河南省洛阳市伊川县第二高级中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析

河南省洛阳市伊川县第二高级中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的零点所在的区间是A．

B．

C．

D．参考答案：C2.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A、3B、2

C、D、参考答案：B3.展开式中项的系数为A． B． C． D．参考答案：A4.函数，则下列结论正确的是（

）

A、函数在上为增函数

B、函数的最小正周期为4C、为奇函数

D、函数无最小值参考答案：D略5.是双曲线的右支上一点，点分别是圆和上的动点，则的最小值为

(

)A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C6.已知，奇函数的定义域为，在区间上单调递减且>0，则在区间上A．>0且||单调递减 B．>0且||单调递增C．<0且||单调递减

D．<0且||单调递增参考答案：D略7.下图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B易知该几何体的下部是一个棱长为1的正方体，体积为1，所以上部的体积为，再结合三视图中的B图知道，这是上部是一个四棱锥，其底面与下部的正方体上底面重合，其顶点在底面上的射影是正方体的内侧上边棱的中点，则此棱锥的体积为，符合题意，故应选B.

8.若直线与圆相交于A，B两点，且，则m=(

)A. B.－1 C. D.参考答案：A【分析】由得圆心到直线的距离求解即可【详解】圆C:,∵∴圆心C到直线的距离为1，则，解m=故选：A【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，距离公式，准确计算是关键，是基础题9.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2=10，S4=36，则过点P（n，an）和Q（n+2，an+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量的坐标可以是（）A．（﹣1，﹣1） B． C． D．参考答案：B【考点】直线的斜率．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由题意求出等差数列的通项公式，得到P，Q的坐标，写出向量的坐标，找到与向量共线的坐标即可．【解答】解：等差数列{an}中，设首项为a1，公差为d，由S2=10，S4=36，得，解得a1=3，d=4．∴an=a1+（n﹣1）d=3+4（n﹣1）=4n﹣1．则P（n，4n﹣1），Q（n+2，4n+7）．∴过点P和Q的直线的一个方向向量的坐标可以是（2，8）=﹣4（）．即为．故选B．【点评】本题考查了直线的斜率，考查了等差数列的通项公式，训练了向量的坐标表示，是中档题．10.下列结论正确的是（

）A．当

B．C．的最小值为2

D．当无最大值参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为

．参考答案：

12.若集合,,则=________.参考答案：13.已知，则=_________参考答案：14.从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从各组内的男生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从[60，70]这一组中抽取的人数为

．参考答案：6考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：由题意，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数．解答： 解：由图知，0.030×10=0.3∴身高在[60，70]内的学生人数为20×0.3=6．故答案为：6．点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查了识图的能力．15.设满足约束条件，则目标函数的最小值为___________.参考答案：略16.（2013?黄埔区一模）若复数z=（2﹣i）（a﹣i），（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为_________．参考答案：略17.函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴是直线，则φ=．参考答案：【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象和性质可得对称轴方程为2x+φ=+kπ，（k∈Z）求解即可．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）其对称轴方程为2x+φ=+kπ，（k∈Z）∵图象的一条对称轴是直线，∴φ=+kπ，即φ=kπ，（k∈Z）∵﹣π＜φ＜0，当k=﹣1时，可得φ=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知抛物线的焦点是F，准线是l.（1）写出焦点F的坐标和准线l的方程；（2）已知点，若过点F的直线交抛物线C于不同的两点A、B（均与P不重合），直线PA、PB分别交l于点M、N，求证：.参考答案：（1），准线的方程为；（2）见解析.【分析】（1）由抛物线的定义即可解题；（2）由（1）知：设直线的方程为：，与抛物线方程联立，由根与系数的关系得：．直线方程为：，，当时，，，同理得：，得到，所以，所以．【详解】解：（1）抛物线的焦点为，准线的方程为：；（2）设直线的方程为：，令，，联立直线的方程与抛物线的方程，消去得，由根与系数的关系得：.直线方程为：，，当时，，，同理得：.，,，，.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．19.已知函数.（Ⅰ）解关于x的不等式；（Ⅱ）若函数的最大值为M，设，且，求的最小值.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为2【分析】（Ⅰ）采用零点分段的方法解不等式；（Ⅱ）计算出的最大值，再利用基本不等式求解的最小值.【详解】（Ⅰ）由题意当时，，可得，即.当时，，可得，即.当时，，可得，即综上，不等式的解集为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数的最大值，且，即，当且仅当时“=”成立，可得，即，因此的最小值为2.【点睛】（1）解绝对值不等式，最常用的方法就是零点分段：考虑每个绝对值等于零时的值，再逐段分析；（2）注意利用，求解最值.20.在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2﹣4x+2=0的圆心．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2．当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．参考答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）确定x2+y2﹣4x+2=0的圆心C（2，0），设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，利用离心率为，即可求得椭圆E的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k2=，由l1与圆C：x2+y2﹣4x+2=0相切，可得，同理可得，从而k1，k2是方程的两个实根，进而，利用，即可求得点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2﹣4x+2=0得（x﹣2）2+y2=2，∴圆心C（2，0）设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，∵，∴a=4，∴b2=a2﹣c2=12∴椭圆E的方程为：（Ⅱ）设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1：y﹣y0=k1（x﹣x0）l2：y﹣y0=k2（x﹣x0），且k1k2=由l1与圆C：x2+y2﹣4x+2=0相切得∴同理可得从而k1，k2是方程的两个实根所以①，且∵，∴，∴x0=﹣2或由x0=﹣2得y0=±3；由得满足①故点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣3），或（）或（）21.已知函数在点处的切线与x轴平行。 （1）求实数a的值及的极值； （2）是否存在区间，使函数在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由； （3）如果对任意的，有，求实数k的取值范围。参考答案：（1）的极大值1，无极小值（2），（3）（1）∵在点（1，）处的切线与x轴平行∴∴a=1

∴，当时，，当时，∴在（0,1）上单调递增，在单调递减，故在x=1处取得极大值1，无极小值（2）∵时，，当时，，由（1）得在（0,1）上单调递增，∴由零点存在原理，在区间（0,1）存在唯一零点，函数的图象如图所示∵函数在区间上存在极值和零点∴∴存在符号条件的区间，实数t的取值范围为，（3）由（1）的结论知，在上单调递减，不妨设，则，函数在上单调递减,又，∴，在上恒成立，∴在上恒成立在上，∴22.已知函数：（1）讨论函数的单调性；（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围；（3）求证：．（且）参考答案：解：(1)

,当时，的单调增区间为，减区间为；........1分当时，的单调增区间为，减区间为；..........2分当时，不是单调函数.................................................