河南省新乡市辉县兴华中学高三数学理期末试题含解析

河南省新乡市辉县兴华中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，，，，E，F为AB的三等分点，则（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由可得，由，为的三等分点，结合向量运算的三角形法则可得，再利用平面向量数量积的运算法则可得结果.【详解】因为，所以，化为，因为，，所以，又因为，为的三等分点，所以，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.2.已知A，B，C三点的坐标分别是，，，，若，则的值为

（

）A．

B．

C．2

D．3参考答案：A3.阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是（

）A．计算数列的前10项和B．计算数列的前9项和C．计算数列的前10项和D．计算数列的前9项和参考答案：B4.已知抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：以为焦点的抛物线的标准方程为.考点：抛物线的焦点和抛物线的标准方程.5.如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（

）A． B． C． D．参考答案：试题分析：执行一次程序，和式中增加一项，增加后，再经判断框，根据是否满足条件，确定下步运行方向.计算的值，需要运行至后才能输出，判断框中的条件应是，选.考点：算法与程序框图.6.设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线右支上，且△F1PF2为锐角三角形，则的取值范围（

）A．(3,8)

B．(3,8]

C．

D．参考答案：D7.已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A

考点：线性回归方程8.在数列中，，一个7行8列的数表中，第行第列的元素为，则该数表中所有元素之和为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C分析：由于该矩阵的第i行第j列的元素cij=ai?aj+ai+aj=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，8），根据等比数列的求和公式即可求出．详解：该矩阵的第i行第j列的元素cij=ai?aj+ai+aj=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，8），其数据如下表所示：i，j12345678122﹣123﹣124﹣125﹣126﹣127﹣1223﹣124﹣125﹣126﹣127﹣128﹣1324﹣125﹣126﹣127﹣128﹣129﹣1425﹣126﹣127﹣128﹣129﹣1210﹣1526﹣127﹣128﹣129﹣1210﹣1211﹣1627﹣128﹣129﹣1210﹣1211﹣1728﹣129﹣1210﹣1211﹣1

由表可知，该数表中所有不相等元素之和为22﹣1+23﹣1+…+=-14=故答案为：C

9.设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的所有可能值为（

）

A．3

B．4

C．2和5 D．3和4参考答案：答案：D解析：事件的总事件数为6。只要求出当n=2,3,4,5时的基本事件个数即可。当n=2时，落在直线上的点为（1，1）；当n=3时，落在直线上的点为（1,2）、（2,1）；当n=4时，落在直线上的点为（1,3）、（2,2）；当n=5时，落在直线上的点为（2,3）；显然当n=3,4时，事件的概率最大为。

10.设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的（

）A.充要条件

B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件

D.既不充分也不必要的条件参考答案：C由线面垂直的定义可知，反之只有当a与b是两条相交直线时才成立，故“，”是“”必要而不充分的条件.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面向量，，则在上的投影为________.参考答案：2平面向量，，所以设与的夹角为α则所以在上的投影为

12.设

的最大值为16，则

。参考答案：13.复数____________参考答案：【知识点】复数的除法运算

L4【答案解析】

解析：，故答案为：【思路点拨】运用复数的除法法则化简即可。14.从3名男生和n名女生中,任选3人参加比赛,已知3人中至少有1名女生的概率为,则=______.参考答案：415.已知，是以原点为圆心的单位圆上的两点，（为钝角）．若，则的值为

．参考答案：【知识点】向量数量积的坐标运算；两角和与差的三角函数.

F2

C5【答案解析】

解析：因为，所以，又且为钝角，解得cos，所以=.【思路点拨】由已知等式得，又且为钝角，解得cos，所以=.16.已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为

.参考答案：17.函数的值域为

.参考答案：(0,+∞)

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点的直线与椭圆C相交于不同的两点，满足?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：知识点：椭圆直线与椭圆位置关系H5H8(1)；(2)存在，方程为解析：(1)设椭圆C的方程为，由题意得解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的方程得，(3＋4k)x2－8k1(2k1－1)x＋16k－16k1－8＝0.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，【思路点拨】求椭圆的标准方程应先结合焦点位置确定标准方程形式再进行解答，遇到直线与椭圆位置关系问题，通常联立方程结合韦达定理进行解答.19.设点M是x轴上的一个定点，其横坐标为a（a∈R），已知当a=1时，动圆N过点M且与直线x=﹣1相切，记动圆N的圆心N的轨迹为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）当a＞2时，若直线l与曲线C相切于点P（x0，y0）（y0＞0），且l与以定点M为圆心的动圆M也相切，当动圆M的面积最小时，证明：M、P两点的横坐标之差为定值．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过圆N与直线x=﹣1相切，推出点N到直线x=﹣1的距离等于圆N的半径，说明点N的轨迹为以点M（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，求出轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），联立得，利用相切关系，推出k，求解直线l的方程为．通过动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离．利用动圆M的面积最小时，即d最小，然后求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因为圆N与直线x=﹣1相切，所以点N到直线x=﹣1的距离等于圆N的半径，所以，点N到点M（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等．所以，点N的轨迹为以点M（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，所以圆心N的轨迹方程，即曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），由得，又，所以，因为直线l与曲线C相切，所以，解得．所以，直线l的方程为．动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离．当动圆M的面积最小时，即d最小，而当a＞2时；==．当且仅当，即x0=a﹣2时取等号，所以当动圆M的面积最小时，a﹣x0=2，即当动圆M的面积最小时，M、P两点的横坐标之差为定值．20.(本小题满分12分)已知数列的各项都是正数，前项和是，且点在函数的图像上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求．参考答案：解：（Ⅰ）依题意：得 ，，

即所以

3分

所以

6分（Ⅱ）

9分所以

12分略21.近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5

B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求E（X）．参考答案：考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）利用表格数据，根据甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，即可求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）求出两周后非低碳族的概率、低碳族的概率，结合这25个人中低碳族人数服从二项分布，即可求出分布列．解答：解：（1）设事件C表示“这4人中恰有2人是低碳族”．

…（1分）=0.01+0.16+0.16=0.33．

…（4分）答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33；

…（5分）（2）设A小区有a人，两周后非低碳族的概率．故低碳族的概率P=1﹣0.32=0.68．…（9分）随机地从A小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即，故．

…（12分）点评：本题考查概率的计算，考查分布列，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.（本小题满分12分）设等比数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数成公差为的等差数列（如在

与之间插入1个数构成第1个等差数列，其公差为；在与之间插入2个数构成第2个等差数列，其公差为，…，以此类推），设第个等差数列的和是，，求．参考答案：解：（1）∵∴…………………