]，化简可得2++=0，由此解得m的值．解答： 由于函数f（x）=1+是奇函数，故有f（﹣1）=﹣f（1），即1+=﹣[1+]，化简可得2++=0，解得m=2，故答案为2．点评： 本题主要考查函数的奇偶性的性质，属于中档题．14.已知幂函数的图象过，则＝_________.

参考答案：9略15.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（k，b是常数）．若该食品在0℃的保鲜时间设计192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是

小时．参考答案：24【考点】函数的值．【分析】利用待定系数法求出，由此能求出该食品在33℃的保鲜时间．【解答】解：∵某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（k，b是常数）．该食品在0℃的保鲜时间设计192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，∴，解得e22k=，∴e11k=，∴该食品在33℃的保鲜时间y=e33k+b=（e11k）3?eb=（）3?192=24．故答案为：24．16.已知则

．参考答案：17.（5分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，=且=a，=b，则=

．（结果用a，b表示）参考答案：考点： 平面向量的基本定理及其意义．专题： 平面向量及应用．分析： 由，=，，即可得出．解答： ∵，=，，∴=+==．故答案为：．点评： 本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）作AH⊥CF于H，则六边形的面积为f（θ）=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．（2）求导，分析函数的单调性，进而可得θ=时，f（θ）取最大值．【解答】（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…则六边形的面积为f（θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．

…（2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．

…令f′（θ）=0，因为θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…当θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，所以f（θ）在（0，）上单调递增；当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，所以f（θ）在（，）上单调递减，…所以当θ=时，f（θ）取最大值f（）=2（cos+1）sin=．

…答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…19.已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）又当x2＞x1＞0时，f（x2）＞f（x1）（1）求f（1），f（4），f（8）的值；（2）若有f（2x﹣5）≤3成立，求x的取值范围．参考答案：【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）由f（xy）=f（x）+f（y），通过赋值法即可求得f（1），f（4），f（8）的值；（2）由“x2＞x1＞0时，f（x2）＞f（x1）”可知f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，从而f（2x﹣5）≤3=f（8）可脱去函数“外衣”，求得x的取值范围．【解答】解：（1）由f（xy）=f（x）+f（y）得：f（1?1）=f（1）+f（1）?f（1）=0；…2分?f（4）=2；…2分?f（8）=3；…2分（2）由“x2＞x1＞0时，f（x2）＞f（x1）”得f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数；…2分∴?f（2x﹣5）≤f（8）??＜x≤…2分【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查函数单调性的性质及函数求值，（2）中判断函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数是关键，属于中档题．20.设的内角，，所对的边分别为，，，且，．（1）若，求角的度数．（2）求面积的最大值．参考答案：（1）30°．（2）3．（1）∵，，由正弦定理，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∴，当且仅当时，等号成立，，∴的面积的最大值为．21.已知{an}是等比数列，，，且成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设{bn}是等差数列，且,,求.参考答案：(1).(2).【分析】（1）根据成等差数列可得，化为关于的方程，解方程求得，从而可得，根据等比数列通项公式得到结果；（2）利用两个数列的关系得到和，根据等差数列通项公式求出基本量和，从而可得数列的首项和公差，利用等差数列求和公式得到结果.【详解】（1）设等比数列的公比为

成等差数列

，即，整理为：解得：（舍）或，解得：（2）由（1）可得：，设等差数列的公差为，则，解得：

由题意可知：是以为首项，为公差的等差数列【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、等差数列前项和的求解问题.解决此类问题的关键是能够求解出等差和等比数列的基本量，属于常规题型.22.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．参考答案：解析(1)∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.由∠BCD＝90°，得BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