高考数学五年真题函数、导数及应用2

五年真题汇编：函数、导数及其应用

五年高考真题分类汇编：函数、导数及其应用

NIT

五年高考真题分类汇编：函数、导数及其应用

二、解答题

ax

310.(2015高考安徽，文21)已知函数/(x)=—r(。>0/>0)

(x+ry

(I)求/(x)的定义域，并讨论/(x)的单调性；

(H)若@=400,求/(x)在(0,+8)内的极值.

r

【解析】(I)由题意可知XW—尸所求的定义域为(-<-，—r)U(f+8).

〜、axax

j(x)=----r=—；--------r，

(x+r)~x~+2xr+r-

,.、a{x2+2xr4-r2)-ax(2x+2r)a{r-x)(x+r)

/r(x)=--------z--------7—：-------=-------------

(x+2xr4-r)~(x+r)

所以当x<—/或时，f\x)<0,当一一<xvr时，f\x)>0

因此，/(x)单调递减区间为(一8,一r),(r,+8)；/(x)的单调递增区间为(ry).

(II)由(I)的解答可知八/)=0/(x)在(0/)上单调递增，在+8)上单调递减.

因此x=/,是f(x)的极大值点，所以/(x)在(0,+8)内的极大值为/(r)=7=—=^=100,

(2r)-4r4

/(X)在(0,+8)内无极小值；

综上，/(x)在(0,+8)内极大值为100,无极小值.

Y2

311.(2015北京高考，文19)(本小题满分13分)设函数=m-左Inx,k>0.

(I)求/(x)的单调区间和极值；

(II)证明：若/(x)存在零点，则/(x)在区间上仅有一个零点.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运篁、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数

零点问题等基础失瞅，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.(D先对/(㈤求导，

令/(力=。解出x,将函数的定义域断开，列表，分析嬲的单调性，所以由表格知当时，函数

取得极小值，同8寸也是最小值；(ID利用第一问的表，知八为函数的最小值，如果函数有零点，只需

最小值少l?n240,从而解出六之。，下面再分情况分析函却有几个零点.

2

试题解析：(I)由/㈤=\ilnx,得

由/(x)=0解得x=J1.

/(x)与/(X)在区间(0,+8)上的情况如下:

X(0,正)森(我,+H)

•+

/(X)-

立1-lnk)

/(X)4

2

所以，/(x)的单调递减区间是(0,直)，单调递增区间是(次,+8)；

f(x)在x=&处取得极小值f(4k)=Ml；1%).

(II)由(1)知I,/(x)在区间(0,+8)上的最小值为/(«)="不也.

因为/(x)存在零点，所以口从而％2e.

当〃=e时，/(x)在区间(1,右)上单调递减，且./■(&)=(),

所以x=—是/(x)在区间(1,&］上的唯一零点.

当—时，小)在区间(。,加上单调递减，且/⑴十。，

所以/(x)在区间工人］上仅有一个零点.

综上可知，若/(X)存在零点，则/(X)在区间(1,五］上仅有一个零点.

312.(2015高考福建，文22)已知函数/(x)=lnx-“；)-.

(I)求函数/(x)的单调递增区间；

(H)证明：当x>l时，

(III)确定实数上的所有可能取值，使得存在%>1,当xe(l,x0)时，恒有/(x)>A(x-l).

【解析】(I)/7x)_--X+1-A+A+

*>X€(0,4-OO).

XX

，,、fx>01+J5

由/"x〉。得4,解得0<x<——.

''-x2+x+l>02

/.rz\

故/(x)的单调递增区间是0,匕组.

(II)令F(x)=/(x)—(x-1),xe(0,+<x>).

,,、1-x2

则有F'(x)=----.

x

当xe(l,2)时，F(x)<0,

所以F(x)在［I,8)上单调递减，

故当x〉l时，F(x)<F(l)=0,即当x>l时，

(Ill)由(II)知，当左=1时，不存在玉)>1满足题意.

