2012-2021北京初三（上）期中数学汇编：圆周角

22/222012-2021北京初三（上）期中数学汇编圆周角一、单选题1．（2021·北京市第一五六中学九年级期中）如图，点为⊙O上三点，，则的度数等于（

）A． B． C． D．2．（2015·北京市第六十六中学九年级期中）如图，AB是的直径，C，D是⊙O上的两点，，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（2018·北京八十中九年级期中）如图，直线A与⊙O相切于点A，AB是⊙O直径．∠EAC＝150°，D是弧BC的中点，则弦AC与AD的数量关系是（）A．1：2 B．1： C．： D．1：34．（2019·北京五十五中九年级期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（

）A．40° B．50° C．80° D．100°5．（2018·北京八十中九年级期中）如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若°，则的度数为（

）A．80° B．140° C．20° D．50°6．（2019·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO＝50°，则∠B的度数为（

）A．60° B．50° C．40° D．30°7．（2021·北京市第三中学九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝7．则∠BDC的度数是（）A．15° B．30° C．45° D．60°8．（2019·北京市广渠门中学九年级期中）如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（）A．90° B．60° C．45° D．30°9．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34° B．46° C．56° D．66°10．（2019·北京市第一五六中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100° B．120° C．130° D．150°11．（2021·北京师范大学亚太实验学校九年级期中）如图，A、B、C在⊙O上，∠ACB=40°，点D在上，M为半径OD上一点，则∠AMB的度数不可能为（）A．45° B．60° C．75° D．85°12．（2021·北京十四中九年级期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，那么∠BCD是（）A．120° B．100° C．80° D．60°13．（2018·北京二中九年级期中）如图，，，，是上的四个点，．那么与的数量关系是（）A．= B．> C．< D．无法确定14．（2012·北京四中九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（）A．60° B．80° C．40° D．50°15．（2019·北京市陈经纶中学分校九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（）A．55° B．45° C．35° D．25°16．（2020·北京市第二中学分校九年级期中）如图，点A，B，C，D，E为⊙O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，∠DME的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（

）A．B．C．D．17．（2019·北京市昌平区第四中学九年级期中）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于()A．33° B．57° C．67° D．66°18．（2021·北京市月坛中学九年级期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的度数是（）A．30° B．35° C．45° D．70°二、填空题19．（2021·北京市第十三中学分校九年级期中）如图，若是的直径，是的弦，，则______．20．（2018·北京八十中九年级期中）下面是“作一个角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：，使得．作法：如图，（1）作射线；（2）在射线取一点O，以O为圆心，为半径作圆，与射线相交于点C；（3）以C为圆心，C为半径作弧，与交于点D，作射线．则即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是_________________．21．（2018·北京八十中九年级期中）⊙O是正方形ABCD的外接圆，若点P在⊙O上且与A，B不重合，则∠APB的大小为度_____度．22．（2019·北京市第一五六中学九年级期中）如图，已知内接于，，，则的半径为________．23．（2019·北京市第一五六中学九年级期中）下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．所以直线AD就是过点A的圆的切线．请回答：该画图的依据是______________________________________．三、解答题24．（2019·北京市昌平区第四中学九年级期中）如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,DE⊥AC．求证:△BDA∽△CED．25．（2019·北京市昌平区第四中学九年级期中）如图，在⊙O中，弦AC与BD交于点E，AB=8，AE=6，ED=4，求CD的长．26．（2021·北京四中九年级期中）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，作射线OP；①在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；②连接并延长BA与⊙A交于点C；③作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°（填推理依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（填推理依据）．27．（2018·北京八十中九年级期中）如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．（1）求证：AM＝BM；（2）若AM⊥BM，DE＝8，∠N＝15°，求BC的长．28．（2021·北京八中九年级期中）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（Ⅰ）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，弧AD=弧AB，求AB的长；（Ⅱ）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．29．（2021·北京市陈经纶中学分校九年级期中）正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转α，所得射线与线段BD交于点M，作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．（1）如图，当0°＜α＜45°时：①依题意补全图；②用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系：___________；（2）当45°＜α＜90°时，探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明；（3）当0°＜α＜90°时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值．30．（2019·北京五十五中九年级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若CD=2，AB=8，求半径的长．

