二项分布-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.1二项分布“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是在中国民间流传很广的一句谚语，这句谚语是非常有道理的，下面我们从概率的角度来探讨一下这个问题：情境引入假如刘备手下有诸葛亮和9名谋士组成的智囊团，假定对某事进行决策时，每名谋士决策正确的概率为0.7，诸葛亮决策正确的概率为0.85，现在要为某事能否可行征求每位谋士的意见，并按照多数人的意见作出决策，试比较诸葛亮和智囊团决策正确概率的大小．问题上述情境中的问题，假如让你猜想的话，你能得到正确的答案吗？提示智囊团决策正确的概率要大于诸葛亮决策正确的概率，具体怎么计算的通过学习本节课的内容即可解决．新知探索1.两点分布列X01P1－PP2.二项展开式的通项第

项为

在实际问题中，有许多试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能的结果.如检验一件产品结果为合格或不合格,飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阴性或阳性等.回顾旧知1.伯努利试验

我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.2.n重伯努利试验

我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努利试验具有如下共同特征:(1).同一个伯努利试验重复做n次;(2).各次试验的结果相互独立.新知探索3.在n重伯努利试验中,"在相同条件下"等价于各次试验的结果不会受其他试验结果的影响即,(1)每次试验是在同样的条件下进行的;(2)各次试验中的事件是相互独立的;(3)每次试验都只有两种结果:发生与不发生;(4)每次试验,某事件发生的概率是相同的.新知探索

新知探索解:随机试验是否是n重伯努利试验伯努利试验重复试验的次数(1)(2)(3)新知探索而在n重伯努利试验中,我们关注某个事件A发生的次数X.在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生.进一步，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是X的分布列.新知探索·新知探索新知探索思考:如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些?写出中靶次数X的分布列.表示中靶次数X等于2的结果中靶次数X的分布列新知探索二项分布如果随机变量X的分布具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).

一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件Ａ发生的概率为

,用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为新知探索（其中k=0，1，2，···，n）实验总次数n事件A发生的次数事件A发生的概率公式意义理解新知探索(其中k=0，1，2，···，n)随机变量X的分布列:与二项式定理有联系吗?

X01kn

P新知探索例2.解:新知探索例3.解:新知探索例4.新知探索解法1:解法2:新知探索归纳新知探索探究:新知探索1．n重伯努利试验的概念

只包含____个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立．两新知探索3．二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：P(X＝k)＝_________________，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作__________________．4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝________________．X～B(n，p)np(1－p)新知探索1．在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响． (

)2．在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同．(

)

提示在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率均相同．×√√新知探索新知探索2．连续掷一枚硬币5次，

恰好有3次出现正面向上的概率是__________．新知探索3．某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击，

此人至少有两次击中目标的概率为__________．

解析设击中目标的次数为X，则X～B(3，0.6)．新知探索1．你能说明两点分布与二项分布之间的关系吗？

提示两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式．2．在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？

提示

在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互之间无影响．因为每次试验是在相同条件下独立进行的，所以第i＋1次试验的结果不受前i次结果的影响(其中i＝1，2，…，n－1).

新知探索题型一n重伯努利试验的判断【例1】判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．练习巩固解(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验．(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验．(3)每次抽取时，球的个数不一样多，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验．规律方法

n重伯努利试验的判断依据(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．(2)每次试验的结果相互独立，互不影响．练习巩固变1下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标．

其中是n重伯努利试验的是(

) A．① B．② C．③ D．④

解析①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是n重伯努利试验．

答案D练习巩固题型二n重伯努利试验概率的求法【例2】某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位) (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．

解(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8. 5次预报相当于5次伯努利试验． “恰有2次准确”的概率为练习巩固(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为所以所求概率为1－P＝1－0.00672≈0.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.练习巩固规律方法n重伯努利试验概率求解的关注点(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．(2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率．练习巩固解(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为练习巩固(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，符合n重伯努利试验概率模型．故所求概率为练习巩固练习巩固X的分布列为练习巩固(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(X≤3)，规律方法解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．练习巩固变3

某厂一批产品的合格率是98%. (1)求从中抽取一件产品为正品的数量的方差； (2)求从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及

标准差．

解(1)用Y表示抽得的正品数，则Y＝0，1. Y服从两点分布，且P(Y＝