当左>1时，对于x〉l,有则/(X)<左(万一1),从而不存在%>1满足题意.

当左<1时，令G(x)=/(x)-左(x-l),XG(0,+oo),

，/、1一厂+(1-左)X+1

则有G(x)=——x+1—左=----------------.

XX

由G'(x)=0得，一/+(l-%)x+l=0.

+4

解得％=------~-——<0,——>1.

当xe（l,%）时，G'（x）＞0,故G（x）在［I,/）内单调递增.

从而当xe(l/2)时，G(x)>G(l)=O,即/(x)〉&(x—l),

综上，左的取值范围是（一8,1）.

313.（2015高考广东，文21）（本小题满分14分）设a为实数，函数/（x）=-+卜一4一4（4—1）.

（1）若/（O）Wl,求a的取值范围;

（2）讨论/（x）的单调性;

4

（3）当。22时，讨论/'（X）+=在区间（0,+8）内的零点个数.

x

【解析】试题解析：⑴f（O）=a2+\a\-a2+a=\a\+a,因为/（O）W1,所以同+aWl,

当a£0时，0W1,显然成立；当。＞0,则有2aWl,所以a4上.所以0＜aW1.

22

综上所述，a的取值范围是［-8,；.

-(2a-l)x,x>a

(2)/(%)=

::一(2a+l)x+2a,x<a

对于〃］二%2一（2。一1卜，其对称轴为x==。一；＜。，开口向上,

所以/（x）在（凡+8）上单调递增；

I

对于〃]=x2—(2a+l)x+2a,其对称轴为x=--—=<7+—>«,开口向上,

所以/（x）在（-8,a）上单调递减.

综上所述，/（x）在（凡+8）上单调递增，在（-8,。）上单调递减.

（3）由（2）得/（X）在（凡+8）上单调递增，在（0,4）上单调递减，所以/（X）mg=/（〃）=［—/

x2-3x,x>2

⑴当〃=2时，/(x)=/(2)=-2,/(x)=

minx2-5x+4,x<2

44

令/(x)+—=0,即/(x)=一一(x>0).

XX

因为/(x)在(0,2)上单调递减，所以/(%)>/(2)=-2

44

而歹二一一在(0,2)上单调递增，歹〈"2)=-2,所以歹=/(%)与歹二一一在(0,2)无交点.

xx

当x?2时，/(x)=/-3x=—3，即X3-3/+4=0,所以一一2炉―一+4=(),所以

X

/s4

(X—2)2(X+1)=0,因为X22,所以X=2,即当a=2时，/•(》)+—有一个零点尤=2.

X

(ii)当。〉2时，f(x)min=/⑷=a-02,

当xe(0,a)时，/(0)=2«>4,f(a)^a-a2,而y=—±在xe(0,a)上单调递增，

X

4,4

当x=a时，y=——・下面比较/(a)=。一c厂与——的大小

aa

中、入2/4-(。'-〃-一町—(a―2)(/+Q+2)

因为a_Q_(――)=-----------=---------------<0

aaa

A

所以/m)=Q_〃2<__

y="xj

4

结合图象不难得当。>2时，y=/(工)与^=—有两个交点.

x

44

综上所述，当〃=2时，〃x)+—有一个零点x=2；当a>2时，/(x)+—有两个零点.

XX

314(2015高考湖北，文21)设函数/(X),g(x)的定义域均为R,且〃x)是奇函数，g(x)是偶函数,

/(x)+g(x)=e、，其中e为自然对数的底数.

(I)求)(x),g(x)的解析式，并证明:当x>0时,/(%)>0,g(x)>1；

(II)设aWO,b>\,证明：当x>0时，ag(x)+(l-a)</^<bg(x)+(l-6).

X

【解析】(I)由/(X),景浦的奇偶性及/(x)+g(x)=e•，①得：-/⑶+f(x)-e-.②

联立①©解得/(x)［e-门)，g(x)・l(e-+e-).