参考答案1．C【分析】根据等边对等角得到，利用三角形内角和可得，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．2．C【分析】首先根据AB是直径得出，然后利用圆周角定理的推论得出，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案．【详解】解：∵AB是的直径，．∵和都是所对的圆周角，，，故选：C．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，掌握圆周角定理及其推论的内容是解题的关键．3．B【分析】根据圆周角定理以及切线的性质即可求出答案．【详解】解：连接OC、OD，∵直线AE与⊙O切于点A，∴∠BAE＝90，∵∠EAC＝150，∴∠BAC＝60，∴∠AOC＝60，∵D是弧BC的中点，∴∠BAD＝∠BAC＝30，∴∠AOD＝120，设OA＝2，∴AC＝OA＝2，由垂径定理可知：AD＝2，∴＝，故选：B．【点睛】本题考查圆的切线，涉及垂径定理、勾股定理、切线性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．4．D【分析】由题意直接根据圆周角定理求解即可．【详解】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理的运用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5．C【分析】直接利用圆周角定理求解．【详解】∠APB＝∠AOB＝×40°＝20°．故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．6．C【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵∠ACO＝50°，∴∠BCO＝90°﹣50°＝40°．∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO＝40°．故选C．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．7．B【分析】只要证明△OCB是等边三角形，可得∠CDB=∠COB即可解决问题.【详解】如图，连接OC，∵AB=14，BC=7，∴OB=OC=BC=7，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠CDB=∠COB=30°，故选B．【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型．8．B【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【详解】∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．9．C【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选C．【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．10．C【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．【详解】解：∵∠AOD=2∠ACD，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选C．【点睛】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，11．D【分析】根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断．【详解】解：∵C在⊙O上，∴∠AOB=2∠ACB=80°，又∵M是OD上一点，∴∠AMB≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故选D．【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理，解题关键是正确理解圆周角定理求得∠AOB的度数．12．A【分析】根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质解答即可.【详解】∵在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，∴∠A=60°，∴∠C=180°﹣60°=120°，故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质，熟知圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键.13．A【详解】【分析】连接AC,根据平行线性质得∠DAC=∠ACB,由“同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等”，可得.【详解】连接AC,因为，,所以，∠DAC=∠ACB,所以，.故选A【点睛】本题考核知识点:圆周角和弧.解题关键点：灵活运用“同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等”.14．D【详解】试题分析：由题意分析得出∠A=∠BOC考点：本题考查了圆心角和圆周角的关系点评：此类试题属于难度很小但是常考的知识点，考生在解答此类试题时一定要注意分析圆心角和圆周角的关系15．C【分析】证出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．【详解】∵AB是的直径，故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理等及其推论，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论．16．B【详解】根据题意，分3个阶段；①P在OA之间，∠DME逐渐减小，到A点时，为36°，②P在弧AC之间，∠DME保持36°，大小不变，③P在CO之间，∠DME逐渐增大，到O点时，为72°；又由点P作匀速运动，故①③都是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选B．点睛：本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．17．B【详解】如图，连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴∠D=180-∠BCD-∠DBC=180°-90°-33°=57°，又∵∠A=∠D，∴∠A=57°.故选B.18．B【详解】∵∠AOB=70°，∴∠ACB=∠AOB=35°，故选B．19．##32度【分析】先根据AB是的直径得出，故可得出∠A的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】解：为直径，，，，和都是所对圆周角，．故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理、直径所对的圆周角等于90°，解题的关键是熟知在同圆和等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等．20．同圆或等圆半径相等，三边相等的三角形是三角形，等边三角形的内角是，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半．【分析】根据尺规作图过程，进行证明，即可得出结论．