2.2

当%>0时，e>1,0<e--<1,故/&)>C.③

又由基本不等式，有g(x)・：(e+0")>&飞一・1,即式x)>L®

(II)由(I)得/'(x)-i(e--1)'-1(e«+4)-T(*-+e-)-fW,⑤

2e*2L/

g'(x),—(e,+«7)'-5(e'—j7)w5(e"-e)■f(x),⑥

幺e2e幺

当x>0时，>ag(x)+(1-a)等价于.;；*)>axg(x)7-a)x,⑦

殁<但(x)+(1-b］等价于f(x)<&rg(x)+Q-b)x.®

X

设函数Z>W-/M-cxg(j)-(1-c)x,由®®,有力⑴gg(x)-:gy)-cM(x)-(l-c)=(l-<(f(x)-l]-W(x).

当x>0时，(1)若c40,由③©,得〃8>0,故AQ)在[0,xc：，上为雌1数，从而岭)>网。)=0,即

/(x)>cxf(x)+(l-c)x,故⑦成立.⑵若c21,由③④，得.“口)<0,故岭)在[0收)上为癖1数，从而

A(x)<斌。)=0,gf]/(x)<cxg(x)+(1-c)r,故®成立综得ag(x)+(l-a)<<怩口)+(1-3).

x

x2

315.(2015高考山东，文20)设函数f(x)=(x+a)lnx,9(尤)=彳已知曲线在点(1,./"⑴)处

的切线与直线-平行.

(I)求。的值；

(II)是否存在自然数左，使得方程/(x)=g(x)在伏,左+1)内存在唯一的根？如果存在，求出％；如果不

存在，请说明理由；

(III)设函数加(x)=min{/(x),g(x)}(加〃{p,q}表示，中的较小值)，求m(x)的最大值.

【解析

(I)由题意知，曲线y=f(%)在点(1,/⑴)处的切线斜率为2,所以/⑴=2,

又/(x)=lnx+q+l,所以。=1.

x

(II)左=1时，方程/(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根.

X2

设h(x)=f(x)-g(x)=(x+l)lnx--,

当xw(0,1］时,h(x)<0.

44

又-2)=31112---=ln8--->1-1=0,

ye

所以存在为£(1,2),使〃(%)=0.

因为〃(x)=lnx+,+l+曲二所以当xe(1,2)时，//'(%)>1-->0,当xe(2,+g)时，h'(x)>Q,

xexe

所以当X€(l,+8)时，〃(X)单调递增.

所以左=1时，方程/(X)=g(X)在/,左+1)内存在唯一的根.

(IH)由(H)知，方程/(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根毛，且xe(0,/)时，〃x)<g(x),XG(X0,+°°)

(x+l)lnx,xe(O,xo]

时，/(x)>g(x)，所以侬x)=,x2.、

—,XG(X0,4-oo)

当XE(O,%o)时，若xw

若XE(l,x0),由m\x)=lnx+』+l>0,可知0<m(x)<加(%);故加(x)<m(xQ),

x

当XE(%,+8)时，由加'(x)='Q'),可得(/,2)时，m\x)>0,w(x)单调递增；xe(2,+8)时,

e

m\x)<0,m(x)单调递减；

4

可知m(x)<m(2)=v，且m(xQ)<m(2).

4

综上可得函数加(x)的最大值为f.

e

316.(2015高考四川，文21)已知函数/(尤)=-2/内+/—2仪+〃2,其中〃>0.

(1)设盛工)为/。)的导函数，讨论g(x)的单调性；

(II)证明:存在。£(0,1),使得/)20恒成立,且加)=0在区间(1,+8)内有唯一解.

【解析】(I)由已知，函数段)的定义域为(0，+8)

g(x)=f\x)=2(x-1-lnx-a)

…22(1)

所以g'(x)=2——=-------

xx

当xW(0,1)时,或%)<0,%)单调递减

当x£(l,+8)时，g\x)>0,g(x)单调递增

(II)由f\x)=2(x-1—Inx—Q)=0,解得Q=X—1—Inx

令0(%)=-2xlnx+x2—2x(x—1—Inx)+(x—1—Inx)1=(1+Inx)1—Ixlnx

则0(1)=1>O,0(e)=2(2-e)<0

于是存在x()W(l,e),使得孰xo)=O

令ao=x()—1—lnx()=u(xo)>其中“(x)=x—1—1)

由比(x)=l—知，函数"(x)在区间(1,+8)上单调递增

X

故0="(1)<。()="(xo)<〃(e)=e—2<]

即劭6(0，1)

当“=的时，有/(孙)=0,"0)=。。0)=0

再由(I)知,/'(X)在区间(1,+8)上单调递增

当XG(1,X。)时，广(x)vo,从而./(x)>/(xo)=O

当xG(xo，+8)时，/，(x)>0,从而")>加0)=。

又当xG(0,1]时，fix)=(x—a())2—Ixlnx>0

故xG(0,+8)时，/(x)20

综上所述，存在。昼(0,1),使得火x)10恒成立，且外)=0在区间(1,+8)内有唯一解.

317(2015天津高考，文20)(本小题满分14分)已知函数/(x)=4x--/？R,

(I)求/(x)的单调区间；

(H)设曲线y=/(x)与X轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实

数X,都有/(x)£g(x);

a1

(III)若方程/(x尸a(a为实数)有两个正实数根如X2,且王<》2,求证：工2曰<-1+43.

【解析】

(I)由/般)=4-4/,可得/(x)的单调递增区间是(—,1)，单调递减区间是(I,2);(II)

/

g(x)=/(x0)(x-x0),F(x)=/(x)-g(x)，证明尸(x)在(-明/)单调递增，在(X(),TY>。)单调递减，所

以对任意的实数x,尸(x)W尸(x0)=0，对于任意的正实数x,都有〃x)£g(x);(III)设方程g(x)=a的

根为《，可得刀2'=一看+4\由g(x)在(-oo,+8)单调递减，得g(》2)2/(》2)=4=812')，所以

X2<".设曲线y=/(x)在原点处的切线为y=〃(x),方程〃(x)=a的根为x：,可得，由

〃(x)=4x在在(一8,+8)单调递增，且人卜：)=°=/(*])，可得木：WX1,所以

I

,//CI

-须0-须二—~+4'.

试题解析：⑴由/(x)=4x-X’河得/般)=4-4/,当/'(x)〉0，即x<l时，函数/(x)单调递增;当

/'(x)<0，即x>l时，函数/(x)单调递减.所以函数/(x)的单调递增区间是(一8,1)，单调递减区间

是(1,+°°).

(II)设尸(玉),0)，则/=43,/'(%)=-12,曲线y=/(x)在点尸处的切线方程为

y=r(Xo)(x-Xo)，即g(x)=/'(xo)(x7o),令尸(x)=/(x)-g(x)即

F(x)=/(x)-/(x)(x-x0)则T(x)=/'(x)—/'(X。).

由于/般)=4-4/在(-oo,y)单调递减，故F(x)在(一8,+00)单调递减，又因为尸'(x0)=o,所以当

XG(-oo,X0)吐尸'(X)>0,所以当xe(x0,+oo)时，尸'(X)<O,所以尸(X)在(-8,%)单调递增，在

(%,+8)单调递减,所以对任意的实数灰尸("(尸@0)=0，对于任意的正实数x,都有/(x)£g(x).

(\_

(III)由(II)知g(x)=-12x-43，设方程g(x)=a的根为"，可得"=一"4+4,因为g(x)在

、112

(ro,+o0)单调递减，又由(H)知g(X2)2/(X2)=a=g卜2')，所以^.类似的，设曲线>=/(")在

原点处的切线为^=人(%)，可得/z(x)=4x，对任意的xe(-8,+oo),有/(x)—〃(x)=-/W0即

/(X)<//(%).设方程人(x)=a的根为x：,可得占'=(，因为〃(x)=4x在(-oo,+oo)单调递增，且

=tZ=/1(%,)<//(%,)，因此所以々一七〈w'-X；=_g+4§.