【详解】解：证明：连接CD，OD．由圆的定义和尺规作图得：OD=OC=CD，（圆的半径都相等）∴△OCD是等边三角形，（三边相等的三角形是三角形）∴∠DOC=60°，（等边三角形的内角是）∴．（一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半）故答案为：同圆或等圆半径相等，三边相等的三角形是三角形，等边三角形的内角是，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半．【点睛】本题考查了尺规作图的综合应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和圆周角定理．21．45或135．【分析】连接OA，OB，根据正方形的性质得到∠AOB＝90°，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：连接OA，OB，当点P在优弧上时，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴∠AOB＝＝90，由圆周角定理得，∠APB＝∠AOB＝45，当点P在劣弧AB上时，∠APB＝180﹣45＝135，故答案为：45或135．【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．22．【分析】连接、，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得，又，，根据勾股定理，得圆的半径是.【详解】连接、，，，又，，.【点睛】此题运用了圆周角定理以及勾股定理.23．90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【详解】解：利用90°的圆周角所对的弦是直径可得到AB为直径，根据经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线可判断直线AD就是过点A的圆的切线．故答案为90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．点睛：本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．24．证明见解析.【分析】不难看出△BDA和△CED都是直角三角形，证明△BDA∽△CED，只需要另外找一对角相等即可，由于AD是△ABC的中线，又可证AD⊥BC，即AD为BC边的中垂线，从而得到∠B=∠C，即可证相似．【详解】∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，又BD=CD，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∠ADB=∠DEC=90°，∴△BDA∽△CED.【点睛】本题重点考查了圆周角定理、直径所对的圆周角为直角及相似三角形判定等知识的综合运用．25．．【详解】试题分析：由同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，得到△ABE∽△CDE，再由相似三角形对应边成比例即可得到答案．试题解析：∵∠B=∠C，∠A=∠D，∴△ABE∽△CDE，∴，∵AB=8，AE=6，ED=4，∴，∴CD=．考点：1．圆周角定理；2．相似三角形的判定与性质．26．（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【详解】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；（2）证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°（圆周角定理），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．故答案为：圆周角定理；切线的判定．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．27．（1）见解析；（2）+【分析】（1）由垂径定理可求得AF＝BF，可知DE为AB的垂直平分线，可得AM＝BM；（2）连接AO，BO，可求得∠ACB＝60°，可求得∠AOF，由DE的长可知AO，在Rt△AOF中得AF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM中，由，可求得CM，则可求得BC的长．【详解】（1）证明：∵直径DE⊥AB于点F，∴AF＝BF，∴AM＝BM；（2）连接AO，BO，如图，由（1）可得AM＝BM，∵AM⊥BM，∴∠MAF＝∠MBF＝45°，∴∠CMN＝∠BMF＝45°，∵AO＝BO，DE⊥AB，∴∠AOF＝∠BOF＝，∵∠N＝15°，∴∠ACM＝∠CMN+∠N＝60°，即∠ACB＝60°，∵∠ACB＝．∴∠AOF＝∠ACB＝60°．∵DE＝8，∴AO＝4．在Rt△AOF中，由，得AF＝，在Rt△AMF中，AM＝＝．得BM=AM＝，在Rt△ACM中，由，得CM＝，∴BC＝CM+BM＝+．【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理，在（2）中注意在不同的直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．28．（Ⅰ）6；（Ⅱ）4【分析】（Ⅰ）如图1，先利用圆周角定理得到BD为直径，即BD＝12，再证明△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形求出AB；（Ⅱ）如图2，连接BD，作BH⊥AC于H，先利用圆周角定理得到BD为直径，利用勾股定理计算出BD＝，再证明△CDB为等腰直角三角形得到BC＝BD＝，接着在Rt△ABH中计算出AH＝BH＝，然后在Rt△BCH中计算出CH＝，从而得到AC的长．【详解】解：（Ⅰ）如图1，∵∠DAB＝90°，∴BD为直径，即BD＝12，∵，∴AD＝AB，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝BD＝6；（Ⅱ）如图2，连接BD，作BH⊥AC于H，∵∠DAB＝90°，∴BD为直径，BD＝＝，∴∠BCD＝90°，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠BAC＝45°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∴△CDB为等腰直角三角形，∴BC＝BD＝×＝，在Rt△ABH中，AH＝BH＝AB＝，在Rt△BCH中，CH＝＝，∴AC＝AH+CH＝＝4．【点睛】此题考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的判定及性质和勾股定理，掌握90°的圆周角所对的弦是直径、等腰直角三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.29．（1）①补图见解析；②∠NCE＝2∠BAM；（2）∠NCE+∠BAM＝90°，证明见解析；（3）1+．【分析】（1）作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．由△ABM≌△CBM，可得∠BAM＝∠BCM，由∠ABC＝∠CEA＝90°，BC，AE交于一点，可得∠BAM＝∠BCE，即可得到∠MCE＝2∠BAM，由点N与点M关于直线CE对称，可得CN＝CM，即可得到∠NCE＝∠MCE，进而得出∠NCE＝2∠BAM；（2）连接CM，判定△ADM≌△CDM，即可得