318.(2015高考新课标1,文21)(本小题满分12分)设函数/(x)=e2x-alnx.

(I)讨论/(x)的导函数/''(》)的零点的个数；

2

(II)证明：当〃>0时/(x)22Q+Qln—.

a

【解析】

试题解析：⑴/(X)的定义域为(0,+¥),,/Xx)=2e2，-q(x>0).

当。£0时，/女x）>0,/Xx）没有零点;

当a>0时，因为/x单调递增，-三单调递增，所以/心0在（0，+¥）单调递增.又/呢。）>0,当b满足

0<6<@且时，/胆）<0,故当a>0时，/Wx）存在唯一零点.

44

（II）由（I）,可设/酸）在（0,+¥）的唯一零点为方,当xi（0,X。）时，/代）<0;

当x逋卜o，+）时，./Xx）>0.

故/（x）在（0,X。）单调递减，在（x0,丹）单调递增，所以当x=x0时，/（x）取得最小值，最小值为

/(%).

由于2/%--=0,所以f(x)=-^―+2ax+aln—?2a

00aIn-.

xQ2x0aa

2

故当Q>0时，/(x)?2Qa\n-.

a

319.（2015浙江高考，文20）（本题满分15分）设函数/（x）x'+ax+b,(a,bER).

2

（1）当6=幺+1时，求函数/（x）在［-1,1］上的最小值g⑷的表达式;

4

（2）已知函数/（x）在［-1,1］上存在零点，Q<b-2a<\,求b的取值范围.

【解析】

（1）将函数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论确定函数在给定上的最小值，并用

分段函数的形式进行表示；（2）设定函数的零点，根据条件表示两个零点之间的不等关系，通过分类讨论，

分别确定参数b的取值情况，利用并集原理得到参数6的取值范围.

试题解析：（1）当b=?+l时，/（x）=（x+^）2+l,故其对称轴为x=—］.

当aW-2时，g(a)=f(y)-—+a+2.

4

当-2<aW2时，g⑷=/(一g=L

2

当〃>2时，g(a)=/(-I)=----a+2.

4

----Fa+2,Q<-2,

4

综上，g(fif)=<1,-2<a<2,

—~a+2,a>2

4

s+/=-a

(2)设为方程/"(x)=0的解，且-1W/W1,则《.

st=b

-2t1-2t

由于0Wb-2aWl,因此——<5<——

t+2t+2

-2t2t-2t2

当0V/W1时，

t+2/+2

2-2t21t-2t2r-

由于——<一•<()和一一<-----<9-4>/5,

3f+23£+2

所以二46.

3

t-2t2-It2

当—1K/WO时，

f+27+2

—2/2t—t2

由于一2W--<0和—3W一一<0,所以—3V6<0.

t+2t+2

综上可知，b的取值范围是［-3,9-4后］.

320.(2014•上海高考理科•T20)设常数a20,函数/(x)=1一

2'—u,

(1)若a=4,求函数y=/(x)的反函数歹=/T(X)；

(2)根据a的不同取值，讨论函数y=/(x)的奇偶性，并说明理由.

【解题指南】(1)根据反函数定义可得原函数的反函数，但要注意定义域。

(2)根据奇偶函数的定义分类讨论，可得.

【解析】

V+4

⑴•••a=4,.1/(x)=---=y

2—4

...2-r=5-vt5,X=log,4y+4,

y-iyT

4x+4

，调换x,y的位置可得y=f~'(x)=log2,(xe(-oo,-l)u(l,+<»))

x-1

(2)若/(x)为偶函数,则/G)=/(-x)对任意x均成立，

...,整理可得就2•'-2-v)=0,

2X-a2x-a

...2X-2r不恒为0,/.a=0,此时/'(x)=l,xe凡满足条件；

若/(x)为奇函数，贝旷(x)=-/(-x)对任意x均成立,

.•.受卫=-2士，整理可得/-1=0,二。=±1

T-aTx-a

>+1

,：a>0,.\a=1,止匕时f(x)=———,xH0,满足条件；

2—1

综上所述，a=0时，f(x)是偶函数；a=l时，f(x)是奇函数;

2、+a

321(2014•上海高考文科•T20)设常数a20,函数=

2X-a

(3)若a=4,求函数y=/(x)的反函数y=/T(x)；

(4)根据a的不同取值，讨论函数y=/(x)的奇偶性，并说明理由.

【解题指南】(1)根据反函数定义可得原函数的反函数，但要注意定义域。(2)根据奇偶函数的定义分类讨

论，可得.

【解析】

V+4

⑴•••a=4,.1/(x)=---=y

2—4

...2-r=5-vt5,X=log,4y+4,

y-iyT

4x+4

，调换x,y的位置可得y=f~'(x)=log2,(xe(-oo,-l)u(l,+<»))

x-1

(2)若/(x)为偶函数,则/G)=/(-x)对任意x均成立，

...,整理可得就2•'-2-v)=0,

2X-a2x-a

...2X-2r不恒为0,/.a=0,此时/'(x)=l,xe凡满足条件；

若/(x)为奇函数，贝旷(x)=-/(-x)对任意x均成立,

.•.受卫=-2士，整理可得/-1=0,二。=±1

T-aTx-a

>+1

,：a>0,.\a=1,止匕时f(x)=———,xH0,满足条件；

2—1

综上所述，a=0时，f(x)是偶函数；a=l时，f(x)是奇函数;

322.(2014•辽宁高考理科•T21)(本小题满分12分)

Q2Y

已知函数f(x)=(cosx-x)(7T+2x)——(sinx+1),g(x)=3(x-x)cosx-4(1+sinx)ln(3---).

3兀

JT

证明：(I)存在唯一x°e(0,5),使/(%)=0；

(II)存在唯一X|e(1,不)，使g(X|)=0,且对(1)中的%,有x0+x［〈万.

jr2

【解析】证明：(I)当XE(0,5)时，f(x)=-(l+sinx)(^+2x)-2x——cosx<0

函数/(x)在(0,9上为减函数，/(0)=4-|>0,/(5]=一%2_”<0,所以存在唯一xe(0,四)，

32

使/(豌))=°；

一,,/、3(x-万)cosx(2、「)

(II)考察函数〃(x)=一——/-------4In13---xLXG—.71

令I—7C—X,则X£—,TC时，tG0,—

_2J2

3tcost(2t\3/t)

记〃=〃(万一%)=-41n1+—.则/«)=

l+sin/(4+2/)(l+sinf)

由当时，当/£玉),]")时，

(I)f£(0,〃(r)>0；〃'(/)<0；

可见在(0,/)上，〃⑴为增函数，而“(0)=0,因此当fe(0,x0)时，〃(/)>0,所以〃⑴在(0,x°)上无

=-41n2<0,则存在唯一的4wx。,微卜更得

零点.在上，"(/)为减函数，而〃(/)>0,

“&)=0.所以存在唯一的/"0,'使得“,)=0.因此存在唯一的玉=4-彳e1

使得力(玉)=6(乃一=〃(4)=0.

当时，14-sinx>0,则g(x)=(l+sinx)〃(x)与〃(x)有相同的零点，所以存在惟一•的

使g(xJ=0.因为$=万一4，所以/+再<〃

323.(2014•湖北高考文科•T13)(本小题满分14分)以为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数.

⑴求函数f(x)=U?的单调区间.

X

⑵求屋3女",五",3",小这6个数中的最大数与最小数.

【解题指南】(1)先求函数定义域，然后在定义域内解不等式即可得到单调增、减区间.

xx

⑵由e<3<n，得eln3<eln五,nlne<nln3,即1113c<ln1r［加"<］口3".再根据函数y=lnx,y=e,y=n在定义域上单调

递增，可得3e<兀e<n3,e3〈e23",从而六个数的最大数在兀3与3”之中，最小数在3e与e3之中.由e<3<n及⑴

的结论，得f(K)<耳3)<出e),即生生<吧<小,由此进而得到结论.

乃3e

【解析】⑴函数f(x)的定义域为(0,+8).

因为f(x尸—,

X

所以f(x尸上坐.

x-

当f(x)>0,即0<x<e时，函数f(x)单调递增.

当f(x)<0,即x>e时，函数Rx)单调递减.

故函数f(x)的单调递增区间为。e),单调递减区间为(e,+8).

(2)因为e<3<r，所以eln3<elnn，hlne<nln3,

即ln3ynne,lne'<ln3

xCc33

于是根据函数y=lnx,y=e,y=兀乂在定义域上单调递增，可得3<冗<n,e<e^<3\

故这6个数的最大数在n3与3'之中，最小数在与e3之中.

由e<3<n及⑴的结论，得f(n)<f(3)<f(e),

ln〃In3Ine

BP---<一<一.

713e

,ln>TIn3

由----<—，得ln/〈in3",

713

所以3">/；

由程<竽得1必启,

所以30<e3.

综上,6个数中的最大数是3",最小数是3e.

324.(2014•湖北高考理科•T22)〃为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数.

求函数/'(x)=^的单调间;

(1)

X

(2)求e3,3°,e",R',3',13这6个数中的最大数与最小数;

(3)将/,3，,/,汇',3",13这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

【解题指南］(I)先求函数定义域，然后在定义域内解不等式/(x)>0,/(x)<0即可得到单调

增、减区间：

(II)由e<3Vn,得eln3<elnn,nlne<nln3,即ln3e<Inne,lnen<ln3n.再根据函数

x

y=lnx,y=e,y=nx在定义域上单调递增，可得3e<n兀3,e3<en<3n)从而六个数的最

大数在"3与3"之中，最小数在3e与e3之中.由e<3<"及(I)的结论，得f(n)Vf(3)

八,、ln-TIn3Ine

<f(e),即Hn——<—<—

兀3e

,由此进而得到结论；

(III)由(II)可知，3e<ne<n3<3n,3e<e3,又由(H)知，—<—,得炉<e",故

Re

11

只需比较e3与Jte和建与JT3的大小.由(I)可得0<*<6时，勇<上，令》=二2，有1!1巳2<名，

xe兀兀兀

从而2—ln〃<£,即得出乃>2-二....①，由①还可得In“e>ine3,31nn>JT,由此易得结

TV兀

论；

【解析】(1)函数的定义域为(0,+8),因为/(x)=曲二，所以/''依)=匕学。

XX

当/'(x)>0,即0<x<e时，函数/(x)单调递增；

当/(x)<0,即x>e时，函数“X)单调递减；

故函数/(x)的单调增区间为(0,e),单调减区间为(e,+8)。

(2)因为e<3<乃，所以eln3<〃ln3,即ln30<In尸\lne"<ln3"。

于是根据函数y=Inxj=e'j=乃'在定义域上单调递增，可得

3°<不，<,/<e"<3"。

故这6个数的最大数在万3与3"之中，最小数在3"与e3之中

由6<3<乃及(1)的结论，得_f(兀)</(3)</(e)>即----<----<—o

兀3e

由叱<小，得ln43<in3",所以3">"；

713

由电3<岭，得In3'<lne3,所以3'<e3。

3e

综上，6个数中的最大数3"是，最小数是3"

(3)由(2)知，3e<%e<)3<3J3e<e3又由(2)知以卫〈则，得^</。

7ie

故只需比较e3与k1和乃3的大小。

由(1)知，当0<x<e时，/(x)</(e)=［即也£<!。

exe

在上式中，令x=—，又—<e贝!jIn—<一,从而2—1口乃<一

兀兀兀兀兀

即得In万>2—9o①

兀

e272

由①得，eln万〉e(2--)>2.7x(2--)>2.7x(2-0.88)=3.024>3，

冗3.1

即eln万>3,亦即ln4">ln/,所以/<乃”。

又由①得，3ln/r>6-—>6-e>7T,即31n万>不，所以乃

兀

综上可得，3°<乃3<3",

即6个数从小到大的顺序为3°,/，炉，凡兀:3兀。

325.(2014•湖南高考文科•T21)(本小题满分13分)

已知函数/(x)=xcosx-sinx+l(x>0).

(1)求/(X)的单调区间；

(2)记王为/(X)的从小到大的第迫eN*)个零点，证明：对一切〃€"*,有'+」+・一+」<2

$x2xn3

【解题提示】(1)利用导数的符号判断单调性，(2)利用放缩法证明。

【解析】(1)/(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx

令f(x)=0得x=k7T(kwN")

当xc(2ATT,(2左+1)万)(左£N)时、sinx>0,此时/(x)<0

当xe((2A+D4,(24+2)%)(左€可)时，sinx<0,此时/(x)>0

故/(x)的单调递减区间为(24%,(2A+1)^)(*GN),

单调递增区间为((2人+D〃,(24+2)%)(4£N)。

(2)由(1)知，/(x)在区间(0,万)上单调递减，又/(1)=(),故肛=1

当〃GN*时，因为/(〃4)/((〃+1)%)=[(-1)"〃％+1][(-1)"|(〃+1)"+1]<0

且函数/(X)的图象是连续不断的，所以/(X)在区间(〃肛5+1)%)内至少存在一个零点，又一(X)在区

间(〃%,(〃+1)))上是单调的，故<x„+i+

因此

142

当〃=1时，-^-=—<-

X,2疗3

1112

当〃=2时，——H----<——(44-1)<—

2

占2x2/3

当〃=3时,

1111r-1

—+~+……+丁<荔[4+1+近++5-1尸

X]x2X"n2

11

<M+----+......+--------------]

1x2(〃-2)(〃-1)

(*15+(1一5+……+(11

)]

n-2〃一T

*(6-1、62

一)<F<一

n—1兀23

12

综上所述，对一切〃€N",——H---—++—7<--

婷3

326(2014•湖南高考理科•T22)

2x

己知常数a>0,函数〃x)=ln(l+ax)-一女.

⑴讨论/(x)在区间(0,+8)上的单调性；

(2)若/(x)存在两个极值点罚,,且/(再)+/(乙)>0,求a的取值范围.

【解题提示】

(1)先求导数，利用导数的符号判断增减性，表达式中有参数a,需要分类讨论;

(2)注意到定义域，限制a的取值范围，有极值点时其导数有两个变号零点。

【解析】⑴对函数/(x)求导可得

,,a4a(x+2,-4(l+ax)ax2-4(l-<7)

'1+or(x+2)2(l+ax)(x+2)2(l+ax)(x+2)2

因为(1+ax)(x+2『>0,所以当1—aW0时，即a>1时,/'(x)>0恒成立，

则函数/(x)在(0,+oo)单调递增,

当时，r(x)=0,x=2J""一"),

a

所以当X€(0,2j4(_q)]时,/"(x)<0,当xe12na),+j时，,⑴>0,

aa

、

所以函数〃x)在区间单调递减，在+8单调递增.

7

ax2+4(〃—1)

(2)因为/'(x)=1+QX>0,xW-2,

(1+ax)[x+2)2'

所以当a21时，/'(x)NO,/(x)不存在极值点，

所以要使得/(x)有两个极值点，必有

又/(x)的两个极值点只可能是％=±弛匕©，

a

且由/(x)的定义域可知，1+QX>0,XH-2,

广…2J^(l-a)12/(1-a)八“口1

所以一一口——L>一一,一一口——解得。工一。